A
_qz―mz
wq（-re~2e）sin[k（x~ct）]A
对于任意的z值，由u和w表示的位移满足椭圆方程，
（52十（w）2
（re^z—2mqe^z）2q2（re^^2e^z）2
表面波的位移为沿X方向的纵波位移u和沿丫方向的横波位移w的矢量位移合成。
二、表面波的高斯模型推导
1高斯模型
1）首先考虑纵波在液体中传播的简单情况，获得换能器声场的高斯模型如图所示：
换能器辐射声场可以看作为换能器表面上的无穷点声源辐射球面声场的叠加形成的；另当换
能器辐射声场的面积远小于传播距离时，可以近似将换能器看作为点声源，其声压表达式为：
（1）
z=0时压电晶体片辐射声速）为换能器在，r二,x2x|x；从点源到辐射点的距离。
考虑在沿z轴临近区域方向的的球面波，在小角度的情况下（X,=X3，x2=%），球面波被近似看做是沿z轴方向的，则有
r=\X3';?
o■-X；■可.丸（其中，g二x,2x|）
则点源辐射球面波沿Z轴方向可以近似得到：
exp[ikp（x；+P；/2x3）]
p二A——-—
（2）
x；
在液体中沿x；方向传播的纵波声压的拟平面波形式为
p=P（Xi,X2,X3）exp（ikpx3），满
足声波在液体中的波动方程
\、2
=0
（3）
将上述p代入波动方程，得到
『P『P；：
2P：
卩
2ik
-2.2.2p.
x-1；x2*：
x3
为了获得（4）的在高频部分的近似解，考虑一个拉伸坐标系y|=、、•（I=1,2），
保留含有••的项,
则获得
FP
乂邓苛0
（6）
因为在换能器激励声场的声压在沿X3传播的过程中，p
=P（x,X2,X3）exp（ikpX3）会捕
P
捉到沿X3的主要声场，所以沿X3方向的主要微分项'2与玫3
（2）中的其他项相比远远小,
这与（6）式得到的结果相同。
在这里做出获得高斯声束模型的近轴近似的假设前提条件:
222
；：
P:
PjPP
=2
p-
.X3X1:
X2X3
（7）
从而获得高斯模型满足的近似方程为:
;:
2P;:
2P;:
P
222ikp0
X]：
x2：
X3
（8）
2）
将在液体中换能器沿z方向辐射的声压用在柱坐标中的拟平面波的形式表示为
p=P（一z,-）exp（ikz-i，t）
（9）
其中P（0z/-）随着t和z的变化而变化，将其代入波动方程，可以得到
2
1?
.沪:
P;:
P
（）22ikp0
z2p；z
（10）
如同建立的圆柱坐标系，因为在传播的过程中，在垂直于化，因此为轴对称的波。
Z轴的平面上没不存在角度的变
高斯模型的假设为波在沿Z轴传播的过程中，P
cz
远远比波动方程中的其他项小，故
不考虑这一项，从而获得高斯模型满足的近轴近似方程:
丄4r-）2ik^^=0
p；z
近轴近似的假设为:
-2
-'z
2ikp|P
cz
（⑵
（13）
（14）
因为在（11）式右侧的项对于波动方程，具有同等重要的优点，因此，仅考虑
dP
2-
2ikp£
Sz
已经足够。
首先考虑满足方程（11）的解
P=Pexp倂：
2q）
其中，P=P（z），q=q（z）为关于Z的复值函数。
将（14）代入公式（11），可以得到:
PdP
+——+
欲使所有的
2ikp
口dq_1
q2dz
P满足公式（15），则必须有
dq
-1=o
dz
dz
（15）
（16）
（17）
PdP=oqdz
（18）
（16）的解刚好为传播规律
q（z）=zq。
其中cl为随着频率变化的复常数。
将（18）代入（17），可得
将（18）、（19）代入（14）可得
Po-iikpPI
p=「expikpzlexp——-q（z）」p-.2q（z）
zqo
（20）
记:
（21）
其中，（zo,Wo）是长度单位，'p为波长。
2
二Wo
zc_称为共焦距。
p
将以上简化代入高斯声束，有
Y（ZcWo）2
（Z~ZQ）2-（Zc）2
P=―p0—exp[ikpz]exp[叫凡丁20）"2
（z—z。
）—izc-P-.（z—勺）2+（乙）2
对于（22）,定义一下声束宽度w（z）和波前曲率R（z）两个参数
2
1_（ZcWo）
W（z）2（z-Zo）2（Zc）2
1Z-Zo
R（z）（Z-Zo）2（Zc）2
由此，高斯声束变为
Po
（z-Zo）-izc
exp||ikpzexp
ikpP2
2R（z）
亠
2
（W（z））
（24）
上述高斯声束模型与球面波模型具有高度的一致性，并且当qo=0时，高斯声束模型可
以简化为球面波模型。
高斯声束假设为拟平面波的条件和近轴近似从高斯声束模型（20）的声压，利用运动方程
-：
p
.Z
（25）
可以得到
（26）
其中，q号仁
首先考虑（26）右侧沿Z方向的速度幅值的第一项远远大于其余两项的情况。
（1）条件1：
q=kp
q
（27）
（28）
即kp|q=kp（z—Zo）—izc二1
因为|q3zc，所以当kp|zj二1时，亦即
（?
