题目主要研究希尔伯特矩阵的病态性完整版实用资料.docx
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题目主要研究希尔伯特矩阵的病态性完整版实用资料
题目主要研究希尔伯特矩阵的病态性（完整版）实用资料
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题目：
主要研究希尔伯特矩阵的病态性
Hilbert矩阵的定义为：
H
=
该矩阵是一个对称正定矩阵，其条件数随n的增加迅速增加。
画出ln（cond（H
）
）~n之间的曲线，观察他们的关系。
其中cond（H
）
表示矩阵在2范数下的条件数，它可按如下公式计算：
（1）cond（H
）
=
，
和
分别是H
的最大特征值和最小特征值。
（2）设D是H
对角元素开方构成的对角矩阵，令
=D
H
D
，不难看出
依然还是对称矩阵，，并且对角元素都是1，画出ln（cond（H
）
）~之间的曲线，观察他们之间的关系。
（3）对于4
n
12，给定不同的右端项b，分别用x
=H
；x
=D
（
D
b）；x
=H
\b，求解H
x=b，比较结果x
、x
、x
。
程序如下：
首先，建立eiggg-M文件，求解矩阵的最大特征值和最小特征值。
function[max,min]=eiggg（s）
ss=size（s）
ifss==1;
max=s
（1）;
min=s
（1）;
else
max=s
（1）;
min=s
（1）;
fori=1:
1:
ss;
ifs（i）>=max
max=s（i）;
end
ifs（i）<=min
min=s（i）;
end
end
end
再建立Hilbert.m文件，给出Hilbert矩阵的定义：
functionH=Hilbert（n）
H=zeros（n,n）;
fori=1:
1:
n;
forj=1:
1:
n;
H（i,j）=1/（i+j-1）;
end
end
然后求出D的逆矩阵
functionH=Hilbert2（n）
H=zeros（n,n）;
forj=1:
1:
n;
H（j,j）=1/（2*j-1）;
end
D=sqrt（H）;
D1=inv（D）;
H=D1*H*H;
编译主程序：
clear;
clc;
N=4;
mv2=zeros（N,1）;
fori=1:
1:
N;
H=Hilbert2（i）;
s=eig（H）;
[max,min]=eiggg（s）;
mv1=max/min;
mv2（i）=log（mv1）;
end
n=1:
1:
N;
figure
（1）,subplot（221）,plot（n,mv2（n））;
title（'ln（cond（Hn）2）与n之间的关系'）;
H1=Hilbert（N）;
H2=Hilbert2（N）;
b=[1;2;3;4;];;
x1=inv（H1）*b;
x2=H2*b;
x3=H1\b;
sss=size（x1）
i=1:
1:
sss
（1）;
subplot（222）,plot（i,x1）;
subplot（223）,plot（i,x2）;
subplot（224）,plot（i,x3）;
运行之后的结果：
ss=
11
ss=
21
ss=
31
ss=
41
sss=
41
得出图像：
由此可见，其条件数随n的增加而增加，则该矩阵不收敛，故则证得希尔伯特矩阵式的病态性。
矩阵乘法题目总结
ByMatrush
关于矩阵乘法请见：
矩阵乘法[MatrixMultiply]，以下是我最近做的一些关于矩阵乘法的题目，来源是一些经典题以及HDUshǎ崽大牛总结的矩阵乘法的题目[1]、[2]和开设的矩阵乘法DIYContest。
题目不一定按难度排列：
PKU3070-Fibonacci：
最经典的递推题，由F[n]=F[n-1]+F[n-2]，常系数递推式右边有两项，所以向量和矩阵的规格都为2。
容易如下递推：
矩阵二分快速幂计算Ak即可。
HDU3117-FibonacciNumbers：
后四位的同上题，前四位用公式：
HDU2855-FibonacciCheck-up：
多校联合赛的一道题，那个公式化简了半天没化出来，最后迫于无奈暴力了一下，发现规律了：
只要知道如下结论就和最上面那题一样了：
HDU1575-TrA：
TrA表示方阵A的迹（主对角线元素之和），求Tr（Ak）%9973。
由于k最大有10^9，所以只能用矩阵二分快速幂得到Ak，最后求和即可。
PKU3233-MatrixPowerSeries：
求Sn = A + A2 + A3 +…+ An。
首先我们能矩阵二分快速幂计算出Ak，那么我们对S再进行二分：
当n%2!
