中考数学知识点一遍过.docx

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中考数学知识点一遍过

模块一　数与式

知识点一　实数

1.实数的分类

（1）按实数的定义分类

实数

（2）按实数的正负分类

实数

2.实数的有关概念和性质

（1）数轴

①数轴的三要素:

原点、　　　　和单位长度.

②实数与数轴上的点建立了　　　　　的关系.

（2）相反数

①定义:

a的相反数是　　　.

②性质:

若a,b互为相反数⇔a+b=　　　.

（3）倒数

①定义:

a的倒数为　　　　（a≠0）.

②性质:

若a,b互为倒数⇔ab=　　　.

（4）绝对值

①定义:

一般地,数轴上表示数a的点与　　　　的距离,叫做数a的绝对值,记作　　　　.

②性质:

非负性,即|a|　　　0.

③化简:

|a|=

（5）科学记数法

科学记数法的一般形式:

把一个数写成　　　　的形式（其中　　　≤|a|<　　　,n为整数）.

（6）平方根和立方根

①平方根

a.正数有　　　　个平方根,其中　　　　　　　叫算术平方根;　　　　没有平方根;0的平方根是　　　　.

b.若a>0,则数a的平方根为　　　　,算术平方根为　　　　.

②立方根:

任何实数都有一个立方根,a的立方根是　　　　.

3.实数的大小比较

（1）性质比较法

若a>0,b>0,且|a|>|b|,则　　　　.

若a<0,b<0,且|a|>|b|,则　　　　.

一切正数都　　　　0;一切负数都　　　　0;正数　　　　负数.

（2）数轴比较法

在数轴上,右边的数总是　　　　左边的数.

（3）作差比较法

对于a,b两个实数,若a-b>0,则　　　　;若a-b=0,则　　　　;若a-b<0,则　　　　.

（4）平方比较法

若a>0,b>0且a2>b2,则　　　　.

4.实数运算

（1）实数的运算类型和顺序

实数的

运算

种类

实数的运算包括加、减、乘、除、　　　　和　　　　

乘方

=　　　　,

其中a是底数,n是指数

零指数幂

和负整数

指数幂

a0=　　　　（a≠0）,

a-p=　　　　（a≠0）

实数的运

算顺序

先算　　　　　　,再算　　　　,最后算　　　　,如果有括号,先算括号里边的,同一级运算从　　　到　　　依次进行

（2）运算律的应用

①加法交换律:

a+b=　　　　;

②加法结合律:

（a+b）+c=　　　　;

③乘法交换律:

ab=　　　　;

④乘法结合律:

（ab）c=　　　　;

⑤乘法分配律:

a（b+c）=　　　　.

实数运算要先定符号,再分顺序,并优先使用运算律.

知识点二　整式的运算与因式分解

1.整式的分类

2.同类项

所含字母　　　　　,且相同字母指数也　　　　　的单项式,所有的　　　　　都是同类项.

3.整式的运算

（1）整式的加减:

整式的加减其实质为合并同类项,在合并同类项时,将同类项的系数　　　　　　,所得结果作为系数,字母和字母的指数　　　　　　.

（2）幂的运算（m,n为正整数,且m>n）

①同底数幂相乘:

am·an=　　　　.

②同底数幂相除:

am÷an=　　　　（a≠0）.

③同底数幂乘方:

（am）n=　　　　.

④积的乘方:

（ab）n=　　　　.

（3）整式的乘除

整式的

乘法

单项式乘

单项式

　　　　和　　　　　分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的　　　　一起作为积的一个因式

单项式乘

多项式

m（a+b+c）=　　　

多项式乘

多项式

（a+b）（m+n）=　　　　　

平方差公式:

（a+b）（a-b）=　　　

完全平方公式:

（a±b）2=　　　　

整式的

除法

单项式除

以单项式

把　　　　与　　　　　分别相除作为商的因式,对于只有被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式

多项式除

以单项式

用多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商　　　

4.因式分解

因式分解的定义:

把一个多项式化成几个　　　　　的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.

（1）因式分解的方法:

①提公因式法:

am+bm+cm=　　　　.

②运用公式法

③特殊结构形式:

x2+（p+q）x+pq=　　　　.

（2）因式分解的步骤

一提:

有公因式的先提　　　　,首项是负数要把负号一起提出来.

二套:

再考虑用　　　　来分解因式.