2討叫|=1
e-p丿
条件
（1）必定满足。
kp
（2）条件2:
（29）
因为高斯声束的能量主要包含在声束宽度为w的范围内，因此对于沿Z向传播的声波,在于Z轴垂直的平面内，Z轴为原点半径为r的柱面内，设定w已可满足高斯声束能量主要集中在该范围内。
由此可得：
（30）
因为w_Wo，所以（30）可以进一步化为
（31）
由于因为qAz。
，则（31）可进一步化为
（32）
这与条件
（1）所需要满足的条件相一致。
这就是说当波腰的宽度wo远远大于波长》时，有（26）给出的高斯声束的速度Vz可以缩减
（33）
这与平面波的声速是一样，因此，我们可以讲高斯声束的传播特性看作为拟平面波。
同时,该结论对于近轴近似的高斯声束的假设条件（13）同样满足。
因为高斯声束的声压幅值
P=-P0expikp
q-
（34）
dp一匸Pdz（q2q2y
（37）
利用公式（36），则（13）可化为
CP
2
-2
4k；P
cz
如果对（35）再次求微分，并再次假设（27）和（29）成立，则可以得到
（39）
从而使得近轴近似条件（37）变为
I2q
q'
.2
孑
成立时，近轴近似条件自然成立。
三、高斯模型的声反射和折射
1、圆形对称的高斯声束的折射和反射
如前高斯声束主要由幅值P（z）=F0「q（z）和相位参数q（z）决定。
高斯声束传播规律决定
Ro的球形曲面上时，在
了声束的变化情况。
当圆形对称的高斯声束垂直入射在曲率半径为
曲面的两侧将产生轴对称的反射波和透射波。
如图所示。
在曲面上的入射、反射和透射高斯声束分别表示为
-ikp1»2丨
Pi=P（z）exp[ikp1z+icot0]exp
少（z）_
pt=P（z）exp[ikp2z+®o]exp怦]
.2q（z）
标原点距离为D的位置，t=0时开始激励产生。
对于入射反射和透射波，由于t0二Dcp1均
相同，故在以下的推导中省略。
根据界面上的声压和声速连续的条件:
Pi（A）Pr（A）=Pt（A）
Viz（A）Vrz（A）二Vtz（A）
利用（33）式，则边界条件可以简化为:
Pi（A）Pr（A）=Pt（A）
Pi（A）
Pr（A）Pt（A）
”2Cp2
（42）
考虑到入射、反射和透射波的高斯声束模型声压幅值项存在有相位项，所以分布从两个
方面考虑其在边界的匹配情况。
与在Z轴附近微小区域高斯声束模型被近似看做拟平面波
相对应的是z=0得幅值项P（z）和相位项对于「的二次方向的匹配。
首先，在z=0的条件
下，幅值项的边界条件化为
P（0）P（0）=P（0）
P（O）_Pr（O）=P（0）
：
1CP1"CP1：
'C22求解边界条件可得
'ECp2—卩Cp17'
Pr（0>^丄P（0）RpR（0）
ECpz+^Cp1
其中，R,、Tp为基于声压比的平面波反射和透射系数。
其次对于相位想的匹配
如上图所示，声波入射的界面
Z=Ro—J戌—X三Ro—R卩—鼎+…L籍
']2用_2Ro
对于入射波和透射波的相位匹配有
从而可以得到透射波传播规律
1=鱼_，丄+空qt（0）（Cm丿R0Cmqi（0）
类似的，通过入射声束与反射声束的相位匹配，可以获得反射规律:
（48）
121
qr（0）R）qi（0）
假设入射波的波前曲率和宽度在z=0时为R（0）、wi（0）；反射波和透射波的波前曲
率和半径分别为R（0）、Wr（0）、Rr（0）、Wr（0）；从前述的（24）可知波传播规律与波前
曲率和宽度的关系为：
P2
（51）
当界面为平面时，R0，二，反射波与透射波的波前曲率半径之间的关系变为:
1Cp21
崗_爲顾
z=z°位置时，存在有1/R（0）=0，
（1）当Cp2>Cp1且>0时，有R>0，即透射波在
介质2中是发散的，这样的界面成为发散界面；
◎%
（2）当Cp2cp1且尺：
0时，有R:
:
0，即透射波在介质2中是汇聚的，这样的界面
成为汇聚界面，如图所示
对于反射声束可以采用同样的方法获得分析结果。
高斯声束的解
利用假设条件（7）得到的近似波动方程（8）有多种形式的解。
针对沿x3方向传播的
解，假设具有高斯解的通用形式：
p=P（X3）exp佇XTMp（X3）X，X=[xi,X2『（53）
其中，P（X3）是一个复值标量，MP为一个22复值对称矩阵，MP的两个复特征值'm
（m=1,2），满足韦的虚部大于（lm「m?
