固体波的高斯声束模型推导全解.docx

1、固体波的高斯声束模型推导全解一.表面波的基本特征平板类声表面波的传播激励和特征1）表面波的产生：采用纵波写入射的方式产生表面波的纵波和横波，如上图所示，当纵波两种弹性固体的界面上入射时，将产生反射和透射的 波和SV波；假设入射 P波为Pi二Rexplikpdxsin可 ycos）-1t，则其反射波为 pr 二 R expikp1(xsizr ycosJ-i t，透射纵波为： 阳=R1 expikp2(xsin沧 ycosrp2)-i，t，透着横波为 p2 二 P2 expiks2(xsis2 ycos2r t，从运动方程一总二vy，可以获得入射波、反射波和透射纵波和横波在介质 1和介c yy质

2、2中沿Y方向的分量，利用在y=0的平面上沿Y方向的位移和应力连续的边界条件： P = 0 和 Vy = 0可以获得在液体界面上传播的入射波反射波和透射波之间的速度和角度关系， 即广义斯涅耳定律:sin% sipsis2cp1 cp2 cs2其中，cp1为介质1中的纵波速度，cp2、cs2分别为介质2中的纵波和横波速度。当存在有Cp2 - cp1时，存在有第一临界入射角 备=sin（Cp1.Cp2），当入射角度小于：cr时，在介质2中存在有横波和纵波，当入射纵波角度大于 =cr时，透射纵波为pt1 = PJ1 exp - - sin? vi 1exp i xsin cP2 -i，t其传播特性为沿

3、 Y=0的界面传播的非均匀畸变波；在介质 2内部仅存在有SV波在传 播；当入射角继续增大达到 齐=（芯）2二Sin（Cp仃cs2）时，如果存在有cs1 -cp1在介质2 内部传播的SV波的传播特性也变为沿 丫=0界面传播的界面波，其位移也随着在介质 2内部深度的增加而程指数衰减。随着入射角度的继续增大，将在界面 丫=0上产生仅沿界面传播的声表面波。要对平板类构件的表面和亚表面缺陷进行检测， 就要产生沿表面和亚表面传播、对表面和亚表面的缺陷比较的波形， 从上面的波形转换分析可以得出， 采用表面波对界面进行检是比较理想的波形。2）表面波在平板内的传播规律表面波的传播特性是沿沿着弹性半空间的自由表面

4、进行传播，其扰动的深度随着离自由 表面位移的增加呈指数衰减。 下面通过对其传播规律进行分析， 确定声表面波能够对平板类构件的检测深度。对表面波的位移u进行Helmholtz分解，有u -，由于在介质2内部的传播2 I 1 /的波满足Navier波动方程：、 2 = 0cp宀 =0Cs其中，Cp、cs分别为介质2中的纵波波速和横波波速。对于二维平面如遇所示，有 u =（ux,0,uz），由和t两个势函数的解磔：賀x,0,乙t），屮=屮（x,0, z,t），利用Lame形式，则u可以表示为u=x+z，w = z+x。传播方向 考虑沿x方向传播的声表面波的传播特性，设二 D1 （z）expi（k ：

5、-:t），!，二D2（z）expi（kx-t），将其代入Helmholtz分解后的Navier波动方程，沿Z方向可得=A exp(-kqz)xpi(kx - t)w = -k(qAeqz -iB1eJmz)expik(ct)基于胡克定律和Z=0边界条件匚33二；13 =0，可以求得满足边界条件的特征方程为r2 -4mq = 0位移u和w为u = A(rez2 mq ez) exp i k( x c)tw =iAq(_re4z _2eqz)exp _ik(x_ct)式中：r=2(G Cs)2，A = kR, 2q并渴求的表面波的波速方程为：6 -8 4 8 2(3 -2 2) 16( 2 -1)

6、 = 0式中：ksckp _ G 一二，k 。ks Cp c二(0.87 1.12v), (1 v)( v为材料的泊松比)对表面波在介质内的位移进行分析，由于位移矢量的分量为实向量，为此，可取沿 y方向的归一化的位移为：u = U =仃列-2 mqenz) cosk 丄 P (0)RpR (0)ECpz+Cp 1其中，R,、Tp为基于声压比的平面波反射和透射系数。其次对于相位想的匹配如上图所示，声波入射的界面Z = RoJ戌X三RoR卩鼎+L籍 2用 _ 2Ro对于入射波和透射波的相位匹配有从而可以得到透射波传播规律1 =鱼_，丄+空 qt(0) (Cm 丿 R0 Cm qi(0)类似的，通过

