九师联盟高考在线联考数学理试题含答案.docx

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九师联盟高考在线联考数学理试题含答案

九师联盟3月在线公益联考

高三数学（理科）

考生注意:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：

高考范围。

一、选择题:

本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集U=R,M=

A.{jc|zWl}

C.{xI

B.处I

D.{"zVO或x>\}

2.若j=l—i（i为虚数单位），则复数n的共辄复数的模是

A.2^2B.20C.2^5D.8

3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行,诸如淘宝店主、微商等等.现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入乂千元）与平均每天的工作时间⑦（小时）进行调查统计，得出夕与％具有线性相关关系，且线性回归方程为§=12%+60.若自由职业者平均每天工作的时间为5小时,估计该自由职业者年收入为

A.120千元B.72千元

C.60千元D.50千元

5.2020年东京夏季奥运会将设置4X100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是:

每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳-蛙泳-蝶泳-自由泳的接力顺序,每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳,剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有

A.144种B.8种C.24种D.12种

6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作,它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是:

《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》.小明计划从这十部书中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是

A丄B直

A.2n10

7.若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是

9.将函数f（%）=2sin（3z+S（OVqV兀）图象向右平移专个单位长度后，得到函数的图象关于直线辺=

专对称，则函数八⑦）在[―专，专]上的值域是

A.[—1,2]B.[一B,2]C.—于,1D.[一^/2-,2]

10.已知三棱锥D-ABC的体积为2,AABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥D-ABC的外接球的球心。

恰好是CD的中点，则球O的表面积为

A.礬B.豎C.咎D.24丸

11.已知双曲线C：

#一続=1（q〉0/〉0）的左、右焦点分别是Fi,F2,若以线段FiF2为直径的圆交双曲

线。

于点P,且2ZPF1F2=ZPF2Fi,则双曲线C的离心率为

二、填空题:

本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知随机变量X满足X〜N（"）,且2YX&+2o）=0.9544,若随机变量X〜N（2019,4）,则P（X>2023）的值大约是.

14.已知｛么｝是公差不为零的等差数列，为其前〃项和.若S，S2，S4成等比数列，且纬=9,则数列｛an｝的前n项和为・

15.已知F为抛物线C^2=8y的焦点『为C上一点,M（—4,3）测△PMF周长的最小值是.

16.若对于曲线丁=e"+2x上的任意一点处的切线1\>总存在曲线y=ax~\~cosx上的一点处的切线，2,使Z1丄，2，则实数Q的取值范围是.

三、解答题:

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题:

共60分。

17.

sinBsinA+sinB—sinC*

（本小题满分12分）

已知在AABC中，角A,B,C所对的边分别为□，们”且+

（1）求角厶的大小；

⑵若AABC的外接圆半径为2,求AABC的面积S的最大值.

18.（本小题满分12分）

为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为1：

4,且成绩分布在［0,60］的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中,a,b,c构成以2为公比的等比数列.

102030405060成绩/分

（1）求Q,b,c的值；

（2）填写下面2X2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生

的文理科”有关”?

（3）将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X,求X的分布列及数学期望.

Pg寻）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

nQad—be）2

附:

K2=（/）熠）（X）（宀）'其中"=。

+方+。

+疽.

19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-&B1G中,zTBAC=90°,AB=AC=3,AiA=4,过点瓦作平面ABC的垂线,垂足为线段BC的中点是BiG的中点.

（1）

证明:

AD丄AiB；

（2）求二面角C-A.B-D的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：

g+，=l（Q>D〉0）的离心率为孑，直线所:

％一丁+1=0经过椭圆C的上顶点，直线〃：

％+1=0交椭圆C于A,B两点,P是椭圆C上异于A,B的任意一点，直线AP9BP分别交直线，商+4=。

于Q,R两点.

（1）

求椭圆C的标准方程；

（2）求证:

五-茄（O为坐标原点）为定值.

21.（本小题满分12分）已知函数=ef一心（q€R）.