三检验:

一验等号左右两边是否相等,二验分解结果是否彻底.

知识点三　分式

1.分式的有关概念

分式:

如果A,B表示两个　　　　,并且B中含有　　　　,那么式子　　　　叫分式.

2.与分式有关的“五个条件”

（1）分式

无意义时,　　　　;

（2）分式

有意义时,　　　　;

（3）分式

的值为零时,A　　　　且B　　　　;

（4）分式

的值为正时,A,B　　　,即

或

（5）分式

的值为负时,A,B　　　,即

或

3.分式的性质

（1）文字叙述:

分式的分子和分母都乘以或除以同一个　　　　的整式,分式的值不变.

（2）用式子表示:

（M≠0,A,B,M是整式）

4.约分、通分

（1）约分:

把一个分式的分子和分母的　　　　约去.

（2）通分:

关键是确定几个分式中分母的　　　　　　.

（3）约分和通分的依据是　　　　　　　　.

（4）最简公分母:

一般地,取各分母的所有因式的　　　　　　　　作公分母,这个公分母叫做最简公分母.

5.分式的运算

（1）分式的加减

①同分母分式相加减:

　　　　不变,分子　　　　.即

=　　　　.

②异分母分式相加减:

先　　　　,化为　　　　的分式,再相加减,即

=　　　　　　　　　　.

（2）分式的乘除

①

=　　　　;

②

·　　　　=　　　　.

（3）分式的乘方

n=　　　　（b≠0,n为正整数）.

知识点四　二次根式

1.二次根式的有关概念

二次根式的定义:

形如　　　　　　的式子叫二次根式.

2.最简二次根式满足的条件

（1）被开方数中不含　　　　;

（2）被开方数中不含　　　　　　的因数或因式.

3.二次根式的性质

双重非负性:

即

　　　0且a　　　0.

（

）2=　　　（a≥0）.

=|a|=

=　　　　（a≥0,b≥0）.

=　　　　（b≥0,a>0）.

4.二次根式的运算

（1）二次根式的加减

①先将二次根式化成　　　　　　　;

②再将　　　　　　　　的二次根式进行合并.

（2）二次根式的乘除

二次根式的乘法:

（　　　　,　　　　）;

二次根式的除法:

（　　　　,　　　　）.

模块二　方程（组）与不等式（组）

知识点五　一次方程与方程组

1.等式的基本性质

性质1:

如果a=b,则a±c=　　　　.

性质2:

如果a=b,则ac=　　　;

如果a=b,则

=　　　　（c≠0）.

2.一元一次方程

一元一次方程:

只含有　　　　未知数,未知数的次数都是　　　,等号两边都是　　　　,这样的方程叫做一元一次方程.

3.解一元一次方程的步骤

（1）去分母:

在方程两边同乘各分母的　　　　　　　;

（2）去括号:

先去小括号,再去中括号,最后去大括号;

（3）移项:

把含有未知数的项都移到方程的一边,常数项都移到另一边;

（4）合并同类项:

化方程为　　　　的最简形式;

（5）系数化为1:

在方程两边都除以未知数的　　　　,得到未知数的值.

4.二元一次方程:

含有　　　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是　　　的整式方程.

5.二元一次方程组:

把具有　　　　未知数的两个二元一次方程组合在一起就叫二元一次方程组.

6.二元一次方程组的解:

能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值.

7.二元一次方程组的解法

（1）解二元一次方程组的思想是　　　　.

（2）二元一次方程组的一般解法:

　　　　　　,　　　　　　　.

8.应用问题中常用的数量关系及题型

（1）数字问题（包括日历中的数字规律）

设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是　.

（2）打折销售问题

①单件利润=　　　　-　　　　=利润率×　　　　;

②利润率=　　　　×100%;

③总利润=单件利润×　　　　.

（3）行程问题

①速度×　　　　=路程.

②顺水速度=　　　　+　　　　.

逆水速度=　　　　-　　　　.

知识点六　分式方程

1.分式方程的概念

分母中含有　　　　的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

（1）基本思想:

将分式方程转化为　　　　方程.

（2）方法:

去分母,即方程两边同乘以　　　　　　　.

（3）验根:

①解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程必须检验;

②验根的方法:

把所得的整式方程的根代入　　　　　　　,看是否为0.

