专题整式的乘除章末重难点题型举一反三原卷版.docx

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专题整式的乘除章末重难点题型举一反三原卷版

专题整式的乘除章末重难点题型

【考点1幂的基本运算】

【方法点拨】同底数幂的乘法法则:

都是正整数)

同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

幂的乘方法则:

都是正整数)

幂的乘方,底数不变,指数相乘。

积的乘方法则:

是正整数)

积的乘方,等于各因数乘方的积。

同底数幂的除法法则:

都是正整数,且

同底数幂相除,底数不变,指数相减。

【例1】(黔东南州期中)下列运算正确的是(  )

A.x2+x3=x5B.(﹣2a2)3=﹣8a6

C.x2•x3=x6D.x6÷x2=x3

【变式1-1】(蜀山区期中)下列运算中,正确的是(  )

A.3x3•2x2=6x6B.(﹣x2y)2=x4y

C.(2x2)3=6x6D.x5÷

x=2x4

【变式1-2】(淄博期中)下列运算正确的是(  )

A.a2•a3=a6B.(﹣a2)3=﹣a5

C.a10÷a9=a(a≠0)D.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=﹣b2c2

【变式1-3】(成安县期中)下列运算正确的是(  )

A.(﹣2ab)•(﹣3ab)3=﹣54a4b4B.5x2•(3x3)2=15x12

C.(﹣0.16)•(﹣10b2)3=﹣b7D.(2×10n)(

×10n)=102n

【考点2因式分解的概念】

【方法点拨】因式分解:

(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式.

(2)分解因式是对多项式而言的,且分解的结果必须是整式的积的形式.

(3)分解因式时,其结果要使每一个因式不能再分解为止.。

【例2】(莘县期末)下列从左到右的变形,是因式分解的是(  )

A.(3﹣x)(3+x)=9﹣x2B.(y+1)(y﹣3)=(3﹣y)(y+1)

C.4yz﹣2y2z+z=2y(2z﹣zy)+zD.﹣8x2+8x﹣2=﹣2(2x﹣1)2

【变式2-1】(邢台期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(  )

A.a(x﹣y)=ax﹣ayB.x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)

C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x2+2x+1=x(x+2)+1

【变式2-2】(西城区校级期中)下列各式从左到右的变形属于分解因式的是(  )

A.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1B.x2﹣4=(x+2)(x﹣2)

C.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3xD.x2﹣1=x(x﹣

【变式2-3】(瑶海区期末)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是(  )

A.

﹣1=(

+1)(

﹣1)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.x2﹣x﹣2=(x+1)(x﹣2)D.ax﹣ay﹣a=a(x﹣y)﹣1

【考点3幂的混合运算】

【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.

【例3】铜山区期中)计算:

(1)(y2)3÷y6•y

(2)y4+(y2)4÷y4﹣(﹣y2)2

 

【变式3-1】(海陵区校级月考)计算

(1)x3•x5﹣(2x4)2+x10÷x2.

(2)(﹣2x2)3+(﹣3x3)2+(x2)2•x2

 

【变式3-2】(资中县月考)计算:

(1)(m4)2+m5•m3+(﹣m)4•m4

(2)x6÷x3•x2+x3•(﹣x)2.

 

【变式3-3】(海陵区校级月考)计算

(1)(﹣1)2019+(π﹣3.14)0﹣(

)﹣1.

(2)(﹣2x2y)3﹣(﹣2x3y)2+6x6y3+2x6y2

 

【考点4幂的逆向运算】

【例4】(茂名期中)已知:

xm=4,xn=8.

(1)求x2m的值;

(2)求xm+n的值;(3)求x3m﹣2n的值.

 

【变式4-1】(天宁区校级期中)根据已知求值:

(1)已知am=2,an=5,求am+n的值;

(2)已知32×9m×27=321,求m的值.

 

【变式4-2】(丹阳市期中)已知10x=a,5x=b,求:

(1)50x的值;

(2)2x的值;(3)20x的值.(结果用含a、b的代数式表示)

 

【变式4-3】(盐都区月考)基本事实:

若am=an(a>0,且a≠1,m、n都是正整数),则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗?

试试看,相信你一定行!

①如果2×8x×16x=222,求x的值;

②如果2x+2+2x+1=24,求x的值.

 

【考点5整式化简求值】

【例5】高新区校级期中)先化简,再求值:

[(2x+y)2+(2x+y)(y﹣2x)﹣6y]÷2y,其中x=﹣

,y=3

 

【变式5-1】(南召县期末)先化简,再求值:

当|x﹣2|+(y+1)2=0时,求[(3x+2y)(3x﹣2y)+(2y+x)(2y﹣3x)]÷4x的值.

 

【变式5-2】(成都校级月考)已知将(x2+nx+3)(x2﹣2x﹣m)乘开的结果不含x3和x2项.

(1)求m、n的值;

(2)当m、n取第

(1)小题的值时,求(m﹣n)(m2+mn+n2)的值.

 

【变式5-3】(青羊区校级期中)若

的积中不含x与x3项.

(1)求m、n的值;

(2)求代数式(﹣2m2n)2+(3mn)﹣1+m2017n2018.

 

【考点6分解因式】

【方法点拨】先提取公因式,然后再看是不是平方差式或者完全平方式。

而且一定要把各因式分解到不

能再分为止!

不能分解的不要死搬硬套.

【例6】(惠民县期末)分解因式:

(1)(3x﹣2)2﹣(2x+7)2

(2)8ab﹣8b2﹣2a2.

