中考数学复习考点精练第7课时 一元二次方程及其应用.docx

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中考数学复习考点精练第7课时一元二次方程及其应用

2019-2020年中考数学复习考点精练：

第7课时一元二次方程及其应用

命题点1解一元二次方程（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查3次，2013

年考查3次）

1.（2015徐州20

（1）题5分）解方程：

x2-2x-3=0.

2.（2014徐州20

（1）题5分）解方程：

x2+4x-1=0.

3.（2014泰州17

（2）题6分）解方程：

2x2-4x-1=0.

命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（近3年39套卷，2015年考

查6次，2014年考查6次，2013年考查5次）

1.（2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是（）

A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0

C.（x-1）（x+2）=0D.（x-1）2+1=0

2.（2015连云港6题3分）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k<

B.k>-

C.k<

且k≠0D.k>-

且k≠0

3.（2013镇江8题2分）写一个你喜欢的实数m的值_______，使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.

4.（2015南通12题3分）已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于_______.

5.（2015南京12题2分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是________.

6.（2015镇江9题2分）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________.

7.（2015徐州13题3分）已知关于x的方程x2-2

x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为_________.

8.（2014扬州17题3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为.

9.（2015泰州18题8分）已知：

关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.

（1）不解方程，判别方程根的情况；

（2）若方程有一个根为3，求m的值.

命题点3一元二次方程的应用（近3年39套卷，2015年考查2次，2014年考查1次，

2013年考查3次）

1.（2013南京14题2分）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：

__________.

第1题图

2.（2014南京22题8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

3.（2013连云港23题10分）小林准备进行如下操作实验：

把一根长为40　cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58　cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：

“这两个正方形的面积之和不可能等于48　cm2.”他的说法对吗？

请

说明理由.

4.（2015淮安26题10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售是_______斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

【答案】

命题点1解一元二次方程

1.解：

因式分解得：

（x+1）（x-3）=0，…………………………………………………………（3分）

即x+1=0或x-3=0，…………………………………………………………………………（4分）

解得：

x1=-1,x2=3.……………………………………………………………………………（5分）

2.解：

原式可化为（x2+4x+4-4）-1=0，即（x+2）2=5，…………………………………（3分）

两边开方得，x+2=±

，…………………………………………………………………（4分）

解得x1=-2+

，x2=-2-

.…………………………………………………………………（5分）

3.解：

这里a=2，b=-4，c=-1，……………………………………………………………（2分）

∵b2-4ac=16+8=24，…………………………………………………………………………（4分）

∴x=

.

即x1=

x2=

.…………………………………………………………………（6分）

命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1.C【解析】A.b2-4ac=（-1）2-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以A选项错误；B.b2-4ac=12-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以B选项错误；C.x-1=0或x+2=0，则x1=1,x2=-2,所以C选项正确；D.（x-1）2+1=0，方程左边为正数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误.

2.A【解析】∵方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac>0，即（-2）2-4×3k>0,解得k<

.

3.0（答案不唯一）【解析】根据题意得：

b2-4ac=1-4m＞0，解得：

m＜14，则m可以为0，答案不唯一.

4.-2【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，∵a＝2，b＝4，c＝-3，∴x1+x2＝

＝-2.

5.3，-4【解析】由题意及一元二次方程根与系数的关系知x1x2=3，得另一根为3，再由x1＋x2=-m，得m=-4.

6.a>0【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题中的判别式b2-4ac=-4a，∵方程没有实数根，则-4a<0，∴a>0.

7.-3【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由于方程有两个相等的实数根，则（-2

）2-4×1×（-k）=0，解得k=-3.

8.23【解析】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-

2a+17=23.

9.解：

（1）∵a=1,b=2m,c=m2-1,……………………………………………………………（1分）

∴b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，………………………………………………………（3分）

∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根;…………………………………………（4分）

（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，

∴32+2m×3+m2-1=0,…………………………………………………………………………（6分）

解得，m=-4或m=-2.…………………………………………………………………………（8分）

命题点3一元二次方程的应用

1.（x+1）2=25（本题答案不唯一）【解析】解法一：

分割法，如解图①，将图形分割成两个长方形，由题意，x（x+1）+x×1=24即x2+2x=24，∴x2+2x-24=0.解法二：

补图法，如解图②，将图形补成一个正方形，由题意，（x+1）2-1=24,∴（x+1）2=25.

