高考数学 热点题型和提分秘籍 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数 文.docx

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高考数学热点题型和提分秘籍专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数文

专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．了解任意角的概念

2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化

3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

热点题型一象限角与终边相同的角

例1、

（1）终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为________。

（2）如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。

【答案】

（1）

（2）见解析

即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ（k∈Z），

所以角－α的终边在第二象限。

由π＋2kπ＜α＜＋2kπ（k∈Z），

得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ（k∈Z）。

所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴。

【提分秘籍】

1．终边在某直线上角的求法步骤

（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。

（2）按逆时针方向写出[0，2π）内的角。

（3）再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

（4）求并集化简集合。

2．确定kα，（k∈N*）的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。

【举一反三】

设角α是第二象限的角，且＝－cos，则角属于（　　）

A．第一象限　B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

热点题型二扇形的弧长及面积公式

例2、

（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。

（2）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

【解析】

（1）设圆心角是θ，半径是r，

【提分秘籍】弧度制应用的关注点

1.弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度。

在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系。

2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。

【举一反三】

已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，求弧长l。

【解析】设扇形的半径为rcm，如图。

由sin60°＝，

得r＝4（cm），

∴l＝|α|·r＝×4＝π（cm）。

热点题型三三角函数的定义及其应用

例3．

（1）若角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，则cosθ的值为________。

（2）顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为________。

【答案】

（1）－

（2）

【提分秘籍】三角函数定义的应用方法

（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值。

先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解。

（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。

（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。

【举一反三】

已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝（　　）

A．－B．±C．－D．±

【答案】C

【解析】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±。

得y＝时，sinα＝，tanα＝－，此时，sinα·tanα＝－。

当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，

此时，sinα·tanα＝－，故选C。

1.【2017北京】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.

【答案】

【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），

所以.

1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

2.【2016高考新课标2理数】若，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】，

且，故选D.

【2015高考新课标1，理2】=（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】原式===，故选D.

（2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（　　）

图11

　　A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

【答案】C　

1.sin（-270°）=　（　　）

A.-1B.0C.D.1

【解析】选D.因为-270°角的终边位于y轴的非负半轴上，在其上任取一点（0，y），则r=y，所以sin（-270°）===1.

2.已知α是第四象限角，则π-α是　（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】选C.因为α，π-α的终边关于y轴对称，所以由题意得π-α是第三象限角.

3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　（　　）

A.B.C.-D.-

【解析】选B.由题意小明需要把表调慢一个小时，逆时针旋转时针弧度.

4.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的终边在第　　　　象限（　　）

A.一B.二C.三D.四

【解析】选D.因为=，所以α在第四象限.

5.下列命题中正确的是　（　　）

A.若两扇形面积的比是1∶4，则它们弧长的比是1∶2

B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值

C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值

D.任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系

6.若tanα<0，且sinα>cosα，则α在　（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限[]

【解析】选B.因为tanα<0，所以α在第二或第四象限，又sinα>cosα，所以α在第二象限.

7.对于第四象限角的集合，下列四种表示中错误的是　（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】选C.先选定一周，A:

270°到360°再加360°的整数倍，B:

-90°到0°再加360°的整数倍，D:

630°到720°再加360°的整数倍，故A，B，D都正确，只有C错误.

8.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α=，则点P的坐标为　（　　）

A.（1，）B.（，1）

C.（）D.（1，1）

【解析】选D.设点P的坐标为（x，y），则由三角函数的定义得

即

故点P的坐标为（1，1）.

9.下列终边相同的角是　（　　）

A.kπ+与，k∈Z

B.kπ±与，k∈Z

C.kπ+与2kπ±，k∈Z

D.（2k+1）π与（4k±1）π，k∈Z

10.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为　（　　）

【解析】选C.如图，取AP的中点为D，设∠DOA=θ，

则d=2sinθ，l=2θR=2θ，

所以d=2sin.

11．已知α（0<α<2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为　　　　　.

【答案】或

【解析】根据正弦线和余弦线的定义知，

当α=和时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同.

12．若sinθ·cosθ<0，=cosθ，则点P在　（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

13.已知角α的终边经过点P（3a-9，a+2），且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是　　　　　.

【答案】（-2，3]

【解析】由得

所以-2

14.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=　　　　.

【答案】—8

【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角.所以y<0，sinθ=-=，解得y=-8.

15.顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α=30°，β=60°，则弦AB的长为　　　　.

【答案】

【解析】由三角函数的定义得A（cos30°，sin30°），B（cos60°，sin60°），

即A，B.

所以|AB|=

==.

16.写出下面各图中终边在阴影内的角的集合（包括边界）.[]

（1）　.

（2）　.

【答案】

（1）

（2）

17.若角θ的终边过点P（-4a，3a）（a≠0），

（1）求sinθ+cosθ的值.

（2）试判断cos（sinθ）·sin（cosθ）的符号.

【解析】

（1）因为角θ的终边过点P（-4a，3a）（a≠0），[]

所以x=-4a，y=3a，r=5|a|，

当a>0时，r=5a，sinθ+cosθ=-.[

18.已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断的符号.

【解析】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y轴上或x轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-10，sin（cosθ）<0，故<0，即符号为负.

19.如图，动点P，Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长.

【解析】设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，

则t·+t·=2π，所以t=4（秒），即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒.

设第一次相遇点的坐标为C（xC，yC），