九年级数学上册 24 圆复习教案 新版新人教版.docx

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九年级数学上册24圆复习教案新版新人教版

第24章圆

一、复习目标

1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：

了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

二、课时安排

2

三、复习重难点

1.理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：

了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

2.掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

四、教学过程

（一）知识梳理

1、圆的有关概念：

2、圆的对称性：

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、垂径定理及其推论：

定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

5、圆周角：

（1）定义：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

（2）定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（3）推论：

①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

③直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

6、圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。

圆内接平行四边形是矩形，圆内接菱形是正方形。

圆内接梯形是等腰梯形。

定义、性质、推论及应用。

求角度、用四点共圆解决问题（到某点等远的四点共圆对角互补的四边形四个顶点共圆线段所对的两个张角相等的四点共圆）另外：

三角形的垂心恰好是它的垂足三角形的内心、三角形一个顶点到其垂心的距离是外心到对边中点距离的2倍、三角形的外接圆；圆内接三角形。

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

注意：

（１）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；

　　（２）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。

（二）与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系：

若⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d.则

（1）点P在⊙O内

dr

（2）点P在⊙O上

dr

（3）点P在⊙O外

dr

2、直线和圆的位置关系：

设⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r

dr；

dr；

dr。

3、圆的切线

[1]定义：

和圆有的直线叫圆的切线。

[2]判定：

（1）到圆心的距离等于这个圆的的直线是圆的切线；

（2）经过半径并且这条半径的直线是圆的切线。

证明直线和圆相切的方思路

[3]性质：

（1）圆的切线过的半径。

（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过；

（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过；

（4）圆的两条平行切线之间的距离等于。

（5）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，圆心和这个点的连线平分。

（切线长定理）

结论：

P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，C是弧AB上一点，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，则△PDE的周长为。

4、三角形的内切圆

（1）定义：

与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心叫三角形的。

（2）三角形的内心是三角形的交点，它到三角形的距离相等，都等于该三角形。

（3）若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F。

则AF=AE=，BD=BF=，CD=CE=∠BOC与∠A的关系是，∠EDF与∠A的关系是△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是。

（4）直角三角形的外接圆半径等于，内切圆半径等于。

5、圆外切四边形的性质

（1）圆外切四边形的两组对边。

（2）圆外切平行四边形是，圆外切矩形是；圆外切等腰梯形的中位线等于。

（3）已知圆外切等腰梯形的上底为a，下底为b，则该圆的半径为。

6、弦切角

（1）定义：

顶点在，一边，另一边的角叫弦切角。

（2）定理：

弦切角等于它所夹的弧。

（3）推论：

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角。

7、圆和圆的位置关系：

（1）

（2）相切两圆的连心线过；相交两圆的连心线公共弦。

（3）常用的辅助线：

两圆相交—公共弦；两圆相切—公切线。

（三）正多边形和圆

1、正多边形的概念：

各边且各角也的多边形是正多边形。

2、正多边形和圆的关系

（1）把一个圆n等份（n≥3）顺次连结各个分点所得n边形是这个圆的内接正n边形；经过各个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形，是这个圆的外切正n边形。

（2）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。

3、正多边形的有关计算：

定理：

正n边形的和把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

正n边形

内角

中心角

边长

半径

边心距

周长

面积

3

a

4

a

6

a

4、正多边形的作图。

5、圆的周长、弧长公式：

；。

6、圆、扇形、弓形的面积公式：

；；。

7、圆柱和圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面展开图是，若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积为，全面积（表面积）为：

。

（2）圆锥的侧面展开图是，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为，全面积（表面积）为：

。

（二）题型、方法归纳

类型一、垂径定理

【主题训练1】（广安中考）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）

A.

cmB.5cmC.4cmD.

cm

【自主解答】选A.连接OA.∵OD⊥AB且OD是半径∴AC=

AB=4cm,∠OCA=90°,Rt△OAC中,设☉O的半径为R,则OA=OD=R,OC=R-3;由勾股定理,得:

OA2=AC2+OC2,即:

R2=16+（R-3）2,解得R=

cm,所以选A.