⑴当。

=—2时,求函数/（%）的极值

（2）若In[e（z+l）]22一八一⑦）对任意的⑦€[0,+oo）成立，求实数。

的取值范围.

（二）选考题:

共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系衣力中，曲线C的参数方程为广=2。

。

*0为参数），直线I的参数方程为3=sm0

r=如为参数）.

\y=t

（1）若以坐标原点。

为极点/轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，试求曲线C的极坐标方程；

（2）求直线I被曲线C截得线段的长.

23.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知实数x.y.z满足x—2y+z=4：

（1）求x2Jry2~\~z2的最小值；

（2）若y=x+z,求xz的最大值.

九师联盟3月在线公益联考-高三数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1.B■:

U=-R,M=[^

2.C*.*3卓j=l—i,••z=（3+i）（1—i）—3—3i+i—i2—3—2i—（—1）—4—2i,乏=4+2i,二|乏|=J42+2’=2V^~.故选C.

3.ALb与％具有线性相关关系，且满足回归方程5=12n+60,该自由职业者平均每天工作的时间为”=5小时，二可以估计该自由职业者年收入为§=12X5+60=120千元故选A

4.A由题知，六z）的定义域为（一8,0）U（0,+8）,且/X—*）=（厂_巴项11（_/=一（寸一e；）sinc,八一匕）=一f（z）,:

.fS是奇函数，排除C和D；将工=«代入六工）得六应=（eJer）si5=o,排除B.故选a.

5.B由题意，若甲承担仰泳,则乙运动员有A|=2种安排方法,其他两名运动员有餞=2种安排方法，共计2X2=4种方法;若甲承担自由泳测乙运动员有溟=2种安排方法，其他两名运动员有理=2种安排方法，共计2X2=4种方法，所以中国队参赛共有4+4=8种不同的安排方法.故选B.

6.D从十部书中随机选择两部书共有嶋佥种方法，其中选择的两部书中含有《九章算术》的方法为9种，所以所求的概率0=而*5蓦•故选D

7.Bs=0,^=2；s=0+2X2=4,E=4；s=4+2X4=12,S=6；s=12+2X6=24,^=8；s=24+2X8=40,S=10,此时刚好不满足条件“sV38”,循环结束，输出k的值为10.故选B.

8.C由AE=AB+BE=AB+yBC=AB+yAD,AF=AD+DF=AD+yDC=AD+yAB，所以症.AF=（AB+yAD）•（AD+yAB）=yAB2+yAD2+yAB-AD=1.故选C.

9.D将函数fGzD=2sin（3z+Q（0Vp

2sin〔3（j?

—）+p]=2sin（3z一盖+甲），由题意,图象关于直线^=奇对称，则3X奇一誓+甲=碇以£Z），得

=夸.所以f=2sin（3z+竽），当[—，专]时，3a:

+^€[号，T]，

则sin（3z+竿）G[一曹,1],所以2sin（3z+竽）E[―^2,2].故函数/"（工）在[一，音]上的值域是]—42,2~\-故选D.

10.A设球。

的半径为R,球心。

到平面ABC的距离为丄由。

是CD的中点得V^abc=2Vo如c=奇X2?

xg=

2,解得所以序=（而y+（礬）2=¥，所以球。

的表面积为4顽J弩.故选A.

11.C不妨设P为双曲线C右支上一点.又..•点P在以线段FiF2为直径的圆上，ZFiPF2=90°.又V2ZPFiF2=

ZFFzFi,AZPFiFz=30°,:

.\PF2\=^\F1F2\=c,：

.\PF,|=2a+c.又■:

\PF1\2+\PF2\2=\Fg|2,/.（2a+c）2

-bc2=（2c）z,/.cz—2ac~2az=0,A—=1—V3（舍）或—=1+V3.故选C.

12.D由题意，可得当妊[0,1）时乎;抵口,2）时，導当M[0,2）时,/Xz）的最大值为乎.又由为+2）=*（/,.・.当M[2,4）时，六z）的最大值为号X&当M[4,6）时，六*）的最大值为号X（3）'，…，.•.当虹[2n—2,2n）时,六z）的最大值为a”=土X（身广，由等比数列的前n项和公式，得&=皇———-=

—万

y-5（扌）二故选D.