3.分式方程的应用

列分式方程解应用题的一般步骤

（1）审——认真审题,分清已知量与未知量;

（2）设——根据题意,选定合适的未知数;

（3）列——根据等量关系,列出分式方程;

（4）解——用去分母法解分式方程,转化为整式方程;

（5）验——检验得到的整式方程的解是否是原分式方程的解,并检验是否符合题意.

知识点七　一元二次方程

1.一元二次方程的定义

定义:

只含有　　　　未知数,且未知数的最高次数是　　　的　　　　方程叫做一元二次方程.

一般形式:

一元二次方程的一般形式是　　　　　　　　　　.

2.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法:

根据平方根的定义:

对于形如（mx+n）2=p（m≠0,p≥0）.可转化为一元一次方程mx+n=　　　　来解.

（2）配方法:

①配方法的实质:

通过配方把一元二次方程ax2+bx+c=0变形为

的形式,再利用开平方法求解.

②配方法的一般步骤

a.化二次项系数为1;

b.把常数项移到方程的右边去;

c.方程两边同时加上一次项系数　　　　　　　;

d.方程转化为（x+m）2=n的形式;

e.运用直接开平方法求解.

（3）公式法:

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,当Δ=b2-4ac≥0时,求根公式为x=　　　　　　.

（4）因式分解法:

把一元二次方程变形后因式分解,转化为两个　　　　　的乘积等于　　　的形式.再使这两个一次因式分别等于0,从而实现　　　　,这种解法叫做因式分解法.

3.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式

（1）b2-4ac>0⇔方程有两个　　　　的实数根;

（2）b2-4ac=0⇔方程有两个　　　　的实数根;

（3）b2-4ac<0⇔方程　　　实数根.

一元二次方程的根的判别式的应用

（1）不解方程,判定根的情况;

（2）根据方程根的情况,确定方程系数中字母的取值范围.

4.一元二次方程根与系数的关系

设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=　　　　,x1·x2=　　　　.

5.一元二次方程的应用

几种常见的一元二次方程应用问题:

（1）球队比赛场次问题及有规律图形个数问题;

（2）增长率问题:

若基数为a,平均增长率为x,则增长一次后的值为　　　　,增长两次后的值为　　　　.

（3）面积类问题:

解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形,找出各部分面积之间的关系,利用面积计算公式列出方程求解.

（4）利润类问题:

常用的关系有利润率=

×100%;利润=售价-进价;总利润=单个利润×销售量.

知识点八　一元一次不等式（组）

1.不等式的概念

不等式的定义:

用不等号表示　　　　关系的式子叫不等式.

不等式的解、解集:

能使不等式成立的　　　　的值叫不等式的解;满足不等式成立的未知数的所有的值组成这个不等式的解的　　　　,简称不等式的　　　　.

2.不等式的性质

（1）不等式的性质1:

如果a>b,那么a±c　　b±c;

（2）不等式的性质2:

如果a>b,c>0,那么ac　　bc

或

;

（3）不等式的性质3:

如果a>b,c<0,那么ac　　bc

或

3.一元一次不等式及其解法

一元一次不等式的一般形式为　　　　或ax+b<0（a≠0）.

解一元一次不等式的一般步骤:

去分母、　　　　、移项、　　　　　　、系数化为1.

将一元一次不等式化为ax>b的形式.

（1）若a>0,则解集为　　　　;

（2）若a<0,则解集为　　　　.

4.一元一次不等式解集的表示方法

解集在

数轴上

的表示

x>a

x≤a

5.一元一次不等式组及其解法

（1）一元一次不等式组:

关于同一个未知数的几个　　　　　　合在一起,就组成一个一元一次不等式组.

（2）一元一次不等式组的解法:

先分别求出不等式组中的每个不等式的解集,再求出它们的　　　　,即为解集.

（3）常见的不等式组解集的表示

不等式

组的解

集情况

（假设

类型

解集

在数轴上表示

口诀

x>b

同大取大

同小取小

大小小大中间找

无解

大大小小解不了

模块三　函　数

知识点九　平面直角坐标系

1.平面直角坐标系

（1）概念:

具有公共　　　　的两条相互　　　　的数轴构成了平面直角坐标系.

（2）点的位置的确定:

有序　　　　可以准确地确定平面内点的位置.

2.平面内点的坐标的规律

（1）各象限内点的坐标的特征

点P（x,y）在第一象限⇔　　　　;

点P（x,y）在第二象限⇔　　　　;

点P（x,y）在第三象限⇔　　　　;

点P（x,y）在第四象限⇔　　　　.

