中考数学复习考点精练第7课时 一元二次方程及其应用.docx
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中考数学复习考点精练第7课时一元二次方程及其应用
2019-2020年中考数学复习考点精练:
第7课时一元二次方程及其应用
命题点1解一元二次方程(近3年39套卷,2015年考查3次,2014年考查3次,2013
年考查3次)
1.(2015徐州20
(1)题5分)解方程:
x2-2x-3=0.
2.(2014徐州20
(1)题5分)解方程:
x2+4x-1=0.
3.(2014泰州17
(2)题6分)解方程:
2x2-4x-1=0.
命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(近3年39套卷,2015年考
查6次,2014年考查6次,2013年考查5次)
1.(2014苏州7题3分)下列关于x的方程有实数根的是()
A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0
C.(x-1)(x+2)=0D.(x-1)2+1=0
2.(2015连云港6题3分)已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k<
B.k>-
C.k<
且k≠0D.k>-
且k≠0
3.(2013镇江8题2分)写一个你喜欢的实数m的值_______,使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.
4.(2015南通12题3分)已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于_______.
5.(2015南京12题2分)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是,m的值是________.
6.(2015镇江9题2分)关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是________.
7.(2015徐州13题3分)已知关于x的方程x2-2
x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为_________.
8.(2014扬州17题3分)已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为.
9.(2015泰州18题8分)已知:
关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
命题点3一元二次方程的应用(近3年39套卷,2015年考查2次,2014年考查1次,
2013年考查3次)
1.(2013南京14题2分)已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程:
__________.
第1题图
2.(2014南京22题8分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
3.(2013连云港23题10分)小林准备进行如下操作实验:
把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:
“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?
请
说明理由.
4.(2015淮安26题10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤.为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售是_______斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
【答案】
命题点1解一元二次方程
1.解:
因式分解得:
(x+1)(x-3)=0,…………………………………………………………(3分)
即x+1=0或x-3=0,…………………………………………………………………………(4分)
解得:
x1=-1,x2=3.……………………………………………………………………………(5分)
2.解:
原式可化为(x2+4x+4-4)-1=0,即(x+2)2=5,…………………………………(3分)
两边开方得,x+2=±
,…………………………………………………………………(4分)
解得x1=-2+
,x2=-2-
.…………………………………………………………………(5分)
3.解:
这里a=2,b=-4,c=-1,……………………………………………………………(2分)
∵b2-4ac=16+8=24,…………………………………………………………………………(4分)
∴x=
.
即x1=
x2=
.…………………………………………………………………(6分)
命题点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.C【解析】A.b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0,方程没有实数根,所以A选项错误;B.b2-4ac=12-4×1×1=-3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;C.x-1=0或x+2=0,则x1=1,x2=-2,所以C选项正确;D.(x-1)2+1=0,方程左边为正数,方程右边为0,所以方程没有实数根,所以D选项错误.
2.A【解析】∵方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即(-2)2-4×3k>0,解得k<
.
3.0(答案不唯一)【解析】根据题意得:
b2-4ac=1-4m>0,解得:
m<14,则m可以为0,答案不唯一.
4.-2【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,∵a=2,b=4,c=-3,∴x1+x2=
=-2.
5.3,-4【解析】由题意及一元二次方程根与系数的关系知x1x2=3,得另一根为3,再由x1+x2=-m,得m=-4.
6.a>0【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式,本题中的判别式b2-4ac=-4a,∵方程没有实数根,则-4a<0,∴a>0.
7.-3【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式,由于方程有两个相等的实数根,则(-2
)2-4×1×(-k)=0,解得k=-3.
8.23【解析】∵a,b是方程x2-x-3=0的两个根,∴a2-a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3,∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-
2a+17=23.
9.解:
(1)∵a=1,b=2m,c=m2-1,……………………………………………………………(1分)
∴b2-4ac=(2m)2-4×1×(m2-1)=4>0,………………………………………………………(3分)
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根;…………………………………………(4分)
(2)∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3,
∴32+2m×3+m2-1=0,…………………………………………………………………………(6分)
解得,m=-4或m=-2.…………………………………………………………………………(8分)
命题点3一元二次方程的应用
1.(x+1)2=25(本题答案不唯一)【解析】解法一:
分割法,如解图①,将图形分割成两个长方形,由题意,x(x+1)+x×1=24即x2+2x=24,∴x2+2x-24=0.解法二:
补图法,如解图②,将图形补成一个正方形,由题意,(x+1)2-1=24,∴(x+1)2=25.
第1题解图
2.