=0则计算An+S（n-1），当n%2==0时计算S（n/2）*（An/2+E），这样就可以在log（n）的时间里算出Sn
代码：
Matsum（int x）//A^1+A^2+...+A^x
{
if （x== 1）
return A;
if （x& 1）
return （A^x）+sum（x-1）;
else
return sum（x/2）*（（A^（x/2））+E）;
}
HDU2604-Queuing：
推出递推式构造矩阵：
HDU1757-ASimpleMathProblem：
按题意所给的函数递推构造矩阵：
HDU2256-ProblemofPrecision：
按题目所给的式子算出前几项找规律，不知道有没有更好的数学证明：
HDU2294-Pendant：
题意求长为n的挂件一定包含k种颜色的方案数，应该算DP+矩阵优化，第一次这么做竟然1Y，很高兴：
HDU2276-Kiki&LittleKiki2：
按shǎ崽大牛的话说是隐藏比较深的题，不过在纸上小推了一下就找到了规律：
因为当某个位的左边是1时该位0->1，1->0，左边是0时该位0->0，1->1，不难发现当考虑线性结构的话有f[i]=（f[i]+f[i-1]）%2，而题目是环形结构，只需对两端的点考虑特殊情况即可：
f[i]=（f[i]+f[（n+i-2）%n+1]）%2：
FZU1692-Keyproblem：
A（i）=A（i） +L*A（i+n-1）%n +R*A（i+1）%n这种环形权值改变问题都可以和上题一样构造矩阵来解：
☆以上两题的矩阵都有一个特点就是矩阵的每行都是循环同构的，也就是可以通过对矩阵某一行右移一位从而得到该行的下一行，这样在计算矩阵乘法的时候只需要用o（n^2）的时间来计算第一行的相乘后的行向量，再花o（n^2）的时间计算出将接下来各行平移复制出即可：
代码如下：
Mat operator*（Mata,Matb）
{
Matc;
for （int i= 0;i< 1;i++）
for （int j= 0;j {
c.mat[i][j]= 0;
for （int k= 0;k if （a.mat[i][k]&&b.mat[k][j]）
c.mat[i][j]=（c.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j]）%MOD;
}
for （int i= 1;i {
c.mat[i][0]=c.mat[i-1][n-1];
for （int j= 1;j c.mat[i][j]=c.mat[i-1][j-1];
}
return c;
}
☆下面是几个给出F[n]的递推式，求S[n]=F[n]+F[n-1]+……+F[1]的题目，方法有两个：
1.增加一维S[n],重新利用S[n-1]和F[n]、F[n-1]……、F[1]构造S[n]的函数。
2.构造
，末矩阵的右上角元素即为S[n]。
3.特殊求和
代码：
Matsum（int x）//A^1+A^2+...+A^x
{
if （x== 1）
return A;
if （x& 1）
return （A^x）+sum（x-1）;
else
return sum（x/2）*（（A^（x/2））+E）;
}
FZU1683-纪念SlingShot：
用方法1：
HDU1588-GaussFibonacci：
较难，用方法2或方法3，答案为：
HDU3306-AnotherkindofFibonacci：
求和递推，用方法1巧妙地构造：
HDU2971-Tower：
公式和上一题一样，把x=2*a2和y=-1代入上面的公式即可，注意负数要加MOD变正。
HDU3658-Howmanywords：
首先是dp题，dp[i][j]表示前i个字符最末位是字符j的方案数。
然后构造矩阵，行列为'a'到'z'+'A'到'Z'共52个字符，构造一个矩阵A为符合相邻字符绝对值差<=32的方案数，矩阵B为符合相邻字符绝对值差<32的方案数，因为最后要乘的向量值为dp[1][j]，都等于等于1，故可不乘向量。
则最后答案为A^（m-1）-B^（m-1），构建矩阵如下：
for （int i= 'a';i<= 'z';i++）{
letter[i- 'a']=i;
letter[i- 'a' + 26]=i- 'a' + 'A';
}