（2）坐标轴上点的坐标的特征

点P（x,y）在x轴上⇔　　　　,x为任意实数;

点P（x,y）在y轴上⇔　　　　,y为任意实数;

点P（x,y）在坐标原点⇔　　　　.

3.坐标平面内特殊直线上的点的坐标特征

（1）平行于坐标轴的直线

（2）四个象限的角平分线

4.点到坐标轴的距离

到x轴的距离

点P（a,b）到x轴的距离等于点P的　　　　　　　,即|b|

到y轴的距离

点P（a,b）到y轴的距离等于点P的　　　　　　　,即|a|

到原点的距离

点P（a,b）到坐标原点的距离为　　　

5.用坐标表示平移和对称点

（1）点的平移

在平面直角坐标系中,将点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度,可以得到对应点　　　　（或　　　　）;将点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度,可以得到点　　　　（或　　　　）.

左右平移变化横坐标——右加左减

上下平移变化纵坐标——上加下减

（2）图形的平移

对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化,反过来,从图形上的点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.

（3）对称点的坐标

点P（x,y）关于x轴的对称点的坐标是　　　　.

点P（x,y）关于y轴的对称点的坐标是　　　　.

点P（x,y）关于原点的对称点的坐标是　　　　.

知识点十　函数的初步知识及一次函数

1.函数的定义

（1）在某一变化过程中,有两个　　　　x和y;

（2）y的值随x的值的　　　　　　　;

（3）对于x的每一个值,y都有　　　　　　　与之对应.

2.函数的三种表示方法:

解析式法、　　　　、列表法.

3.画函数图象的步骤:

列表、　　　　、连线.

4.一次函数

（1）一次函数的概念

一次函数:

形如　　　　（k,b是常数,k≠0）的函数.

正比例函数:

形如　　　　（k是常数,k≠0）的函数.

（2）图象

①正比例函数的图象是经过原点的　　　　　　.

②一次函数的图象是一条过（0,　　　）,

的直线.

（3）直线y=kx与y=kx+b的关系

①直线y=kx+b可以看作由直线y=kx上下平移　　　个单位长度而得到（当b>0时,向　　　平移;当b<0时,向　　　平移）.

②在一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2中,当k1=k2,b1≠b2时,直线y=k1x+b1和y=k2x+b2　　　　;当k1≠k2时,直线y=k1x+b1和y=k2x+b2　　　　.

（4）一次函数的图象及性质

函数

系数取值

大致图象

经过的象限

函数性质

y=kx

（k≠0）

k　　　0

一、三

y随x的增大

而　　

k　　　0

二、四

y随x的增大

而　　　

y=kx

（k≠0）

一、二、三

y随x的增大

而　　　

一、三、四

一、二、四

y随x的增大

而　　　

二、三、四

（5）用待定系数法确定一次函数的解析式

①待定系数法

待定系数法是指先设出所求函数的解析式,再根据条件确定解析式中未知的　　　　,从而确定这个函数　　　　的方法.

②求一次函数解析式的一般步骤

求函数解析式的一般步骤可归纳为:

“一设、二列、三解、四写”.

一设

设出函数解析式的一般形式y=kx+b

二列

根据已知两点的坐标列出关于k,b的二元一次方程组

三解

解这个方程组,求出k,b的值

四写

把求得的k,b的值代入y=kx+b,写出函数解析式

（6）一次函数与方程（组）的关系

①一次函数与一元一次方程

一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是方程　　　　的解.

②一次函数与二元一次方程组

一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象交点的横、纵坐标是方程组　　　　　　的解.

知识点十一　反比例函数

1.反比例函数的有关概念

（1）反比例函数的定义:

形如y=　　　　（k≠0,k为常数）的函数叫做反比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数.

（2）反比例函数的解析式的三种形式

y=　　　　（k≠0,k为常数）;

xy=　　　　（k≠0,k为常数）.

2.反比例函数的图象与性质

（1）反比例函数y=

（k≠0,k为常数）的图象是　　　　,且关于　　　　对称.