(1)【信息梳理】设平均增长率为x.
原题信息
整理后的信息
一
该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,第二年增长的百分率是x
第2年的可变成本为:
2.6(1+
x)
二
第3年增长的百分率是x
第3年的可变成本为:
2.6(1+x)(1+x)
解:
2.6(1+x)2;…………………………………………………………………………(4分)
(2)【思路分析】由题意,等量关系为第三年养殖成本4+2.6(1+x)2万元等于7.146万元,可解方程得结论.
解:
根据题意,得4+2.6(1+x)2=7.146.
解方程,得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:
可变成本平均每年增长的百分率是10%.……………………………………………(8分)
3.
(1)【思路分析】设剪成的较短的一段为xcm,较长的一段就为(40-x)cm.就可以分别表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可.
解:
设剪成的较短的一段为xcm,较长的一段则为(40-x)cm,由题意,得:
(
)2+(
)2=58,
………………………………………………………………………………………………(2分)
解得:
x1=12,x2=28,
当x=12时,较长的为40-12=28cm,………………………………………………………(3分)
当x=28时,较长的为40-28=12<28(舍去),…………………………………………(4分)
∴较短的一段为12cm,较长的一段为28cm.……………………………………………(5分)
(2)【思路分析】设剪成的较短的一段为mcm,较长的一段则为(40-m)cm.就可以分别
表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程,如果方程有解就说明小峰的说法错误,否则正确.
解:
设剪成的较短的一段为mcm,较长的一段则为(40-m) cm,由题意,得:
(
)2+(
)2=48,……………………………………………………………………(7分)
变形为:
m2-40m+416=0,
∵b2-4ac=(-40)2-4×416=-64<0,
∴原方程无实数根,…………………………………………………………………………(9分)
∴小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.……………………(10分)
4.
(1)【思路分析】因为售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,售价降低x元,每天可多售出20×
斤,每天销售量为100+20×
=(200x+100)(斤).
解:
200x+100;………………………………………………………………………………(2分)
(2)【思路分析】根据:
每天销售利润=(原销售价-成本价-销售价降低部分)×每天销售量,建立方程求解.
解:
根据题意,得
(200x+100)(4-2-x)=300,………………………………………………………………(4分)
整理,得2x2-3x+1=0,………………………………………………………………………(6分)
(x-1)(2x-1)=0,
解得x1=1,x2=0.5,…………………………………………………………………………(8分)
当x=0.5时,每天销售量为200×0.5+100=200<260,不合题意,舍去.………………(9分)
答:
销售这种水果要想每天销售盈利300元,张阿姨需将每斤销售价降低1元.……(10分)
2019-2020年中考数学复习考点精练:
第8课时分式方程及其应用
命题点1解分式方程(近3年39套卷,2015年考查5次,2014年考查7次,2013年考查9次)
命题解读解分式方程考查的题型有选择题、填空题和解答题,其中以解答题为主,所给的分式方程有3种形式:
①等号两边均为分式;②等号左边为分式,等号右边为常数项或分式与常数项的和或差;③等号左边为两个分式或常数项与分式,等号右边为常数项.
1.(2015淮安9题3分)方程
-3=0的解是__________.
2.(2015宿迁12题3分)方程
-
=0的解为________.
3.(2015镇江19
(1)题5分)解方程:
=
.
4.(2015南通19
(2)题5分)解方程
=
.
5.(2014苏州22题6分)解分式方程:
.
6.(2014连云港19题6分)解方程
.
7.(2013泰州18题8分)解方程:
.
命题点2分式方程的应用(近3年39套卷,2015年考查3次,2014年考查2次,2013年考查2次)
1.(2015苏州22题6分)甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗.已知甲每小时比乙多做5面彩旗,甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等,问甲、乙每小时各做多少面彩旗?
2.(2015扬州24题10分)扬州建城2500年之际,为了加速美化城市,计划在路旁栽树1200棵,由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵数比原计划多20%,结果提前2天完成,求原计划每天栽树多少棵?
3.(2013扬州24题10分)某校九
(1)、九
(2)两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况.
(Ⅰ)九
(1)班班长说:
“我们班捐款总额为1200元,我们班人数比你们班多8人.”
(Ⅱ)九
(2)班班长说:
“我们班捐款总额也为1200元,我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%.”
请根据两个班长的对话,求这两个班级每班的人均捐款数.
4.(2015连云港23题10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
【答案】
命题点1解分式方程
1.x=
【解析】去分母得1-3x=0,移项得-3x=-1,系数化成1得x=
,因为x=
≠0,所以x=
是方程
-3=0的解.