//letter[]={'a',……,'z','A',……,'Z'};
for （int i= 0;i for （int j= 0;j if （abs（letter[i]-letter[j]）<= 32）A.mat[i][j]= 1;
if （abs（letter[i]-letter[j]）< 32）B.mat[i][j]= 1;
}
}
History：
2010/02/12最初记录
2011/02/12增加HDU3658
来自:
2006年4月电工技术学报Vol.21No.4第21卷第4期TRANSACTIONSOFCHINAELECTROTECHNICALSOCIETYApr.2006
蒙脱土改性环氧树脂复合材料的
制备及性能研究
张明艳1孙婷婷1张晓虹2胡春秀2胡庆娟2王兆礼1
（1.哈尔滨理工大学材料科学与工程学院哈尔滨150040
2.哈尔滨理工大学电气与电子工程学院哈尔滨150040
摘要通过把有机蒙脱土（oMMT分散到环氧树脂（EP中制备出环氧树脂/有机蒙脱土（EP/oMMT纳米复合材料。
利用原子力显微镜（AFM和扫描电子显微镜（SEM对EP/oMMT纳米复合材料的微观结构进行了分析表征,利用热重分析仪、马丁耐热试验仪、冲击试验仪和介损分析仪测试了该复合材料的耐热性能、机械性能和介电性能。
结果表明:
有机蒙脱土以球形和蜷曲带形两种形态存在于树脂基体中,平均尺寸为20nm;混合温度为90℃时所得复合材料中oMMT的分散性较好,EP和oMMT的两相界面粘接也较好,复合材料的马丁耐热温度和冲击强度比未改性树脂分别提高了10℃和31.6%。
复合材料的冲击强度随蒙脱土含量的增加而提高,并在蒙脱土含量为2phr时达到最大值23.6kJ/m2;通过研究复合材料的两相结构与冲击韧性的关系,推断
出蒙脱土增韧环氧树脂的增韧机理为基体的剪切屈服机理;复合材料的介电常数（εr和介电损耗角正切（tanδ均有所降低,εr随温度的变化趋势与未改性环氧树脂相似,而蒙脱土的加入延
缓了tanδ随温度增加而增大的速率。
关键词:
环氧树脂有机蒙脱土纳米复合材料增韧介电性能
中图分类号:
TQ204
StudyofPreparationandPropertiesofOrgano-Montmorillonite
ModifiedEpoxyNanocomposite
ZhangMingyanSunTingtingZhangXiaohongHuChunxiuHuQingjuanWangZhaoli（HarbinUniversityofScienceandTechnologyHarbin150040ChinaAbstractInthispapermontmorillonitemodifiedwithalkylammoniumionsisdispersedinanepoxy/methylnadicanhydridesystemstoformepoxy/organo-Montmorillonite（oMMTnanocomposite.
Scanningelectricmicroscopy（SEMandatomicforcemicroscopy（AFMareusedtocharacterizedthemicrostructureofnanocompositeobtained.Mechanicalproperties,thermalpropertiesanddielectricpropertiesofthenanocompositearestudiedusingimpacttester,Martinheatresistancetester,dielectriclossanalyzer.Theresultsprovedthat,therearetwokindsofshapesofoMMTdispersedinepoxy,eithersphericityorcingulum,theaveragedimensionis20nm.TheoMMTdisperseduniformlyinnanocompositewithmixingtemperatureis90℃,comparedtotheunmodifiedepoxy,themartinheatresistancetemperatureandimpactstrengthofthecompositeimproved10℃and31.6%,respectively.
