专题整式的乘除章末重难点题型举一反三原卷版.docx

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专题整式的乘除章末重难点题型举一反三原卷版

专题整式的乘除章末重难点题型

【考点1幂的基本运算】

【方法点拨】同底数幂的乘法法则：

（

都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

幂的乘方法则：

（

都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：

（

是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

同底数幂的除法法则：

（

都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

【例1】（黔东南州期中）下列运算正确的是（　　）

A．x2+x3＝x5B．（﹣2a2）3＝﹣8a6

C．x2•x3＝x6D．x6÷x2＝x3

【变式1-1】（蜀山区期中）下列运算中，正确的是（　　）

A．3x3•2x2＝6x6B．（﹣x2y）2＝x4y

C．（2x2）3＝6x6D．x5÷

x＝2x4

【变式1-2】（淄博期中）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5

C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2

【变式1-3】（成安县期中）下列运算正确的是（　　）

A．（﹣2ab）•（﹣3ab）3＝﹣54a4b4B．5x2•（3x3）2＝15x12

C．（﹣0.16）•（﹣10b2）3＝﹣b7D．（2×10n）（

×10n）＝102n

【考点2因式分解的概念】

【方法点拨】因式分解：

（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．

（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.

（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。

【例2】（莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）

A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）

C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2

【变式2-1】（邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）

C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3D．x2+2x+1＝x（x+2）+1

【变式2-2】（西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（　　）

A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）

C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣1＝x（x﹣

）

【变式2-3】（瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A．

﹣1＝（

+1）（

﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1

【考点3幂的混合运算】

【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.

【例3】铜山区期中）计算：

（1）（y2）3÷y6•y

（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2

【变式3-1】（海陵区校级月考）计算

（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．

（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2

【变式3-2】（资中县月考）计算：

（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4

（2）x6÷x3•x2+x3•（﹣x）2．

【变式3-3】（海陵区校级月考）计算

（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（

）﹣1．

（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2

【考点4幂的逆向运算】

【例4】（茂名期中）已知：

xm＝4，xn＝8．

（1）求x2m的值；

（2）求xm+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．

【变式4-1】（天宁区校级期中）根据已知求值：

（1）已知am＝2，an＝5，求am+n的值；

（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．

【变式4-2】（丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：

（1）50x的值；

（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）

【变式4-3】（盐都区月考）基本事实：

若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？

试试看，相信你一定行！

①如果2×8x×16x＝222，求x的值；

②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．

【考点5整式化简求值】

【例5】高新区校级期中）先化简，再求值：

[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣

，y＝3

．

【变式5-1】（南召县期末）先化简，再求值：

当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．

【变式5-2】（成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．

（1）求m、n的值；

（2）当m、n取第

（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．

【变式5-3】（青羊区校级期中）若

的积中不含x与x3项．

（1）求m、n的值；

（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．

【考点6分解因式】

【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。

而且一定要把各因式分解到不

能再分为止！

不能分解的不要死搬硬套.

【例6】（惠民县期末）分解因式：

（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2

（2）8ab﹣8b2﹣2a2．

【变式6-1】（娄底期中）因式分解：

（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）

（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）

【变式6-2】（临清市期末）因式分解：

（1）3x2y﹣18xy2+27y3

（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）

【变式6-3】（和平区期末）分解因式：

（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

【考点7利用因式分解求值】

【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣

y的值．

【变式7-1】（崇明县期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．

【变式7-2】（西城区校级期中）已知m2＝n+2①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．

【变式7-3】利用分解因式求值．

（1）已知：

x+y＝1，

，利用因式分解求：

x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．

（2）已知a+b＝2，ab＝2，求

的值．

【考点8利用乘法公式求值】

【例8】（新津县校级月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：

（1）（m+n）2的值；

（2）m2﹣5mn+n2的值．

【变式8-1】（杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．

（1）求a2b﹣ab2的值；

（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．

【变式8-2】（邵东县期中）已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．

（1）mn；

（2）m2+n2﹣mn．

【变式8-3】（杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：

（1）a2+b2；

（2）6ab．

【考点9因式分解探究题】

【例9】（江汉区校级月考）阅读材料：

若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．

解：

∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知：

x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；

（2）已知：

△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：

a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c的值；

（3）已知：

a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接写出a的值．

【变式9-1】（靖江市校级期中）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．

解：

因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0

所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3

问题：

（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．

（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？

【变式9-2】（上虞区期末）阅读下列材料，然后解答问题：

问题：

分解因式：

x3+3x2﹣4．

解答：

把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．

（1）求上述式子中m，n的值；

（2）请你用“试根法”分解因式：

x3+x2﹣16x﹣16．

【变式9-3】（雨花区校级月考）教科书中这样写道：

“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：

先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．

例如：

分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：

m2﹣4m﹣5＝　　．

（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．

（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．

【考点10乘法公式探究题】

【例10】（东台市期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

（1）图2中的阴影部分的面积为　　；

（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　　；

（3）根据

（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝

，则x﹣y＝　　；

（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？

　　．

【变式10-1】（牟定县校级期末）图

（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图

（2）的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图

（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？

　　；

（2）请用两种不同的方法求图

（2）中阴影部分面积．方法一：

　　；方法二：

　　；

（3）观察图

（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

代数式：

（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．　　；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：

若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．

【变式10-2】（怀远县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．

（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；

（3）试利用这个公式计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

【变式10-3】（槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；

方法1　　；方法2　　．

（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：

（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：

（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；

（4）根据

（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：

a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；

②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．