初一数学讲义学生版整理.docx

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初一数学讲义学生版整理

第一讲和绝对值有关的问题

一、知识结构框图：

二、绝对值的意义：

（1）几何意义：

一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

（2）代数意义：

①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

说明：

（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

也可以写成：

三、典型例题

例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（）

A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b

例2．已知：

，

，且

，那么

的值（）

A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号

例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

例4．（整体思想）方程

的解的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．无穷多个

例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与

，3与5，

与

，

与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：

___.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为________________.

（3）结合数轴求得

的最小值为，取得最小值时x的取值范围为___.

（4）满足

的

的取值范围为______.

第二讲：

代数式的化简求值问题

1、知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容.

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：

一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式

的值与x无关，

求

的值.

例2．x=-2时，代数式

的值为8，求当x=2时，代数式

的值。

例3．当代数式

的值为7时,求代数式

的值.

例4．已知

，求

的值.

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：

A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且

，

则

的值是_______。

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的

代数式表示为__________________________．

例8．将正奇数按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1357

第二行1513119

第三行17192123

第四行31292725

根据上面规律，2007应在

A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：

①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为

（其中k是使

为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．

第三讲：

与一元一次方程有关的问题

一、典型例题

例1．若关于x的一元一次方程

=1的解是x=-1，则k的值是（）

A．

B．1C．-

D．0

例2．若方程3x-5=4和方程

的解相同，则a的值为多少？

例3.（方程与代数式联系）

a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算

.

（1）则

的值为；

（2）当

时，

=.

例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高

厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）

A．

B．

C．

D．

例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。

此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。

（提示）题中的等量关系为：

小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+

课外知识拓展：

一、含字母系数方程的解法：

思考：

是什么方程？

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以

不是一元一次方程

我们把它称为含字母系数的方程。

例6．解方程

例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：

（1）有唯一解；

（2）有无数解；（3）无解。

例8．解方程

二、含绝对值的方程解法

例9．解下列方程

例10．解方程

例11．解方程

第四讲：

图形的初步认识

基本要求：

1．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ ）

A．①②③       B．②③④       C．①③④       D．①②④

较高要求：

2．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的

一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是（）

A．7B．8C．9D．10

3．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对

两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c=（）

A．40B.38C.36D.34

4．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）

9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是（）

A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥　B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱

C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥　D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥

13．对右面物体的视图描绘错误的是（）

（四）新颖题型

16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为.

第五讲：

线段和角

一、知识结构图

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？

问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个

（A）3（B）4（C）5（D）6

拓展：

在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？

（二）与线段中点有关的问题

线段的中点定义：

文字语言：

若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

图形语言：

几何语言：

∵M是线段AB的中点

∴

，

典型例题：

1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（）

（A）AP=

AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=

AB

2．若点B在直线AC上，下列表达式：

①

；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．

其中能表示B是线段AC的中点的有（  ）

A．1个         B．2个         C．3个       D．4个

3．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=______MN．

4．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）

A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b

（三）与角有关的问题

1．已知：

一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，

则∠AOC=____________度（分类讨论）

2．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠MON的度数，试证明你的结论．

3．如图，已知直线

和

相交于

点，

是直角，

平分

，

，

求

的度数．

4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

（1）若∠A=60°，求∠O；

（2）若∠A=100°，∠O是多少？

若∠A=120°，∠O又是多少？

（3）由

（1）、

（2）你又发现了什么规律？

当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？

（提示：

三角形的内角和等于180°）

5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（B）对

（A）2（B）3（C）4（D）5

6．互为余角的两个角   （）

（A）只和位置有关（B）只和数量有关

（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）

A.

（∠1＋∠2）B.

∠1C.

（∠1－∠2）D.

∠2

第六讲：

相交线与平行线

一、知识框架

二、典型例题

1.下列说法正确的有（）

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;

④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图所示,下列说法不正确的是（）毛

A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段

3.下列说法正确的有（）

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，

这两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°

5．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（）

A.CD>ADB.ACBDD.CD

6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,

则∠2=______.

7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？

9.如图，在

的正方形网