13.0.0228据题设知，P（2019—2X2VXW2019+2X2）=0.9544,即PC20152023）=yZ1-PC2015

14.n2设等差数列｛a“｝的公差为43尹0）测S=9—4』旧=18—7汶点=36—10』，觞=S•S”所以（18—74）2=（9—4疽）（36—1（W）,整理得9^2—18泌=0.'：

d^0,：

.d=2."：

a5=ai+4dZ=9,Mai=1,AS„=nar+W（W~1：

）tf=n2.

15.5+^17由题意得FC0,2）,准线方程为y=—2,过点M作准线的垂线垂足为N,由抛物线的定义得|PF\+

PM|=|PN|+IPM\,故当P,N,M三点共线时，|FN|+\PM\取得最小值，且|PN|+|PM|的最小值为\MN\=3-C-2）=5.而|MF|=7（-4-0）2+C3-2）2=v7!

，故△FMF周长的最小值是5+面.

16.[-l,y]因为（寸+2”=寸+2,所以曲线y=b+2z上的任意一点5顽）处的切线Zi的斜率灼=旳+2.同理可得曲线y=ax~\~cos%上的任意一点（互）处的切线h的斜率k2=a—sin^26Ea—1,a+lZI.由于h_Llz，所以ki•k2=—所以a—sinxz=—函土旬.又因为一西（—，°），所以（—，°）—匸公一1,。

+口，则y“"2,解得—lWaW身，所以实数a的取值范围是[—1,員.

17.解：

⑴由正弦定理得吭关=捎二c'

化简得胪+。

2—廿=Dc・2分

由余弦定cosA=ba==y•4分

又因为0

（2）由正弦定3^si^=27?

则a=2RsinA=4sin奇=2冲，8分

由余弦定理得a2=12=62+c2~2bccosA^2bc~bc=bc,

即及V12（当且仅当力=c时取等号），10分

故S=yfcsinX12=373（当且仅当5=c时取等号）.11分

18.解：

（1）由题意，得（q+6+c+O.018+0.022+0.025）X10=1,1分而a,b,c构成以2为公比的等比数列，

所以（q+2q+4q+0.018+0.022+0.025）X10=1,解得a=Q.005.3分则6=0.010,c=0.020.4分

（2）获得“优秀作文”的人数为400X0.005X10=20,

因为文科生与理科生人数之比为1:

4,所以文科生与理科生人数分别为80,320.

故完成2X2列联表如下：

文科生

理科生

合计

获奖

不获奖

306

380

合计

320

400

5分

由表中数据可得:

昭=

400X（6X306—14X74）2

20X380X80X320

e].316<6.635,

所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与学生的文理科有关.7分

（3）由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005X10=0.05,8分

将频率视为概率，所以X可取0,1,2,且X〜8（2,0.05）,9分

10分

则F（X=S）=C$（法）（1—法）（々=0,1,2）.

故X的分布列为

361

400

11分

12分

故X的期望为E（X）=OX|§+1X湍+2X&=*.（或E（X）=2X0.05=0.1）

19.证明：

（1）I为BC的中点,

AE±_BC.1分

又..・AiE丄平面ABC,

..・AE,Ai两两相互垂直.

以AE,BC,AiE分别为z轴应轴次轴建立空间直角坐标系如图所示,

3分

又AB=AC=3,ZBAC=90°,瓦A=4,

.•.BC=7?

TF=3心,AE=BE=^BC=%,AiE=q^p^^=聲，•'•瓦（0,0,鷲），B（o,驾l,o）,

以_%,0,營）,.・.砧=（-賽0,0）,砧=（0,%,-修

AATd.AB=-^X0+0X^+0X（—A^）=o.

Ai£>丄AB,即AD±AjB.