ThemaximumofimpactstrengthofnanocompositeisobtainedwhentheoMMTloadingis2phr（perhundredresin.SEMandAFMphotographareshowedthatthethermalstabilityandtoughnessofthecompositeareallrelatedtothedispersionofmontmorillonite,andtheimpactstrengthofcompositeisrelatedtotheadhesivejoiningoftheinterfacebetweenepoxyandmontmorillonite.Therelationship
国家自然科学基金资助项目（50377009。
30电工技术学报2006年4月
betweenmicrostructureandpropertiesofthecompositeisstudied,thentoughenmechanismofmontmorillonitetoughenepoxyisspeculatedasmassiveshearyielding.Thevalueoftheεrislowerthanthatofpristineepoxymaterials,theincreaseofthetanδwiththetemperatureisdelayed.ThepossiblereasonisthatthemobilityofpolymerchainsisrestrictedbetweenthelayersofMMT.
Keywords:
Epoxy,organo-montmorillonite,nanocompositestoughness,dielectricproperties
1引言
环氧树脂因其粘接力强,电绝缘性能好,稳定性高和收缩率小等优点而被广泛应用于粘接、涂料、电子电气、土木建筑等领域。
是一种应用十分广泛的热固性树脂,但是环氧树脂固化物的抗冲击性差是其最大的缺点。
传统的增韧方法是通过将韧性好的聚合物如橡胶弹性体或热塑性树脂等加入到环氧树脂中[1~5],这使复合材料的韧性有显著的提高,然而,在提高环氧树脂韧性的同时却使耐热性有不同程度的降低。
因此,人们一直在寻找新的改性途径。
近年来,纳米材料的出现和纳米技术的发展,为聚合物的改性又提供了一个新的途径。
而无机纳米材料由于具有优异的耐热性及尺寸稳定性等优点已被越来越多的应用在聚合物的改性研究中。
蒙脱土作为一种具有天然纳米结构的无机层状硅酸盐材料,其片层空间可以成为制备聚合物/蒙脱土纳米复合材料的天然微反应器[6],聚合物能够在蒙脱土片层之间的纳米空间进行反应,从而可获得聚合物/蒙脱土纳米复合材料。
因此,在这一领域中利用蒙脱土来改性聚合物已成为众多学者研究的热点。
而蒙脱土改性环氧树脂的研究也取得了一定成果。
国内外学者对环氧树脂/蒙脱土纳米复合材料的制备方法以及复合材料的性能进行了研究。
在对材料性能的研究方面,众学者所得的研究结论比较一致,认为蒙脱土的加入在提高环氧树脂韧性的同时还能不同程度的提高其耐热性[7,8]。
蒙脱土改性环氧树脂研究的另一重要方面是对蒙脱土增韧环氧树脂机理的研究。
到目前为止关于蒙脱土增韧环氧树脂的机理还未有定论,主要的增韧机理有裂纹钉铆[9]和基体的剪切屈服[10]两种。
另外,关于蒙脱土的加入对环氧树脂介电性能的影响也有待研究。
本文用甲基纳迪克酸酐为固化剂,在制备了环氧树脂/蒙脱土纳米复合材料的基础上,根据材料微观结构解释了所制得的复合材料之所以具备良好的抗冲击性和良好的耐热性的原因。
并根据对复合材料的冲击断口形貌分析和表面形貌分析推断出蒙脱土增韧环氧树脂的机理为基体的剪切屈服机理。
最后初步的讨论了蒙脱土的加入对复合材料介电性能的影响。
2试验部分
2.1实验原料
本文采用的有机蒙脱土是由钠基蒙脱土经十六烷基三甲基氯化铵有机改性制得,所采用的环氧树脂是E−51,固化剂是液态的甲基纳迪克酸酐,促进剂吡啶。