归纳：

垂径定理及推论的四个应用

1.计算线段的长度:

常利用半径、弦长的一半、圆心到弦的距离构造直角三角形,结合勾股定理进行计算.

2.证明线段相等:

根据垂径定理平分线段推导线段相等.

3.证明等弧.

4.证明垂直:

根据垂径定理的推论证明线段垂直.

类型二、圆周角定理及其推论

【主题训练2】（内江中考）如图,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为（　　）

A.4

cmB.3

cmC.5

cmD.4cm

【自主解答】选A.连接BC，BD，OD，则OD,BC交于E.由于AD平分∠BAC，所以

所以OD⊥BC，又半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，所以BC＝8cm，所以BE＝4cm，又OB＝5cm，所以OE＝3cm，所以ED＝5－3＝2（cm），在Rt△BED中，BD＝

又∠ADB＝90°，所以AD＝

归纳：

圆周角的四种关系

1.同圆或等圆中,等弧对的圆周角相等.

2.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半.

3.直径对的圆周角为90°.

4.圆内接四边形对角互补.

类型三、切线的性质和判定

【主题训练3】（昭通中考）如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠B=60°.

（1）求∠ADC的度数.

（2）求证:

AE是☉O的切线.

【自主解答】

（1）∵∠B与∠ADC都是所对的圆周角,且∠B=60°,

∴∠ADC=∠B=60°.

（2）∵AB是☉O的直径,

∴∠ACB=90°,

又∠B=60°,∴∠BAC=30°,

∵∠EAC=∠B=60°,

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,

∴BA⊥AE,∴AE是☉O的切线.

归纳;切线的性质与判定

1.切线的判定的三种方法:

（1）根据定义观察直线与圆公共点的个数.

（2）由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.（3）应用切线的判定定理.应用判定定理时,要注意仔细审题,选择合适的证明思路:

①连半径,证垂直;②作垂直,证半径.

2.切线的性质是求角的度数及垂直关系的重要依据,辅助线的作法一般是连接切点和圆心,构造垂直关系来证明或计算.切线长定理也为线段或角的相等提供了丰富的理论依据.

类型四、与圆有关的位置关系

【主题训练4】（2013·青岛中考）直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是（　　）

A.r<6　　　B.r=6　　　C.r>6　　　D.r≥6

【自主解答】选C.∵直线l与☉O相交,

∴圆心O到直线l的距离d

即r>d=6,故选C.

归纳：

与圆有关的位置关系及判定方法

1.位置关系:

（1）点与圆的位置关系;

（2）直线与圆的位置关系.

2.判定方法:

（1）利用到圆心的距离和半径作比较;

（2）利用交点的个数判断直线与圆的位置关系.

类型五、与圆有关的计算

【主题训练5】（绵阳中考）如图,AB是☉O的直径,C是半

圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交☉O于E,连

接CE.

（1）判断CD与☉O的位置关系,并证明你的结论.

（2）若E是

的中点,☉O的半径为1,求图中阴影部分的面积.

【自主解答】

（1）CD与☉O相切.理由为:

∵AC为∠DAB的平分线,

∴∠DAC=∠OAC.

∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OCA,

∴OC∥AD.

∵AD⊥CD,

∴OC⊥CD.∴CD与☉O相切.

（2）连接EB,由AB为直径，得到∠AEB=90°.

由

（1）中AD⊥CD，OC⊥CD,∴四边形CDEF是矩形，F为EB的中点.

∴EF=DC，DE=FC，OF为△ABE的中位线.∴EF=DC=BF.

又∵E是的中点，

∴∠ABE=∠EAC=∠CAB=30°.

在Rt△OBF中，∠ABE=30°.

∴OF=OB=OC=FC,FB==EF=DC.

∵E是的中点，∴AE=EC.