第1题解图

2.

（1）【信息梳理】设平均增长率为x.

原题信息

整理后的信息

一

该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，第二年增长的百分率是x

第2年的可变成本为：

2.6（1+

x）

二

第3年增长的百分率是x

第3年的可变成本为：

2.6（1+x）（1+x）

解：

2.6（1+x）2；…………………………………………………………………………（4分）

（2）【思路分析】由题意，等量关系为第三年养殖成本4+2.6（1+x）2万元等于7.146万元，可解方程得结论.

解：

根据题意，得4+2.6（1+x）2=7.146.

解方程，得x1=0.1,x2=-2.1（不合题意，舍去）.

答：

可变成本平均每年增长的百分率是10％.……………………………………………（8分）

3.

（1）【思路分析】设剪成的较短的一段为xcm，较长的一段就为（40-x）cm.就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可.

解：

设剪成的较短的一段为xcm，较长的一段则为（40-x）cm，由题意，得：

（

）2+（

）2=58,

………………………………………………………………………………………………（2分）

解得：

x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40-12=28cm，………………………………………………………（3分）

当x=28时，较长的为40-28=12＜28（舍去），…………………………………………（4分）

∴较短的一段为12cm，较长的一段为28cm.……………………………………………（5分）

（2）【思路分析】设剪成的较短的一段为mcm，较长的一段则为（40-m）cm.就可以分别

表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确.

解：

设剪成的较短的一段为mcm，较长的一段则为（40-m）　cm，由题意，得：

（

）2+（

）2=48，……………………………………………………………………（7分）

变形为：

m2-40m+416=0，

∵b2-4ac=（-40）2-4×416=-64＜0，

∴原方程无实数根，…………………………………………………………………………（9分）

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.……………………（10分）

4.

（1）【思路分析】因为售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，售价降低x元，每天可多售出20×

斤，每天销售量为100+20×

=（200x+100）（斤）.

解：

200x+100；………………………………………………………………………………（2分）

（2）【思路分析】根据：

每天销售利润=（原销售价-成本价-销售价降低部分）×每天销售量，建立方程求解.

解：

根据题意，得

（200x+100）（4-2-x）=300，………………………………………………………………（4分）

整理，得2x2-3x+1=0，………………………………………………………………………（6分）

（x-1）（2x-1）=0,

解得x1=1,x2=0.5，…………………………………………………………………………（8分）

当x=0.5时，每天销售量为200×0.5+100=200<260，不合题意，舍去.………………（9分）

答：

销售这种水果要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤销售价降低1元.……（10分）

2019-2020年中考数学复习考点精练：

第8课时分式方程及其应用

命题点1解分式方程（近3年39套卷，2015年考查5次，2014年考查7次，2013年考查9次）

命题解读解分式方程考查的题型有选择题、填空题和解答题，其中以解答题为主，所给的分式方程有3种形式：

①等号两边均为分式；②等号左边为分式，等号右边为常数项或分式与常数项的和或差；③等号左边为两个分式或常数项与分式，等号右边为常数项.

1.（2015淮安9题3分）方程

-3=0的解是__________.

2.（2015宿迁12题3分）方程

-

=0的解为________.

3.（2015镇江19

（1）题5分）解方程：

=

.

4.（2015南通19

（2）题5分）解方程

=

.

5.（2014苏州22题6分）解分式方程：

.

6.（2014连云港19题6分）解方程

.

7.（2013泰州18题8分）解方程：

.

命题点2分式方程的应用（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查2次，2013年考查2次）

1.（2015苏州22题6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？

2.（2015扬州24题10分）扬州建城2500年之际，为了加速美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20％，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？

3.（2013扬州24题10分）某校九

（1）、九

（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况.

（Ⅰ）九

（1）班班长说：

“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人.”

（Ⅱ）九

（2）班班长说：

“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20％.”

请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数.

4.（2015连云港23题10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

【答案】

命题点1解分式方程

1.x=

【解析】去分母得1-3x=0，移项得-3x=-1，系数化成1得x=

，因为x=

≠0，所以x=

是方程

-3=0的解.

2.x=6【解析】给分式方程两边同时乘以x（x-2），得3（x-2）-2x=0，解得x=6，经检验x=6是原分式方程的根.