・0）。
前述的圆形横截面的高斯声束模型是（53）
的特例；包含声束宽度W（X3）、曲率半径R（X3）和声束腰的高斯声束侧视图结构如图所示。
（53）表示了沿X3轴传播的在垂直X3轴的截面具有椭圆轮廓、并且呈指数衰减的波。
将（53）代入近似波动方程
对于任意的X，式（54）均能得到满足，则可得
CpdEptrM-0
Cpdx3
为22单位矩阵。
则（59）式变为:
Mp」；；；冷严M；dMp1dx3
利用矩阵的转换关系:
二一——=tradj（Mp1J（dM^/dx3»
当初始的矩阵Mp为一个22复值对称矩阵，在x3=0时MP（0）的两个复特征值
Am（0）（m=1,2），扎m0的虚部大于（lm{Zm（0）}>0）时，在沿X3方向传播的矩阵
MpX）的特征值诂（％）同样存在有。
而对于Mp的实部，在波传播的
过程中，通常为正值。
对（65）左右两边求逆矩阵，可得对应的矩阵Mp
（66）
（67）
Mp（x3）二Mp（0）ICpXsMp（0）
式（66）也可以写成
Mp（X3）=*{mp（0）+CpX3det〔Mp（0）]}
其中，―CpX3tr
⑼CpX3det
对方程式（64）求解：
因为式（64）可以等效化为如下形式:
dxs=dIn
n
d
-
det
其中，P（0）=P（X3）
对（68）进行积分，可得
P（x3）detMp」（O）_detMpg_1
P（0）detMp」（X3）_:
detMp（°）1.detICpXsMp（0）
因为Mp为一个复值矩阵，（69）在进行运算的时间必须考虑取值的符号问题，因为
Mp的实部为正值，而虚部如前所述通常也为正值，一种有效地方法是把Mp化为对角阵
形式。
如果mp为对角阵，则可以得到巴型二二‘2（X3）。
P（0）7^0）亿商
对于对称的高斯声束如果在X3=0时其波前曲率半径为Ro、波腰宽度为Wo的话，则其
Mp（o）为:
（70）
i
Mp（0）:
Cp
利用（69），则高斯声束的表达式（53）可以表述为:
从（71）可以看出，高斯声束的声压幅值和相位是仅仅依赖于Mp（x3）变化的量。
det
Vp（X,J二Vp（0）dpexp（ikpX3）,—
利用声速与声压的关系式（33），可以得到满近似波动方程的声压为:
（72）
-_p（x3）expj-XTMp（x3）X
detMp（0）2
其中，Vp（0）=P（0），Cp，dp为沿X3方向传播的单位矢量，「为液体介质的密度（上述结论是在液体中的纵波入射在曲面上得到的）。
各项同性弹性固体中的近似波动方程
弹性各项同性固体介质中位移的波动方程（Navier'sequations）为：
-2
山2u（u）U（'、」为拉梅常数，'为固体介质密度）（73）
ct
对于依赖于时间成指数规律变化的扰动exp（-i「t），式（73）可化为
C*i,jj（Cp-C；）uj,ji二-2ui（74）
其中，u为位移的第i个分量，Cp、cs为固体介质中的纵波和横波波速。
如果外加一个沿X3方向的纵波
U二Ui（Xi,X2,X3）exp（ikpX3）
按照在液体中的高斯近似模型的假设方法对（74）式进行展开，求其近似波动方程，可
以得出在Ui（I=1,2）的位移幅值极小，U3满足近轴近似的波动方程
（76）
其中，kp“TCp为纵波的波数。
类似的方法可以获得沿X3方向传播的横波，在X1、X2方向产生的横波近似波动方程。
假设纵波位移为：
U=Ui（Xi,X2,X3）exp（iksX3）
代入（74），存在有U3=Ui和U2，假设U3=0，则Ui（I=1,2）满足横波的近似波动
方程
（77）
其中&-cs为横波的波数。
因为在各项同性固体介质的横波和纵波满足近似波动方程，因此其位移解可以写为高斯
模式:
其中，U'为（〉=p,s）类型波的位移矢量，d＞为位移的振动方向（当dp为沿着x3轴
方向振动，ds为在垂直于X3轴方向振动）。
对于〉类型的谐波的速度，存在位移与速度的关系：
（77）
因此〉类型的谐波的速度为
其中，Vp（0）=—iU：
.。
mediumm
如图所示：
当入射的高斯声束入射在如图所示任意两种各项同性的曲面x上时，会产生各种类
型的反射和折射高斯声束，这里仅用入射和折射或者反射的一种高斯声束来描述。
假定在介质m中的：
（7=p,s）类型的声速为cm、密度为、波数为km，在介质
m1中的=p,s）类型的声速为Cm1、密度为?