2.x=6【解析】给分式方程两边同时乘以x(x-2),得3(x-2)-2x=0,解得x=6,经检验x=6是原分式方程的根.
3.解:
去分母,得6+2x=4-x,……………………………………………………………(2分)
解得x=-
……………………………………………………………………………………(4分)
经检验,x=-
是原方程的解.
所以,原方程的解为x=-
.………………………………………………………………(5分)
4.解:
方程两边同时乘以2x(x+5),得x+5=6x,………………………………………(2分)
解得x=1,……………………………………………………………………………………(3分)
检验:
当x=1时,2x(x+5)≠0,……………………………………………………………(4分)
所以,原分式方程的解为x=1.………………………………………………………………(5分)
5.解:
去分母得:
x-2=3x-3,………………………………………………………………(2分)
解得:
x=
,…………………………………………………………………………………(4分)
经检验x=
是分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=
.………………………………………………………………(6分)
6.【思路分析】按照解分式方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数
化为1求解.在去分母时,不要漏掉乘常数项,最后检验.
解:
去分母,得2+3(x-2)=-(1-x),……………………………………………………(2分)
去括号,得2+3x-6=-1+x,
移项,得3x-x=-1+6-2,
合并同类项,得2x=3,
系数化为1,得x=
.………………………………………………………………………(4分)
检验:
将x=
代入公分母x-2中,得x-2=
-2=-
≠0,……………………………(5分)
∴原分式方程的解为x=
.…………………………………………………………………(6分)
7.解:
方程两边同时乘以x(x-2)得:
(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,……………(2分)
化简得:
-4x=2,
解得:
x=-
,………………………………………………………………………………(4分)
检验:
把x=-
代入x(x-2)=
≠0,…………………………………………………(6分)
故方程的解是:
x=-
.……………………………………………………………………(8分)
命题点2分式方程的应用
1.【思路分析】根据相等关系“甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等”列出方程求解,注意不能忘记检验.
解:
设乙每小时做x面彩旗,则甲每小时做(x+5)面彩旗,…………………………(1分)
根据题意,得
=
,………………………………………………………………(3分)
解方程,得x=25,…………………………………………………………………………(4分)
经检验,x=25是分式方程的解,
∴x+5=30.……………………………………………………………………………………(5分)
答:
甲每小时做30面彩旗,乙每小时做25面彩旗.……………………………………(6分)
2.【思路分析】本题基本的关系是工作量除以工作效率即为工作的时间,关键的等量关系就是实际比原计划提前两天完成,理顺这两个关系即可,但注意解出分式方程的根后要进行验根.
解:
设原计划每天栽树x棵.………………………………………………………………(1分)
根据题意,得
-
=2,……………………………………………………(5分)
解得x=100,………………………………………………………………………………(7分)
经检验,x=100是原方程的解,…………………………………………………………(9分)
答:
原计划每天栽树100棵.………………………………………………………………(10分)
3.【思路分析】首先设九
(1)班的人均捐款数为x元,则九
(2)班的人均捐款数为(1+20%)x元,然后根据九
(1)班人数比九
(2)班多8人,即可得方程:
-
=8,解此方程即可求得答案.
解:
设九
(1)班人均捐款数为x元,则九
(2)班人均捐款数为(1+20%)x元,…(1分)
由题意,得
-
=8,………………………………………………………(5分)
解得x=25,…………………………………………………………………………………(7分)
经检验,x=25是原分式方程的解,………………………………………………………(8分)
九
(2)班的人均捐款数为:
(1+20%)x=30.……………………………………………(9分)
答:
九
(1)班人均捐款为25元,九
(2)班人均捐款为30元.………………………(10分)
4.
(1)【信息梳理】设每张门票的原定票价为x元,
原题信息
整理后的信息
一
在原定票价的基础上每张降价80元
现在每张票价为(x-80)元
二
按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元
解:
设每张门票的原定票价为x元.……………………………………………………(1分)
由题意得:
解得:
x=400,
经检验,x=400是原方程的解.
答:
每张门票的原定票价为400元.………………………………………………………(5分)
(2)【信息梳理】设平均每次降价的百分率为y,由
(1)知原定票价为400元.
原题信息
整理后的信息
三
原定票价经过连续二次降价后降为324元
400(1-y)2=324
解:
设平均每次降价的百分率为y.
由题意得:
400(1-y)2=324,
解得:
y1=0.1,y2=1.9(不合题意,舍去),
答:
平均每次降价10%.……………………………………………………………………(10分)