分类思想教学初探.docx

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分类思想教学初探

分类思想教学初探

孔垄镇第三中学吴时林

“物以类聚，人以群分”将事物进行分类就是分类思想又叫做逻辑划分。

不论从宏观上还是从微观上根据数学对象本质属性的相同点与不同点研究对象进行分类，都是深化研究对象、是发展科学必不可少的思想，它贯穿于整个初中数学过程。

从中考主要内容,可以概括分类讨论类型主要有:

1、按数学概念的定义、内涵进行分类讨论;2、数学问题等价转化时需要的分类讨论;3、探究问题的多种可能性或多重步骤需要分类讨论;4、数学的运算法则本身需要的分类讨论;5、含参数字母的数式的分类讨论;6.图形、图表的数量不确定性所需要的分类讨论.分类思想要求1、分类不重复、不遗漏,2分类应按同一标准进行。

掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

这需要较强的逻辑思维能力,这是分类讨论中最重要的一种能力.2、数学的抽象思维能力.为了科学、最简明地分类,往往需要把数学对象抽象化、模型化、应用问题数学化,这离不开抽象的思维能力.3、数学的空间想象能力、数学的等价转化能力,以及数学的探究能力等.这些能力在许多涉及分类讨论的中考试题求解中已有较为集中的反映.

学习分类思想意义1学习分类方法，增强思维的缜密性分类的方法。

常有以下几种1根据数学的概念进行分类2根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类如学习一元二次方程，根的判别式时，对于变形后的方程  用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。

 3 根据图形的特征或相互间的关系进行分类。

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：

直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例如等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，底边长为a其腰上的高是多少三、引导分类讨论，提高合理解题的能力初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。

在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：

；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：

①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情　况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

　应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。

运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

分类思想的几种情况1．“为了分类，而分类”。

在学习数学时，通过分类可以使大量繁杂的知识条理化、系统化，有助于人们更好的掌握知识和形成良好的知识体系。

例如：

在教学“三角形的分类”时。

我们必须根据同一标准将各式各样的三角形进行分类，按角的特征进行分类，还可以按边的特征进行分类，！

在教学中还有此类运用“分类”的方法，如根据自然数能否被2整除的标准分为奇数和偶数。

这些分类的标准都是抓住了分类对象的本质特征进行的。

并且在分类后根据其一类的特性进行定义，这样的一个分类的过程就是“为了分类，而分类。

”在此类教学活动中必须提供丰富的素材让学生分类，还要注意分类的标准统一性，2．“为了比较，而分类。

”人们认识事物往往是从区分事物开始的。

要区分事物，首先就要进行比较，有比较才有鉴别。

而分类就是以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后出本质上认识新的事物。

这种“为了比较，而分类”，在数学概念的教学中有运用。

在每年中考中，在考查基础知识的基础上，特别注重对数学思想和方法的考查。

“分类”这一数学思想方法在生产生活以及科学研究中有着广泛的运用。

分类的关键在于正确地选择分类标准。

一个科学的分类标准必须能够将需要的分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。

这也是分类的重要原则，就必须分类时标准同一。

分类讨论是根据数学对象本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。

分类讨论在解题中是一种很重要的数学思想方法，掌握分类讨论思想，有助于学生提高理解知识，整理知识和独立获得知识的能力。

常见的需分类讨论的知识点有：

代数有绝对值，方程及根的定义，函数定义，点（坐标未给定）所在象限等；几何有各种图形的位置关系，末明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等例如：

教学“圆的认识”。

圆形是曲线图形的特点。

”将它和其他图形分类的过程中，进行比较从而突出它的特点。

这样分类的目的不是分类，而是通过运用“分类”这个方法和途径在分类中把我们研究的对象与其他对象“比较”突出特性。

由于某些事物比较特殊，特性一时难以发现所以在和其他事物比较中更易发现自身的特点。

例如：

在教学“对称”时，可以将“对称”和“不对称”的图形放在一起进行分类，比较后更容易凸现“对称”图形的特点。

3．“为了思考，而分类。

各种新旧知识交错出现，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类后，才能系统完整的理解它们，如不分类，就很容易出现混淆。

在解题教学中，通过分类还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而增强学生思维的条理性。

我们将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。

在解决某些问题中，有时问题中的条件不完善，需要我们从多角度去考虑分析问题。

我们可以看出分类往往能帮我们理清错综复杂的问题，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。

另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

充分尊重了学生的差异性，对学生进行分层教育，让不同的学生获得不同的发展。

在我们数学教学中我们可以根据不同层次的学生，采取不同的培养方式，制定不同层次的评价体系，获得不同的发展，也体现《课标》中“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

”这一教育思想也是运用“分类”思想方法让学生获得发展的体现。

在教育过程中，教师面对不同层次的学生都需要我们有一个“宽容”的爱心去教育学生。

同时在教学必须让所有的学生获得必需的技能——“人人都能获得必需的数学”。

从“有类”到“无类”的境界是教育思想的升华也是“分类”思想与其它领域的和谐统一。

如何培养数学分类思想。

数学分类思想培养在教学中渗透，一、深入分析教材，挖掘教材内在的思想和方法。

数学思想方法是前人探索数学真理过程的积累，但数学教材并不是这种探索过程的真实记录，恰恰相反，教材对完美演绎形式追求往往掩盖了内在思想方法，颠倒了数学真理发现过程，所以一方面要不断改革教材，使数学思想方法在教材中得到较好反映与体现；另一方面要深入分析教材，挖掘教材内在的思想和方法。

