新人教版九年级数学上册第24章《圆》教案.docx

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新人教版九年级数学上册第24章《圆》教案

第二十四章　圆

24．1　圆的有关性质

24．1.1　圆

经历圆的概念的形成过程，理解圆.弧.弦等与圆有关的概念，了解等圆.等弧的概念．

重点

经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．

难点

理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．

活动1　创设情境，引出课题

1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．

2．提出问题：

我们看到的物体给我们什么样的形象？

活动2　动手操作，形成概念

在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．

教师巡视，展示学生的作品，提出问题：

我们画的圆的位置和大小一样吗？

画的圆的位置和大小分别由什么决定？

教师强调指出：

位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．

1．从以上圆的形成过程，总结概念：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

2．小组讨论下面的两个问题：

问题1：

圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？

问题2：

到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新概念：

圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：

在图形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上．）

活动3　学以致用，巩固概念

1．教材第81页　练习第1题．

2．教材第80页　例1.

多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等．

活动4　自学教材，辨析概念

1．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：

（1）直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．

（2）圆上任意两点间的线段叫做弧．

（3）在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．

（4）长度相等的两条弧是等弧．（教师强调：

长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．）

（5）大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．

2．指出图中所有的弦和弧．

活动5　达标检测，反馈新知

教材第81页　练习第2，3题．

活动6　课堂小结，作业布置

课堂小结

1．圆.弦.弧.等圆.等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆.等圆”这些概念的区别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．

2．证明几点在同一圆上的方法．

3．集合思想．

作业布置

1．以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆．

2．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．

求证：

A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上．

答案：

1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．

24．1.2　垂直于弦的直径

理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．

重点

垂径定理及其运用．

难点

探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

一.复习引入

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；

④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示）叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示或）叫做劣弧．

⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

二.探索新知

（学生活动）请同学按要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.

（1）如图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？

说一说你理由．

（老师点评）

（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM＝BM，＝，＝，即直径CD平分弦AB，并且平分及.

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：

直径CD.弦AB，且CD⊥AB垂足为M.

求证：

AM＝BM，＝，＝.

分析：

要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可．

证明：

如图，连接OA，OB，则OA＝OB，

在Rt△OAM和Rt△OBM中，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM，

∴AM＝BM，

∴点A和点B关于CD对称，

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．

∴＝，＝.

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（本题的证明作为课后练习）

例1　有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？

请说明理由．

分析：

要求当洪水到来时，水面宽MN＝32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.

解：

不需要采取紧急措施，

设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，

R2＝302＋（R－18）2，

R2＝900＋R2－36R＋324，

解得R＝34（m），

连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，

342＝162＋（34－x）2，

162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，

解得x1＝4，x2＝64（不合题意，舍去），

∴DE＝4，

∴不需采取紧急措施．

三.课堂小结（学生归纳，老师点评）

垂径定理及其推论以及它们的应用．

四.作业布置

1．垂径定理推论的证明．

2．教材第89，90页　习题第8，9，10题．

24．1.3　弧.弦.圆心角

1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．

2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦.弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．

重点

圆心角.弦.弧之间的相等关系及其理解应用．

难点

从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角.弦.弧之间的相等关系．

活动1　动手操作，得出性质及概念

1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.

2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？

圆是中心对称图形吗？

3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？

学生先说，教师补充完善圆心角的概念．

如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．

4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．

活动2　继续操作，探索定理及推论

1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？

请与小组同学交流．

2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：

在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？

所对的弦相等吗？

4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角.弧.弦之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．

5．分析定理：

去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？

6．定理拓展：

教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？

综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．

活动3　学以致用，巩固定理

1．教材第84页　例3.

多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．

活动4　达标检测，反馈新知

教材第85页　练习第1，2题．

活动5　课堂小结，作业布置

课堂小结

1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用．

3．数学思想方法：

类比的数学方法，转化与化归的数学思想．

作业布置

1．如果两个圆心角相等，那么（　　）

A．这两个圆心角所对的弦相等

B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D．以上说法都不对

2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的长．

3．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．

（1）求证：

＝；

（2）若C，D分别为OA，OB中点，则＝＝成立吗？

答案：

1.D；2.3；3.

（1）连接OM，ON，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出＝；

（2）成立．

24.1.4　圆周角（2课时）

第1课时　圆周角的概念和圆周角定理

1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．

2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．

重点

圆周角的概念和圆周角定理．

难点

用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．

活动1　复习类比，引入概念

1．用几何画板显示圆心角．

2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.

（1）当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.

（2）当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？

学生会马上猜出：

圆周角．教师给予鼓励，引出课题．

3．总结圆周角概念．

（1）鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．

（2）教师提问：

是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？

带着问题，教师出示下图．

学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：

①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：

顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．

（3）比较概念：

圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？

学生讨论后得出：

凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．

活动2　观察猜想，寻找规律

1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．

提出问题：

在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察.测量后，容易得出：

对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．

2．教师提出：

在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？

通过上面的特例，学生猜想，得出命题：

一条弧所对的