3.解：

去分母，得6+2x=4-x，……………………………………………………………（2分）

解得x=-

……………………………………………………………………………………（4分）

经检验，x=-

是原方程的解.

所以，原方程的解为x=-

.………………………………………………………………（5分）

4.解：

方程两边同时乘以2x（x+5）,得x+5=6x，………………………………………（2分）

解得x=1，……………………………………………………………………………………（3分）

检验：

当x=1时，2x（x+5）≠0，……………………………………………………………（4分）

所以，原分式方程的解为x=1.………………………………………………………………（5分）

5.解：

去分母得：

x-2=3x-3,………………………………………………………………（2分）

解得：

x=

，…………………………………………………………………………………（4分）

经检验x=

是分式方程的解.

∴原分式方程的解为x=

.………………………………………………………………（6分）

6.【思路分析】按照解分式方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数

化为1求解.在去分母时，不要漏掉乘常数项，最后检验.

解：

去分母，得2+3（x-2）=-（1-x），……………………………………………………（2分）

去括号，得2+3x-6=-1+x，

移项，得3x-x＝-1+6-2，

合并同类项，得2x=3，

系数化为1，得x=

.………………………………………………………………………（4分）

检验：

将x=

代入公分母x-2中，得x-2＝

-2＝-

≠0，……………………………（5分）

∴原分式方程的解为x=

.…………………………………………………………………（6分）

7.解：

方程两边同时乘以x（x-2）得：

（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，……………（2分）

化简得：

-4x=2，

解得：

x＝-

，………………………………………………………………………………（4分）

检验：

把x＝-

代入x（x-2）＝

≠0，…………………………………………………（6分）

故方程的解是：

x＝-

.……………………………………………………………………（8分）

命题点2分式方程的应用

1.【思路分析】根据相等关系“甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等”列出方程求解，注意不能忘记检验.

解：

设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，…………………………（1分）

根据题意，得

=

，………………………………………………………………（3分）

解方程，得x=25，…………………………………………………………………………（4分）

经检验，x=25是分式方程的解，

∴x+5=30.……………………………………………………………………………………（5分）

答：

甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗.……………………………………（6分）

2.【思路分析】本题基本的关系是工作量除以工作效率即为工作的时间，关键的等量关系就是实际比原计划提前两天完成，理顺这两个关系即可，但注意解出分式方程的根后要进行验根.

解：

设原计划每天栽树x棵.………………………………………………………………（1分）

根据题意，得

-

=2，……………………………………………………（5分）

解得x=100，………………………………………………………………………………（7分）

经检验，x=100是原方程的解，…………………………………………………………（9分）

答：

原计划每天栽树100棵.………………………………………………………………（10分）

3.【思路分析】首先设九

（1）班的人均捐款数为x元，则九

（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据九

（1）班人数比九

（2）班多8人，即可得方程：

-

=8，解此方程即可求得答案.

解：

设九

（1）班人均捐款数为x元，则九

（2）班人均捐款数为（1+20%）x元，…（1分）

由题意，得

-

=8，………………………………………………………（5分）

解得x=25，…………………………………………………………………………………（7分）

经检验，x=25是原分式方程的解，………………………………………………………（8分）

九

（2）班的人均捐款数为：

（1+20%）x=30.……………………………………………（9分）

答：

九

（1）班人均捐款为25元，九

（2）班人均捐款为30元.………………………（10分）

4.

（1）【信息梳理】设每张门票的原定票价为x元，

原题信息

整理后的信息

一

在原定票价的基础上每张降价80元

现在每张票价为（x-80）元

二

按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元

解：

设每张门票的原定票价为x元.……………………………………………………（1分）

由题意得：

解得：

x=400，

经检验，x=400是原方程的解.

答：

每张门票的原定票价为400元.………………………………………………………（5分）

（2）【信息梳理】设平均每次降价的百分率为y，由

（1）知原定票价为400元.

原题信息

整理后的信息

三

原定票价经过连续二次降价后降为324元

400（1－y）2=324

解：

设平均每次降价的百分率为y.

由题意得：

400（1-y）2＝324，

解得：

y1＝0.1，y2=1.9（不合题意，舍去），

答：

平均每次降价10％.……………………………………………………………………（10分）