对学生数学分类思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。

数学分类思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。

、我们在平时数学教学活动中，应重视数学分类思想的方法教学，应将数学分类思想方法的教学寓于数学知识的教学之中。

二、重视教学过程，加强分类思想方法的训练和培养欲使数学思想方法的教学落实到实处，备课时不仅要明确章节和课时教学的知识点，还要列出知识与思想方法结合的交叉点。

分类思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。

教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。

对于学生的要求是能领会多少算多少。

数学分类思想方法教学的要求融入备课环节揭示和建立新旧知识的内在联系，使学生得到新知识的过程；后者指对己有的概念、定理、公式、法则和方法的巩固和应用中进一步理解的过程。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：

①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

渗透分类思想，养成分类的意识有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

渗透分类思想，养成分类的意识有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。

它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

   分类讨论的思想在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用．用分类讨论解答数学问题的主要步骤是：

①分析题目条件，明确讨论的对象，确定对象的全体；②确定分类标准，正确进行分类，做到不重不漏并力求最简；有时也会遇到二级分类；③逐类进行讨论、求解；④归纳小结，得出综合后的结论。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。

它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

   分类讨论的思想在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用．用分类讨论解答数学问题的主要步骤是：

①分析题目条件，明确讨论的对象，确定对象的全体；②确定分类标准，正确进行分类，做到不重不漏并力求最简；有时也会遇到二级分类；③逐类进行讨论、求解；④归纳小结，得出综合后的结论。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

数学分类思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内容有不同的要求，不同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要反复多次，小步地渐进。

渗透分类思想，养成分类的意识有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

用渗透方式进行数学分类思想方法教学，开始时起点要低，但“低”是为了“高”。

通过一个阶段的学习，应该在原有的基础上有所提高，要求学生“学会”并“会学”，在思维素质方面有所发展。

例如，数的绝对值和算术根的概念中蕴含着分类思想；通过感性的直观背景材料或己有的知识发现规律，不过早地给结论，弄清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是怎样思考的，使学生了解蕴含其中的思想方法三、搞好整理总结，进行思想方法的概括和提炼二、培养学生学习方法上的分类。

在教学过程中，不仅要求学生有分类思想，同时还应让学生具有分类的方法，对不同的数学问题进行不同的分类，要选择适当的分类标准，掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

常用方法大致有以下几种：

（1）依据有关数学概念分类。

（2）根据图形的特征或相互间的关系进行分类：

在学习圆周角定理一节时，由于圆心的位置在角的边上，在角的内部，在角的外部三种不同情况分别进行讨论证明，先证明圆心在圆角的一条边上，然后再运用同样的方法证明出另外两种情况，这是一种明显的从定理证明过程中反映出来的分类讨论思想和方法。

数学思想方法隶属性的特点，决定了它的教学形式主要以数学知识为载体，并按分散的形式进行，这种教学形式不仅符合数学思想方法自身特点，也符合学生的认知规律，学生在潜移默化的影响下逐步感受、领悟和掌握数学思想方法。

培养学生分类讨论的思想。

提高解题的综合能力。

在教科书中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，所以教学中应不断强化学生分类讨论的意识，让学生能够感受到这些问题只能通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的。

通过分类讨论还能提高学生的概括能力，提高学生思维的条理性和周密性，会收到事半功倍的教学成效。

四、加强解题教学分类讨论思想在解题中的应用为下一步分类讨论奠定基础。

根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础寻找教材中提供的机会。

如数的分类、一元二次方程根的分类等，都是对学生进行分类思想教育的好契机，尤其在进行分类引入和进行分类时，一定要教会学生把握住分类的关键所在，就是分类的标准。

分类标准不同，就会有不同的分类结果，在分类讨论的时候，注意一些基本原则，如分类对象的确定标准是统一的，若不然，对象混杂，标准不统一，就会出现这样或那样的错误。

如三角形分类：

等腰三角形、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，这样就是标准不统一，把握准确对象和标准是进行分类的关键。

波利亚曾强调指出：

“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，然而他所大力倡导的“解题”完全不同于“题海战术”。

他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”纲领，他认为解题应作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

因而，加强解题教学，不是搞题型训练，更不是搞题海，一方面通过解题和反思活动，在解题术的基础上总结归纳出解题方法，并提炼上升到思想高度；另一方面在解题活动中，应充分发挥数学思想，对发现解题途径的定向、联想和转化功能，突出它对解题指导作用。

总结中学数学教材中分类讨论的知识点大致有：

绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘（除）时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;……当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。

另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。

相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

突出思想方法指导养学生数学意识上的分类。

在学生已经学过的知识中，我们可以利用这一知识的基础，把生活中的分类思想迁移到数学问题中来，在教学中进行数学分类思想的教育