第二章 212213 系统抽样 分层抽样人教A版高中数学必修3学案.docx

第二章 212213 系统抽样 分层抽样人教A版高中数学必修3学案.docx

《第二章 212213 系统抽样 分层抽样人教A版高中数学必修3学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 212213 系统抽样 分层抽样人教A版高中数学必修3学案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第二章212213系统抽样分层抽样人教A版高中数学必修3学案

2.1.2　系统抽样

2.1.3　分层抽样

学习目标

　1.理解并掌握系统抽样、分层抽样.2.会用系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本.3.理解三种抽样的区别与联系．

知识点一　系统抽样

1.定义：

要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．

2．步骤

（1）先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当

（n是样本容量）是整数时，取k＝

；当

不是整数时，先从总体中随机剔除几个个体，再重新编号，然后分段；

（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；

（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．

知识点二　分层抽样

1．分层抽样的定义

当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

分层抽样尽量利用了调查者对调查对象（总体）事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．

2．分层抽样的实施步骤

第一步，按某种特征将总体分成若干部分（层）．

第二步，计算抽样比．抽样比＝

.

第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．

第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．

第五步，综合每层抽样，组成样本．

1．系统抽样和分层抽样都是等可能抽样．（　√　）

2．系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时，余数是几就剔除前几个数．（　×　）

3．分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．（　√　）

4．系统抽样在第一段抽样时，采用简单随机抽样．（　√　）

题型一　对系统抽样和分层抽样概念的理解

例1　

（1）老师从全班50名同学中抽取学号为3,13,23,33,43的五名同学了解学习情况，其最可能用到的抽样方法为（　　）

A．简单随机抽样B．抽签法

C．随机数法D．系统抽样

（2）某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．系统抽样

C．分层抽样D．随机数法

答案　

（1）D　

（2）C

解析　

（1）从学号上看，相邻两号总是相差10，符合系统抽样的特征．

（2）由于老年人、中年人和青年人的身体情况会有明显的差异，所以要用分层抽样．故选C.

反思感悟　1.系统抽样的判断方法

（1）首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．

（2）再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．

（3）最后看是否等距抽样．

2．使用分层抽样的前提

分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．

跟踪训练1　

（1）某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：

从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（　　）

A．抽签法B．随机数法

C．系统抽样D．以上都不对

（2）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（　　）

A．每层等可能抽样

B．每层可以不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽取个体数量相同

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n（n∈N*）号，符合系统抽样的特点．

（2）保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样．

题型二　系统抽样的应用

例2　为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？

简述抽样过程．

解　适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

（1）随机地将这1000名学生编号为1,2,3，…，1000.

（2）将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．

（3）在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.

（4）以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：

l，l＋20，l＋40，…，l＋980.

反思感悟　当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝

，样本编号相差k的整数倍；系统抽样过程中可能会与其他抽样方法结合使用，通常不单独运用．

跟踪训练2　现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为（　　）

A．3,13,23,33,43,53

B．2,14,26,38,42,56

C．5,8,31,36,48,54

D．5,10,15,20,25,30

答案　A

解析　因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样．若在第一组抽取的编号为n（1≤n≤10），则所抽取的编号应为n，n＋10，…，n＋50.对照4个选项，只有A项符合系统抽样．系统抽样的显著特点之一就是“等距抽样”．因此，对于本题只要求出抽样的间隔k＝

＝10，就可判断结果．

题型三　分层抽样的应用

例3　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．

解　抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为

＝

.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×

＝2（人）；

从教师中抽取112×

＝14（人）；

从后勤人员中抽取32×

＝4（人）．

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．

反思感悟　在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．

跟踪训练3　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

解　用分层抽样来抽取样本，步骤如下：

（1）分层．按年龄将500名职工分成三层：

不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．

（2）确定每层抽取个体的个数．抽样比为

＝

，

则在不到35岁的职工中抽取125×

＝25（人）；

在35岁至49岁的职工中抽取280×

＝56（人）；

在50岁及50岁以上的职工中抽取95×

＝19（人）．

（3）在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本．

（4）汇总每层抽样，组成样本．

需要剔除个体的系统抽样问题

典例　某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．

解　

（1）先把这253名学生编号为000,001，…，252.

（2）用随机数法任取3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．

（3）把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250.

（4）分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生．

（5）从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l.

（6）从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．

[素养评析]　

（1）实施步骤

①当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除．

②剔除个体后需对样本重新编号．

③起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

（2）系统抽样是收集数据的一种重要方法，是整理数据、提取信息、构建模型、进行推断的基础，是培养学生数学核心素养的重要内容．

1．检测员每10分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是（　　）

A．系统抽样法B．抽签法

C．随机数法D．其他抽样方法

答案　A

解析　根据系统抽样法的定义和性质进行判断即可．

2．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　　）

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案　B

解析　A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．

3．为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为（　　）

A．10B．20

C．30D．40

答案　C

解析　分段间隔k＝

＝30.