【变式6-1】(娄底期中)因式分解:

(1)2x(a﹣b)+3y(b﹣a)

(2)x(x2﹣xy)﹣(4x2﹣4xy)

 

【变式6-2】(临清市期末)因式分解:

(1)3x2y﹣18xy2+27y3

(2)x2(x﹣2)+(2﹣x)

 

【变式6-3】(和平区期末)分解因式:

(1)1﹣a2﹣b2﹣2ab;

(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x).

 

【考点7利用因式分解求值】

【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26=0,求6x﹣

y的值.

 

【变式7-1】(崇明县期中)已知x+y=4,x2+y2=14,求x3y﹣2x2y2+xy3的值.

 

【变式7-2】(西城区校级期中)已知m2=n+2①,n2=m+2②,其中m≠n.求m3﹣2mn+n3的值.

 

【变式7-3】利用分解因式求值.

(1)已知:

x+y=1,

,利用因式分解求:

x(x+y)(x﹣y)﹣x(x+y)2的值.

(2)已知a+b=2,ab=2,求

的值.

 

【考点8利用乘法公式求值】

【例8】(新津县校级月考)已知m﹣n=3,mn=2,求:

(1)(m+n)2的值;

(2)m2﹣5mn+n2的值.

 

【变式8-1】(杭州期末)已知a﹣b=7,ab=﹣12.

(1)求a2b﹣ab2的值;

(2)求a2+b2的值;(3)求a+b的值.

 

【变式8-2】(邵东县期中)已知有理数m,n满足(m+n)2=9,(m﹣n)2=1,求下列各式的值.

(1)mn;

(2)m2+n2﹣mn.

 

【变式8-3】(杭州期中)已知(a+b)2=5,(a﹣b)2=3,求下列式子的值:

(1)a2+b2;

(2)6ab.

 

【考点9因式分解探究题】

【例9】(江汉区校级月考)阅读材料:

若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m,n的值.

解:

∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0.

∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∵(m﹣n)2≥0,(n﹣4)2≥0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.

根据你的观察,探究下面的问题:

(1)已知:

x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值;

(2)已知:

△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足:

a2+b2﹣12a﹣16b+100=0,求△ABC的最大边c的值;

(3)已知:

a﹣5b+2c=20,4ab+8c2+20c+125=0,直接写出a的值.

 

【变式9-1】(靖江市校级期中)在理解例题的基础上,完成下列两个问题:

例题:

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0.求m和n的值.

解:

因为m2+2mn+2n2﹣6n+9=(m2+2mn+n2)+(n2﹣6n+9)=(m+n)2+(n﹣3)2=0

所以m+n=0,n﹣3=0即m=﹣3.n=3

问题:

(1)若x2+2xy+2y2﹣4y+4=0,求xy的值.

(2)若a、b、c是△ABC的长,满足a2+b2=10a+8b﹣41,c是△ABC中最长边的边长,且c为偶数,那么c可能是哪几个数?

 

【变式9-2】(上虞区期末)阅读下列材料,然后解答问题:

问题:

分解因式:

x3+3x2﹣4.

解答:

把x=1代入多项式x3+3x2﹣4,发现此多项式的值为0,由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式(x﹣1),于是可设x3+3x2﹣4=(x﹣1)(x2+mx+n),分别求出m,n的值,再代入x3+3x2﹣4=(x﹣1)(x2+mx+n),就容易分解多项式x3+3x2﹣4.这种分解因式的方法叫“试根法”.

(1)求上述式子中m,n的值;

(2)请你用“试根法”分解因式:

x3+x2﹣16x﹣16.

 

【变式9-3】(雨花区校级月考)教科书中这样写道:

“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:

先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.

例如:

分解因式x2+2x﹣3=(x2+2x+1)﹣4=(x+1)2﹣4=(x+1+2)(x+1﹣2)=(x+3)(x﹣1);例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6=2(x2+2x﹣3)=2(x+1)2﹣8.可知当x=﹣1时,2x2+4x﹣6有最小值,最小值是﹣8,根据阅读材料用配方法解决下列问题:

(1)分解因式:

m2﹣4m﹣5=  .

(2)当a,b为何值时,多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值,并求出这个最小值.

(3)当a,b为何值时,多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值,并求出这个最小值.

 

【考点10乘法公式探究题】

【例10】(东台市期中)如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).

(1)图2中的阴影部分的面积为  ;

(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是  ;

(3)根据

(2)中的结论,若x+y=5,x•y=

,则x﹣y=  ;

(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你有什么发现?

  .

 

【变式10-1】(牟定县校级期末)图

(1)是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图

(2)的形状拼成一个正方形.

(1)你认为图

(2)中阴影部分的正方形的边长等于多少?

  ;

(2)请用两种不同的方法求图

(2)中阴影部分面积.方法一:

  ;方法二:

  ;

(3)观察图

(2),你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?

代数式:

(m+n)2,(m﹣n)2,4mn.  ;

(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:

若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2的值.

 

【变式10-2】(怀远县期末)如图1所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形.

(1)设如图1中阴影部分面积为S1,如图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;

(3)试利用这个公式计算:

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

【变式10-3】(槐荫区期末)数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为a、宽为b的长方形.用A种纸片﹣﹣张,B种纸片一张,C种纸片两张可拼成如图2的大正方形.

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积(答案直接填写到题中横线上);

方法1  ;方法2  .

(2)观察图2,请你直接写出下列三个代数式:

(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系;

(3)类似的,请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:

(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,请你将该示意图画在答题卡上;

(4)根据

(2)题中的等量关系,解决如下问题:

①已知:

a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;

②已知(x﹣2018)2+(x﹣2020)2=34,求(x﹣2019)2的值.

 

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