7、入射声束与反射声束的相位匹配，可以获得反射规律:(48)1 2 1qr (0) R) qi (0)假设入射波的波前曲率和宽度在 z=0时为R(0)、wi(0)；反射波和透射波的波前曲率和半径分别为 R(0)、Wr(0)、Rr(0)、Wr(0)；从前述的(24)可知波传播规律与波前曲率和宽度的关系为：P2(51)当界面为平面时，R0 ，二，反射波与透射波的波前曲率半径之间的关系变为:1 Cp2 1崗_爲顾z=z位置时，存在有1/R(0) =0，( 1)当Cp2 Cp1且0时，有R 0，即透射波在介质2中是发散的，这样的界面成为发散界面；%（2）当Cp2 cp1且尺：0时，有R : 0，即透射波在

8、介质2中是汇聚的，这样的界面成为汇聚界面，如图所示对于反射声束可以采用同样的方法获得分析结果。高斯声束的解利用假设条件（7）得到的近似波动方程（8）有多种形式的解。针对沿 x3方向传播的解，假设具有高斯解的通用形式：p =P（X3）exp 佇XTM p（X3）X ， X=xi,X2 （53）其中，P（X3）是一个复值标量， M P为一个2 2复值对称矩阵， M P的两个复特征值m（m=1,2 ），满足 韦的虚部大于（lmm?0 ）。前述的圆形横截面的高斯声束模型是 （53）的特例；包含声束宽度 W（X3）、曲率半径R（X3）和声束腰的高斯声束侧视图结构如图所示。（53 ）表示了沿X3轴传播的在

9、垂直X3轴的截面具有椭圆轮廓、并且呈指数衰减的波。将（53）代入近似波动方程对于任意的 X，式（54）均能得到满足，则可得CpdEptrM-0Cp dx3为2 2单位矩阵。则（59）式变为:Mp；冷严 M； dMp1 dx3利用矩阵的转换关系:二一 =tr adj (M p1 J(dM /dx3 当初始的矩阵 M p为一个2 2复值对称矩阵，在 x3 =0时M P（0）的两个复特征值Am （0）（ m=1,2 ），扎m0的虚部大于（lmZm（0）0）时，在沿X3方向传播的矩阵MpX）的特征值诂（） 同样存在有。而对于 M p的实部，在波传播的过程中，通常为正值。对（65）左右两边求逆矩阵，可得

10、对应的矩阵 M p(66)(67)Mp(x3)二 M p(0) I CpXsM p(0)式( 66)也可以写成Mp(X3)=*m p(0)+CpX3detM p(0)其中，CpX3 tr CpX3 det对方程式（64）求解：因为式（64）可以等效化为如下形式:dxs =d Innd-det其中，P(0) =P(X3)对（68）进行积分，可得P(x3) det Mp(O) _ det Mpg _ 1P(0)det M p(X3)_ : det M p()1. det I CpXsM p(0)因为M p为一个复值矩阵，（69）在进行运算的时间必须考虑取值的符号问题，因为M p的实部为正值，而虚部

11、如前所述通常也为正值，一种有效地方法是把 M p化为对角阵形式。如果m p为对角阵，则可以得到 巴型二二2（X3）。P（0） 70）亿商对于对称的高斯声束如果在 X3 =0时其波前曲率半径为 Ro、波腰宽度为Wo的话，则其Mp（o）为:(70)iMp(0):Cp利用（69），则高斯声束的表达式（53）可以表述为:从（71）可以看出，高斯声束的声压幅值和相位是仅仅依赖于 M p（x3）变化的量。detVp(X, J 二Vp(0)dpexp(ikpX3),利用声速与声压的关系式（33），可以得到满近似波动方程的声压为:(72)-_p(x3) exp j-XTMp(x3)Xdet M p(0) 2其

12、中，Vp（0） =P（0），Cp，dp为沿X3方向传播的单位矢量，为液体介质的密度（上述 结论是在液体中的纵波入射在曲面上得到的） 。各项同性弹性固体中的近似波动方程弹性各项同性固体介质中位移的波动方程（ Navier sequations）为：-2山2u （u） U （、为拉梅常数，为固体介质密度） （73）ct对于依赖于时间成指数规律变化的扰动 exp（-it），式（73）可化为C*i,jj （Cp -C；）uj,ji 二- 2ui （ 74）其中，u为位移的第i个分量，Cp、cs为固体介质中的纵波和横波波速。如果外加一个沿 X3方向的纵波U 二Ui(Xi,X2,X3)exp(ikpX3)