∴图中两个阴影部分的面积和等于△DCE的面积.

∴S阴影=S△DEC=

归纳：

与圆有关计算的四公式

1.弧长公式l=

（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）.

2.扇形的面积公式S=

（n为扇形的圆心角的度数，R

为圆的半径，l为扇形的弧长）.

3.圆锥的侧面积S=πrl（r为圆锥的底面圆的半径，l为圆锥的母线长）.

4.圆锥的全面积公式:

S=πrl+πr2（S为圆锥的全面积,r为圆锥的底面圆的半径,l为圆锥的母线长）.

（三）典例精讲

例题1.（镇江中考）如图,AB是半圆O的直径,点P在AB的延长线上,PC切半圆O于点C,连接AC.若∠CPA=20°,则∠A=　　　°.

【解析】如图,连接OC.∵PC切半圆O于点C,

∴PC⊥OC即∠PCO=90°.

∵∠CPA=20°,

∴∠POC=90°-∠CPA=70°.

∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.

又∵∠POC=∠A+∠ACO.

∴∠A=∠POC=35°.

答案:

35

例题2.（凉山中考）在同一平面直角坐标系中有5个点:

A（1,1）,B（-3,-1）,C（-3,1）,D（-2,-2）,E（0,-3）.

（1）画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系.

（2）若直线l经过点D（-2,-2）,E（0,-3）,判断直线l与☉P的位置关系.

【解析】

（1）所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为.

连接PD,∵PD=

∴点D在☉P上.

（2）直线l与☉P相切.

理由如下:

连接PE.

∵直线l过点D（-2,-2）,E（0,-3）,

∴PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5.

∴PE2=PD2+DE2.

∴△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.∴PD⊥l.

∴直线l与☉P相切.

（四）归纳小结

（五）随堂检测

1.（2013·毕节中考）如图,在☉O中,弦AB的长为8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则☉O的半径为（　　）

A.5B.10C.8D.6

2.（上海中考）在☉O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为　　　　　.

3.3.（衡阳中考）如图,在☉O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于（　　）

A.50°B.80°

C.90°D.100°

4.（郴州中考）如图,AB是☉O的直径,点C是圆上一点,∠BAC=70°,则∠OCB=　　　°.

5.（梅州中考）如图,在△ABC中,AB=2,AC=

以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是　　　　.

6.（常州中考）已知☉O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是（　　）

A.相离B.相切C.相交D.无法判断

7.（眉山中考）用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

8.（牡丹江中考）一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（）

A.81πB.27πC.54πD.18π

【答案】

1.【解析】选A.连接OA,由垂径定理可得AC=4,△OAC是直角三角形,由勾股定理可得OA2=

OC2+AC2=32+42=25,所以OA=5.

2.【解析】过圆心O作AB的垂线交AB于点D,由垂径定理,得AD=

AB=2,

在Rt△AOD中,运用勾股定理,得OD=

.

答案:

3.【解析】选D.因为∠ABC=50°,所以∠AOC=2∠ABC=100°.

4.【解析】因为AB是直径,所以∠ACB=90°,又OA=OC,所以∠A=∠ACO=70°,所以∠OCB=90°-∠ACO=90°-70°=20°.

答案:

20

5.【解析】如图,连接AD,则AD⊥BC;在Rt△ABD中,AB=2,AD=1,∴∠B=30°,因而∠BAD=60°,同理,在Rt△ACD中,∠CAD=45°,所以∠BAC的度数是105°.

答案:

105°

6.【解析】选C.圆心到直线的距离d=5,圆的半径r=6,∴d

7.【解析】选B.∵设所围圆锥的底面半径为r，则

=2πr，∴r=2cm.

8.【解析】选C.方法一：

S圆锥的侧面积＝

Rl＝

×6×2π×9＝54π，

方法二：

S圆锥的侧面积＝πrl＝6×9π＝54π.

五、板书设计

六、作业布置

单元检测试题

七、教学反思