2.2复合材料的制备
将E−51和一定量的oMMT在固化前分别在60℃,90℃,160℃下混合一定时间。
所得混合物经真空除泡后冷却,混合物几乎是透明的。
加入一定化学计量的固化剂和促进剂并混合均匀。
将混合物真空除泡后倒入已预热的涂有硅脱模剂的钢模中。
固化工艺为在120℃下固化1h然后在160℃下后固化6h。
2.3冲击试验
用钟摆冲击试验仪（中国洪都仪器厂作冲击试验,研究复合材料的冲击性能。
试样尺寸120mm×15mm×10mm,实验温度25℃。
本文所用数据是六个试样所作试验结果的平均值。
2.4表面形貌分析
用Nanoscope−Ⅲa型AFM研究纳米复合材料的表面形貌。
试样厚度为50μm。
2.5冲击断口形貌分析
用SEM对复合材料进行断口形貌分析。
断口为冲击试验所得。
在做SEM试验之前在试样（2mm厚的断面镀上一薄层金。
2.6热稳定性分析
用马丁耐热试验仪测试复合材料的马丁耐热温度。
以6℃/5min的速度从50℃升至200℃。
试样尺寸为120mm×15mm×10mm。
2.7介电性能分析
测试不同有机蒙脱土含量试样的相对介电常数和介电损耗角正切随温度的变化关系,测试温度范围是20~160℃。
第21卷第4期张明艳等蒙脱土改性环氧树脂复合材料的制备及性能研究313结果与讨论
AFM是在微米级甚至纳米级用于研究复合材
料表面形貌的一种试验工具。
图1是混合温度为
90℃时所制得的复合材料的AFM相图。
其中,深
色暗区是环氧树脂基体,白色亮区是蒙脱土分散相。
从图中可看出分散在树脂基体中的蒙脱土有两种形
态。
一种是平均直径为20nm的球形粒子,另一种
是平均宽度是20nm的蜷曲带形粒子。
我们认为,
在环氧树脂固化过程中,树脂预聚体在蒙脱土片层
内和片层外同时交联固化形成网络结构,蒙脱土片
层受到所形成网络结构的挤压而蜷曲。
图1混合温度为90℃时所制得EP/oMMT纳米复合材
料的AFM相图
Fig.1Atomicforcemicroscopy（AFMphaseimageof
EP/oMMTnanocompositesofmixingat90℃
从图中还可以看到,带形蒙脱土粒子的周围区
域颜色较浅,这种颜色较浅的区域应是已被环氧树
脂充分插层溶胀但没有形成完全剥离结构的蒙脱
土,这说明分散在树脂基体中蒙脱土的层状结构并
没有被完全破坏,一部分蒙脱土以纳米级片层分散
在树脂基体中,而另一部分蒙脱土仍保持层状结构,
但片层之间已被环氧树脂填充。
图2是复合材料冲击断口的高倍率SEM图。
从
图2a中可看出混合温度为60℃时所得复合材料中
的有机蒙脱土粒子的粒径较大,而且粒子表面清晰
光滑,说明蒙脱土粒子与环氧树脂基体的相溶性较
差,两相之间的界面粘接较小。
而图2b显示出混合
温度为90℃时所得复合材料中的蒙脱土粒子的粒
径较小,分散也较好,而且看出有机蒙脱土粒子包
埋在树脂基体中,两相的界面粘接较好。
不同混料温度所得复合材料的马丁耐热温度如
表1所示。
混合温度为90℃所得试样的马丁耐热温
度最高,为171℃,比纯环氧树脂（161℃高很多。
图2EP/oMMT纳米复合材料冲击断口的SEM图
Fig.2SEMmicrographsoffracturesurfaceof
epoxy/montmorillonitenanocomposites
蒙脱土层间的铵离子对环氧树脂的固化起催化作
用,蒙脱土片层在树脂基体中就像一个大而坚硬的
交联面,相当于增加了交联点数目。
蒙脱土在树脂
基体中分散越好,就会有更多的环氧分子进入蒙脱
土层间,扩大蒙脱土层作为交联面的区域,因此有
机蒙脱土的加入可提高复合材料的马丁耐热温度,
而且蒙脱土较好的分散性有利于提高复合材料的耐
热性。
表1EP/oMMT纳米复合材料的马丁耐热温度
Tab.1MartinheatresistancetemperatureofEP/oMMT
nanocomposite
混合温度/℃60
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