13、按照在液体中的高斯近似模型的假设方法对( 74)式进行展开，求其近似波动方程，可以得出在Ui (I =1,2)的位移幅值极小， U3满足近轴近似的波动方程(76)其中，kp “TCp为纵波的波数。类似的方法可以获得沿 X3方向传播的横波，在 X1、X2方向产生的横波近似波动方程。假设纵波位移为：U =Ui(Xi,X2,X3)exp(iksX3)代入(74)，存在有U3 = Ui和U2，假设U3=0，则Ui (I =1,2)满足横波的近似波动方程(77)其中& - cs为横波的波数。因为在各项同性固体介质的横波和纵波满足近似波动方程， 因此其位移解可以写为高斯模式:其中，U 为(=p,s)类型波

14、的位移矢量， d为位移的振动方向(当dp为沿着x3轴方向振动，ds为在垂直于X3轴方向振动)。对于类型的谐波的速度，存在位移与速度的关系：(77)因此类型的谐波的速度为其中，Vp(0)=i U ：.。medium m如图所示：当入射的高斯声束入射在如图所示任意两种各项同性的曲面 x 上时，会产生各种类型的反射和折射高斯声束，这里仅用入射和折射或者反射的一种高斯声束来描述。假定在介质 m中的：（7 =p,s）类型的声速为cm、密度为、波数为km，在介质m 1中的=p,s）类型的声速为Cm 1、密度为?m d、波数为kmj在介质m的：类 型的波和介质 m +1中的a （ a = p, s）类型的波

15、速幅值、偏振方向以及复相位分别为 V”、dm、Mm和V/i、dm 1、Mm 1。入射的高斯声束在介质 m中的X1.X2.X3坐标系中沿 沁轴方向传播，透射的高斯声束在介质 m 1中的y1, y2 , y3坐标系中沿y3轴方向传播。沿轴方向的单位矢量为 耳，沿y3轴方向的单位矢量为 耳1。入射点Qm （入射声束的中心轴线X3与曲面的检点）处的曲面法线的单位矢量为 n。 X1.X2.X3和y1.y2.y3坐标系的原点均为Qm。为了实现对任意曲面的高斯声束进行描述， 需要对以（xnx2）描述的2 2阶矩阵M m 采用坐标旋转和转换的方法转换到三位坐标系中以（为丸必）表达的3汇3阶矩阵M?m进 行表达

16、。为此，首先将以（X4,x2）描述的Mm扩展到以（为，乂2必）表达的M?m，具体 扩展方式如下：叽）11p(Mm)1201仇二（Mm）211(Mm )2201(83)000利用前述的符号记法，可以将在介质 m中的入射波速度在 X= x1 ,x2,x3坐标系中表达为：(v:;(X)m)j %;(x)(x3)尹(84)其中，Vm；（x）二 Vm：（X3）dm；（x）j。类似的方法可以获得在介质 m 1中在y 坐标系中的高斯声束表达式为（vm；（iy）j “晋厲）i t0 ikmiy3 i-yTM?m;（y）（y3）y （85）其中，Vm计=Vmi（y3）dm；（iy）j。在上述表达式（84）、（8

17、5）中的exp（icot0）项对应入射波从激励位置到点 Qm的时间延迟,如前所述，点Qm的x3 = 0, y3 = 0。下面对反射和透射问题在入射平面内展开。 入射平面（poi）是由入射波的方向矢量 em和入射波在曲面入射点 Qm处得法向矢量n形成的一个平面，如图所示用于入射波的入射平面坐标系 X；,X2,X3是由x,x2,x3坐标系绕x3轴旋转得到的，在沿着高斯声束传播的方向，有 x3 =x3。在Xi,X2, 3坐标系中，x1,X2面在入射平面（POI） 内，为垂直于入射平面（POI）。与入射的声束相类似，折射和透射的坐标系 Zi,Y2,y ）是由,丫2,丫3坐标系绕 *轴旋转得到，在沿波的

18、传播方向上， y3 = y3， Yi,y 面在入射平面（POI）内，y2垂直于入射平面（POI）。（Xi,x 3X ）坐标系和 h2,y ）坐标系的原 点都在点Qm。在这里同样定义一个 z,z2,z3坐标系，z3沿着曲面单位法向矢量 n的方向， （W，%）位于POI平面内，Z2轴垂直于POI平面。我们可以把入射波和反射及透射波在 z1,z2,z3坐标系中重新表达为:Vm；(Z)j %(Z) dm；(z)j exp J- to ikmem Z i m( Z)vm；（iz） j 二Vm i（z）dm；（iz） jexpto - ikm e 1 z - i mi（z）上述标书中，把所有的二次相位项统一记为 -m及。由于入射波和透射波在边界上满足速度和应力匹配条件送心彷（送”丿恋软瓦）j j (vm;(送) .(Z) (m) k (Z) (m 1)ni Cijkl ni CijklZly czi 6(86)(87)(88)