（2）反比例函数y=

（k≠0,k为常数）的图象和性质

函数

图象

所在象限

性质

（k≠0,k

为常数）

k　　　　0

第一、三象限

（x,y同号）

在每个象限内,y随

x的增大而　　　

k　　　　0

第二、四象限

（x,y异号）

在每个象限内,y随

x的增大而　　　

（3）反比例函数的解析式是一个分式,自变量和函数值都不能为　　　,所以其图象与x轴、y轴无交点,但无限地　　　　两坐标轴.

反比例函数比例系数k的几何意义

反比例函数y=

（k≠0）中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=

（k≠0）上任意一点P作x轴、y轴的垂线,设垂足分别为A,B,则所得矩形OAPB的面积为　　　,S△POA=S△POB=

|k|.

知识点十二　二次函数

1.二次函数的概念

（1）形如y=　　　　　　　（a,b,c为常数,a≠0）的函数叫做二次函数.

（2）二次函数解析式的两种形式

一般式:

　　　　　　　（a,b,c是常数,a≠0）;

顶点式:

　　　　　　　（a,h,k是常数,a≠0）,其顶点坐标为　　　　,对称轴为　　　　.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

y=ax2+bx+c

a>0

a<0

图象

开口

开口向上

开口向下

对称轴

直线x=-

顶点坐标

最值

当x=　　　　时,y有

最　　　　值为　　　　

当x=　　　　时,y有

最　　　　值为　　　　

续表

y=ax2+bx+c

a>0

a<0

增

减

性

在对称

轴右侧

x>-

时,y随x的增大而

x>-

时,y随x的增大而

在对称

轴左侧

x<-

时,y随x的增大而

x<-

时,y随x的增大而

3.抛物线的平移

（1）平移形式:

最好在　　　　下进行.

（2）平移方法:

左右平移改变　　　　　　　　,上下平移改变　　　　　　　　　　.

（3）平移法则:

（4）具体的平移规律

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象都可以由y=ax2（a≠0）经过适当地平移得到,变化规律如图所示.

4.二次函数的图象与系数a,b,c之间的关系

（1）a的值决定开口方向和开口大小

当a>0时,开口　　　　;当a<0时,开口　　　　;|a|的值越大,抛物线开口越　　　　.

（2）a和b的符号决定对称轴的位置

当a,b同号时,对称轴位于y轴　　　侧;当a,b异号时,对称轴位于y轴　　　侧;当b=0时,对称轴是　　　.

（3）c的符号决定抛物线与y轴的交点位置

当c>0时,交点在y轴　　　半轴,当c<0时,交点在y轴　　　半轴,当c=0时,交点是　　　　.

5.二次函数与一元二次方程的关系

（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的　　　　,就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根.

（2）抛物线与x轴的交点情况

　　　　　　⇔抛物线与x轴有两个交点;

　　　　　　⇔抛物线与x轴有且只有一个交点（顶点在x轴上）;

　　　　　　⇔抛物线与x轴没有交点.

6.二次函数的应用

用二次函数解决实际问题的一般步骤

（1）建立函数模型,写出二次函数关系式;

（2）确定自变量取值范围;

（3）求出二次函数顶点坐标;

（4）结合自变量取值范围,确定最值.

模块四　三角形

知识点十三　角、相交线与平行线

1.几何图形

（1）几何图形:

　　　　　和　　　　　统称为几何图形.

（2）组成:

几何图形都是由　　　、　　　、　　　、　　　组成的.

2.点与线

（1）两点的距离:

连接两点间的线段的　　　　,叫做这两点的距离.

（2）线段

线段的性质:

两点之间线段　　　　;

线段的中点:

把一条线段分成两条　　　　的线段的点.

直线的性质:

　　　　确定一条直线.

3.角

（1）角的换算

1度=　　　分,1分=　　　秒;

1周角=　　　平角=　　　直角=360°.

（2）互余和互补

互补:

两个角的和是　　　　时,称这两个角互为补角,简称互补;

互余:

两个角的和是　　　　时,称这两个角互为余角,简称互余;

补角、余角的性质:

等角（或同角）的余角　　　　,等角（或同角）的补角　　　　.

（3）角平分线:

一条射线把一个角分成两个　　　　的角,这条射线叫做这个角的平分线.

相交线

（1）同位角、内错角、同旁内角

如图,∠1与∠2是　　　　,∠2与∠3是　　　　,∠2与∠4是　　　　.

（2）对顶角的性质:

对顶角　　　　.

（3）垂线的性质

经过一点有且只有　　　　直

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