解：

（2）设平面AiBD的一个法向量m=Cri,丸，zD,则v

-的+0Xj/i+0Xzi=0,

0XX1+%Xm-聲=0.

令yi=^/46^，则zi=0,zi=3\/2,

据题设分析知，征丄平面ABC,

.■.平面AiBC的一个法向量”=（1,0,0）.

10分

（0,•（1,0,0）

Acos=|f=,‘5/",-'丄‘“‘"一_。

|w||w|Jo2+（vW+（3屈2.712+02+02

11分

二面角CA.BD的正弦值为1.

12分

20.解：

（1）据题设知，点（00〉在直线m：

z一了+1=0上，得3=1.

又因为力蓦,胪+扌=丄＞0,

所以a=2,c=V^",

所以所求椭圆C的标准方程为于+寸=1.

证明:

（2）设PCT。

，3,o）,AC——1,—f），则有M+4"—4=0.

直线AF的方程为S+以.令z=—4,整理得丿=（4+z。

*—3y。

1«X（）

1+zo

同理可得点R纵坐标w=—3師二5£十如为,

l+a：

所以点Q,R的纵坐标之积w•戮=（4+评；3为._3、投。

》

=9"一（4+血）2产

（1+jco）2

又因为崩=1一^如,/=葺,

所以如•刘顼'十卜宀七寸―3

（1+血）2

（1+XO）2

11分

12分

所以OQ-OR=（―4,^q）•（―4协）=16+死•必=13,即芯•茂（O为坐标原点）为定值.

2L解：

（1）当q=—2时,六/=广”+2工,

"S）=P+2=、

j：

—In身.

分析知，当当时/（%）V0;

当rr>ln时/（”）>0,

函数r（z）在区间（一8,In号）上单调递减,在区间（lny,+oo）上单调递增,

.•.当a=~2时,六工）的极小值/（lny）=e-1»i+21n身=2—21n2,不存在极大值.

（2）*•*/（x）=e~x~ax,

又,.•In"&+1）］22—六一％）对任意的⑦€［0,+8）成立,

In[e（j：

+l）]^2—e^—ax对任意的xG[0,+°o）成立.

即e^+ax+lnCz+D—lN。

对任意的工£[0,+8）成立.

引入函数G（x）=e27+ax+ln（x+1）—UN。

），

：

G（a:

）=er+a+^^-.

令Gz（x）=0,则广+<2+*[]=0.

引入函数2（z）=寸+冷（z20）,

•財愆）=厂疽身，

・•・函数力（Q在区间［0,+8）上单调递增.

「.当％=0时>（x）min=/>（0）=2.

讨论:

当一aV2,即2时,G'Cz）N0,此时函数G&）在［0,+8）上单调递增,

e°+aX0+ln（0+l）—1^0,

10分

2,满足题设

当一Q＞2,即qV—2时,存在唯一实数血使G'Cro）=O,且分析知，当OWsVz。

时,G'&）VO；当£＞血时,G'&）＞0,

・•・函数G&）在区间［0,血）上单调递减.

又VG（O）=O,

.•.当OVzCrto时,G（z）＜0,不满足题设.11分

综上，所求实数a的取值范围是［—2,+8）.12分

即曲线C的普通方程为苓+）2=1,2分

8分

（2）直线Z的普通方程为夕=z.5分

直线I被曲线C截得线段的长d=J鶯-（-維）［+［維-（一如丁=红*.

曲线C的极坐标方程为籍宓+（psin办=1,即

10分

23.解：

（1）因为務+y2+z2）|：

12+（一⑵尸+已冰“一2少+»,当且仅当号=号=号时等号成立，2分

即6（廿+/2+妒）2愆一2y+z）2,当且仅当号=号=号时等号成立.3分

又因为％—2j/+n=4,

所以衣+y+必2号，当且仅当，尸一号，时等号成立.

即x2+y+尹的最小值为亨.5分

（2）因为x—2y-\-z=^^y=x-\-z^

所以z—2（z+z）+n=4,

所以”+2=—4.7分

又因为,8分

所以空W4,即（牛孺=410分

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