4．某班级有50名学生，现要采用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并均匀分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．

答案　37

解析　因为12＝5×2＋2，所以第n组中抽得号码为5（n－1）＋2的学生．所以第八组中抽得号码为5×7＋2＝37的学生.

5．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．

解　系统抽样法：

将200个产品编号为1～200，然后将编号分成20个部分，在第1部分中用简单随机抽样法抽取1个编号．如抽到5号，那么得到编号为5,15,25，…，195的个体，即可得到所需样本．

分层抽样法：

因为100＋60＋40＝200，

所以

＝

，

所以100×

＝10,60×

＝6,40×

＝4.

因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取10个，6个和4个，即可得到所需样本．

1．系统抽样有以下特点：

（1）适用于总体容量较大的情况；

（2）剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；

（3）是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是

；

（4）是不放回抽样．

在抽样时，只要第一段抽取的个体确定了，后面各段中要抽取的个体依照事先确定好的规律就自动地被抽出，因此简单易行．

2．总体容量小，用简单随机抽样；总体容量大，用系统抽样；总体差异明显，用分层抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法.

一、选择题

1．为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为（　　）

A．24B．25

C．26D．28

答案　B

解析　5008除以200的整数商为25，故选B.

2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问各几何？

”意思是：

北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？

在上述问题中，需从西乡征集的人数是（　　）

A．102B．112C．130D．136

答案　B

解析　因为北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，

故需从西乡征集的人数是378×

≈112.

3．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取（　　）

A．12,6,3B．12,3,6

C．3,6,12D．3,12,6

答案　C

解析　由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×

＝3,21×

＝6,21×

＝12.

4．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）

A．100B．150

C．200D．250

答案　A

解析　由题意得，

＝

，解得n＝100，故选A.

5．要完成下列3项抽样调查：

①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查．

②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈．

③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．

较为合理的抽样方法是（　　）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

答案　A

解析　由抽样方法的特点可知，①应用简单随机抽样，②应用系统抽样，③应用分层抽样较为合理．故选A.

6．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是（　　）

A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32

答案　B

解析　用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该是k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝

＝10，k是从1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B.

7．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　B

解析　由题意得系统抽样的抽样间隔为

＝6.设抽到的最小编号为x，则x＋（6＋x）＋（12＋x）＋（18＋x）＝48，所以x＝3，故选B.

8．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300，现在按

的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（　　）

A．8B．11C．16D．10

答案　A

解析　若设高三学生数为x，则高一学生数为

，高二学生数为

＋300，所以有x＋

＋

＋300＝3500，解得x＝1600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为

＝8.

9．将参加夏令营的600名学生编号为：

001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（　　）

A．26,16,8B．25,17,8

C．25,16,9D．24,17,9

答案　B

解析　由题意知间隔为

＝12，故抽到的号码为12k＋3（k＝0,1，…，49），列出不等式可解得：

第Ⅰ营区抽取25人，第Ⅱ营区抽取17人，第Ⅲ营区抽取8人．

二、填空题

10．一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是________．

答案　3,9,15,21,27,33,39,45,51,57

解析　由题意，设抽取样本的编号为6n＋3，则3≤6n＋3≤59，且n∈N，所以n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，相应的编号依次为3,9,15,21,27,33,39,45,51,57.

11．某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n＋1，则需剔除2个个体，则n＝________.

答案　4或6或9

解析　由题意知n为72的约数，n＋1为70的约数，其中72的约数有1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72，其中加1能被70整除的有1,4,6,9，其中n＝1不符合题意，故n＝4或6或9.

12．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．

答案　6,30,10

解析　设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，

则有

解得

三、解答题

13．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）．

（1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；

（2）若高校B中抽取的教授总数是高校A和C中抽取的教授总数的

，求三所高校的教授的总人数．

解　

（1）∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，∴B高校中抽取2人，

∴A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，

∴

＝

＝

，解得m＝36，n＝108.

（2）∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授数的

，

∴

（m＋n）＝72，解得m＋n＝108，

∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.

14．问题：

①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；

②从20名学生中选出3名参加座谈会．

方法：

Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.系统抽样；Ⅲ.分层抽样．其中问题与方法能配对的是（　　）

A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅲ，②Ⅰ

C．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ

答案　B

解析　对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样．

15．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取的号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．

答案　37　20

解析　将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取的号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则

＝

，解得x＝20.