md、波数为kmj在介质m的：
类型的波和介质m+1中的a（a=p,s）类型的波速幅值、偏振方向以及复相位分别为V”、
dm、Mm'和V/i、dm1、Mm1。
入射的高斯声束在介质m中的X1.X2.X3坐标系中沿沁
轴方向传播，透射的高斯声束在介质m1中的y1,y2,y3坐标系中沿y3轴方向传播。
沿％
轴方向的单位矢量为耳，沿y3轴方向的单位矢量为耳1。
入射点Qm（入射声束的中心轴
线X3与曲面的检点）处的曲面法线的单位矢量为n。
X1.X2.X3和y1.y2.y3坐标系的原
点均为Qm。
为了实现对任意曲面的高斯声束进行描述，需要对以（xnx2）描述的22阶矩阵Mm采用坐标旋转和转换的方法转换到三位坐标系中以（为丸必）表达的3汇3阶矩阵M?
m进行表达。
为此，首先将以（X4,x2）描述的Mm扩展到以（为，乂2必）表达的M?
m，具体扩展方式如下：
叽）11
p
（Mm）12
0
1
仇二（Mm）21
1
（Mm）22
0
1
（83）
0
0
0
」
利用前述的符号记法，可以将在介质m中的入射波速度在X=x1,x2,x3坐标系中表
达为：
（v
:
;（X）
m
）j%;（x）
（x3）—尹
（84）
其中，Vm；；（x）二Vm：
（X3）dm；（x）j。
类似的方法可以获得在介质m•1中在y坐标系中的高斯声束表达式为
（vm；（iy））j“晋厲）it0ikmiy3i-yTM?
m;（y）（y3）y（85）
其中，Vm计=Vm〉i（y3）dm；（iy）j。
在上述表达式（84）、（85）中的exp（icot0）项对应入射波从激励位置到点Qm的时间延迟,
如前所述，点Qm的x3=0,y3=0。
下面对反射和透射问题在入射平面内展开。
入射平面（poi）是由入射波的方向矢量em
和入射波在曲面入射点Qm处得法向矢量n形成的一个平面，如图所示
用于入射波的入射平面坐标系X；,X2,X3是由x,,x2,x3坐标系绕x3轴旋转得到的，在沿
着高斯声束传播的方向，有x3=x3。
在Xi,X2,>3坐标系中，x1,X2面在入射平面（POI）内，为垂直于入射平面（POI）。
与入射的声束相类似，折射和透射的坐标系Zi,Y2,y）是
由％,丫2,丫3坐标系绕*轴旋转得到，在沿波的传播方向上，y3=y3，Yi,y面在入射
平面（POI）内，y2垂直于入射平面（POI）。
（Xi,x3X）坐标系和h2,y）坐标系的原点都在点Qm。
在这里同样定义一个z,,z2,z3坐标系，z3沿着曲面单位法向矢量n的方向，（W，%）位于POI平面内，Z2轴垂直于POI平面。
我们可以把入射波和反射及透射波在z1,z2,z3坐标系中重新表达为:
Vm；（Z）j%（Z）dm；（z）jexpJ-toikm'emZim'（Z）
vm；（iz）j二Vmi（z）dm；（iz）jexp「to-ikme1z-imi（z）
上述标书中，把所有的二次相位项统一记为-m及。
由于入射波和透射波在边界上满足速度和应力匹配条件
送心彷（送”丿恋软瓦））
jj
◎（vm;⑵（送））.
（Z）（m）k（Z）（m1）
niCijklniCijkl
Zl
yczi6
（86）
（87）
（88）
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