是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）
（1）求点P6的坐标；
（2）求△P5OP6的面积；
（3）我们规定：
把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．
18．已知：
抛物线C1：
与C2：
具有下列特征：
①都与x轴有交点；②与y轴相交于同一点．
（1）求m，n的值；
（2）试写出x为何值时，y1＞y2？
（3）试描述抛物线C1通过怎样的变换得到抛物线C2．
【解】
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为
m（BC所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？
（结果精确到
，参考数据：
，
）
20．初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5小时；小杰从全体320名初二学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2小时．小丽与小杰整理各自样本数据，如下表所示．
时间段
（小时／周）
小丽抽样
人数
小杰抽样
人数
0～1
6
22
1～2
10
10
2～3
16
6
3～4
8
2
（每组可含最低值，不含最高值）
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？
答：
；
估计该校全体初二学生平均每周上网时间为小时；
（2）根据具有代表性的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整；
（3）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是 小时/周；
（4）专家建议每周上网２小时以上（含２小时）的同学应适当减少上网的时间，根据具有代表性的样本估计，该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？
【解】
六、（本题满分12分）
21.某商场在促销期间规定：
商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额a（元）
200≤a<400
400≤a<500
500≤a<700
700≤a<900
…
获奖券金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:
购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为:
400×（1-80%）+30=110（元）.
购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价
试问：
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到
的优惠率？
七、（本题满分12分）
22．如图
（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，
BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？
请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图
（2）），MN=
，求
的长．
八、（本题满分14分）
23．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1）求证：
ΔBEF∽ΔCEG．
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？
并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
【解】
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
A
C
C
D
A
B
二、填空题（每题5分，共20分）
11．
12．
＜x≤313．514．0
三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分8分）
原式=
2分
=
4分
=
5分
，
6分
原式
7分
原式=18分
16．（本题满分8分）
（[解]
（1）OA=6，OB=12
点C是线段AB的中点，OC=AC
作CE⊥x轴于点E．
∴OE=
OA=3，CE=
OB=6．
∴点C的坐标为（3，6）
（2）作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，
=
，于是可求得OF=2，DF=4．
∴点D的坐标为（2，4）
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代人得
解得
∴直线AD的解析式为y=-x+6
（3）存在．
Q1（-3
，3
）
Q2（3
，-3
）
Q3（3，-3）
Q4（6，6）
17．（本题满分8分）
1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的
倍，故其坐标为P6（0，26），即P6（0，64）；
（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn－1OPn．
设P1（x1，y1），则y1=2sin45°=
，∴S△P0OP1=
×1×
=
，
又
，
（3）由题意知，OP0旋转
次之后回到x轴正半轴，在这
次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：
令旋转次数为n，
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n，0）；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为（
×2n，
×2n），即（2n—1
，2n—1
）；
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，
此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．
18.
（1）由C1知：
△=（m+2）2－4×（
m2+2）=m2+4m+4―2m2―8=―m2+4m―4=―（m―2）2≥0，
∴m＝2．当x＝0时，y＝4．∴当x＝0时，n＝4．
（2）令y1＞y2时，
，∴x＜0．∴当x＜0时，y1＞y2；
（3）由C1向左平移4个单位长度得到C2．
19.解：
（1）如图，在
中，
（m）．……2分
在
中，
（m），……………4分
m．………………………………5分
即改善后的台阶坡面会加长
m．
（2）如图，在
中，
（m）．………6分
在
中，
（m），……………………………8分
（m）．………………………9分
即改善后的台阶多占
.长的一段水平地面．……………………10分
20.
（1）小杰；1.2．………………………………………………………
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