学年高一下学期期末考试数学试题解析版9.docx
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学年高一下学期期末考试数学试题解析版9
高一下学期期末考试数学试题
一、选择题
1．
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
解析】
，故选D.
2．已知
为同一平面内的四个点，若
，则向量
等于（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵
，∴点
共线，且
为
中点，则点
的位置有5种情况，如图：
（1）∵
，∴
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；故选A.
3．已知向量
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据向量夹角公式可得：
，
因为
，故
，故选B.
4．定义行列式运算：
，若将函数
的图象向右平移
个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则
的最小值是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】将函数
的图象向右平移
（
）个单位后，可得
的图象，根据所得图象对应的函数为偶函数，可得
，即
，所以
的最小值是
，故选B.
5．
为平面上的定点，
是平面上不共线的三点，若
，则
是（）
A.以
为底边的等腰三角形B.以
为斜边的直角三角形
C.以
为底边的等腰三角形D.以
为斜边的直角三角形
【答案】C
【解析】∵
，∴
，即
．两边同时加
，得
，即
，∴
．∴
是以
为底边的等腰三角形，故选C.
6．如图，
，
为圆心，
为半圆上不同于
的任意一点，若
为半径
上的动点，则
的最小值等于（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】试题分析：
因为
为
中点，所以必有
，则
，当且仅当
时，
可取得最小值为
，故本题正确选项为A.
【考点】向量的运算.
7．已知当
时，函数
取最大值，则函数
图象的一条对称轴为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】略
8．已知
为
内一点，且，
，则
为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图：
设
、
分别为
、
的中点，∵
，
∴
，
，同理由
，即
，∴
．∴
到
的距离等于
到
的距离的
，设
的面积为S，则
，故
为
，故选D.
点睛：
本题考查向量在几何中的应用、共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想；根据已知的等式变形可得
，
，从而得出
到
的距离等于
到
的距离的
即可解决问题.
9．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则
的值为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】试题分析：
设
，
，∴
，
，
，∴
.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
10．设
，
，且
，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意得，根据三角函数的基本关系式可得
，
又
，即
，
因为
，所以
，即
，故选B。
11．已知函数
，则
的最小正周期为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，则
的最小正周期为
，故选C.
点睛：
本题主要考查了三角函数式的化简，三角函数的性质之周期性，解题的关键在于对表达式的化简，有一定难度；利用平方差公式，同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式，可将函数
的解析式化为
，进而得到函数的周期.
12．在直角梯形
中，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，以
为圆心，
为半径的圆交
于
，点
在
上运动（如图）.若
，其中
，
，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
建立如图所示的坐标系，则
，
，
，
，
，
，
设
，其中
，
，
，
，
∵
，∴
，即
，
解得
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
即
的取值范围是
，故选C.
点睛：
本题考查平面向量知识的运用，三角函数式的化简及值域的求法，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键，难度中档；建立适当的坐标系，将向量分别用坐标表示，
用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论.
二、填空题
13．已知向量
满足
，则向量
在向量
方向上的投影为________．
【答案】1
【解析】∵
，∴
，∴
，∴向量
在向量
方向上的投影为
，故答案为1.
14．在
中，若
，则角
________.
【答案】
【解析】由
得
，则
，故
，∵
，故
，故答案为
.
15．化简
的值为__________．
【答案】
【解析】原式
，故答案为
.
16．已知
为
的外接圆圆心，
，
，若
，且
，则
__________．
【答案】10
【解析】如图．
若
，则
，
为外心，
为中点，
，
分别为两中垂线，
，同样地，
所以
，∴
，故答案为10.
点睛：
本题考查三角形外心的性质，向量数量积的运算、向量模的求解，有一定难度；由
，将其两边同时平方可得
，根据向量数量积的几何意义分别求出
，
后，得出关于
，
的代数式，利用
整体求解.
三、解答题
17．已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【答案】
（1）
；
（2）
．
【解析】试题分析：
（1）根据已知条件首先求得
的值，再根据同角三角函数的基本关系建立关于
，
的方程组，即可求解；
（2）结合题意，考虑到
，故可利用两角和的正弦公式，计算
的值，即可求解．
试题解析：
（1）∵
，∴
，由
，解得
（
舍去）；
（2）由
（1）知
，
又∵
，∴
，∴
，
故
，
又∵
，∴
．
【考点】1．同角三角函数基本关系；2．三角恒等变形．
18．已知向量
.
（1）若
与
垂直，求
的值；
（2）求
的最大值.
【答案】
（1）
=2
（2）
的最大值为
【解析】略
19．已知向量
，其中
.若函数
的图象关于原点对称，且相邻两条对称轴间的距离为
.
（1）求
图象所有的对称轴方程；
（2）将函数
的图象沿
轴方向向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，当时，求方程
所有的解.
【答案】
（1）
（
）；
（2）
.
【解析】试题分析：
（1）利用向量的数量积及辅角公式可得
结合周期性及奇偶性可得函数解析式，进而可得对称轴方程；
（2）通过图象的变换规律可得
，解方程可得结果.
试题解析：
（1）由题知
，
∵相邻两条对称轴间的距离为
，∴
，
，
又∵
奇函数，∴
，由
，
∴
，所以
，
令
，得
图象所有对称轴方程为
（
）
（2）由题知
，
，得
，
所以
或
，∵
，∴
.
20．已知函数
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】
（1）
；
（2）
.
【解析】试题分析：
（1）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化
的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）求出
的值，带到题设中去，化简，求函数在
的最值，即可恒成立，从而求实数
的取值范围.
试题解析：
（1）因为
，
由
，得
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）由题意
，
，
原不等式等价于
，即
恒成立，
令
（
）
由
，所以
时，
的最大值为
，因此
.
点睛：
本题考查了三角函数的图象及性质的化简能力和综合运用能力，利用三角函数的由界限求最值和参数问题．属于中档题；求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：
①化成
的形式利用配方法求最值；②形如
的可化为
的形式性求最值；③
型，可化为
求最值；④形如
可设
换元后利用配方法求最值.
21．已知函数
.
（1）求满足
的实数
的取值集合；
（2）当
时，若函数
在
的最大值为2，求实数
的值.
【答案】
（1）
；
（2）
或
.
【解析】试题分析：
（1）利用降幂公式及二倍角公式可得
，解三角函数不等式可得结果；
（2）将
（1）代入可得
的表达式，令
，可得
，结合二次函数的性质可得结果.
试题解析：
（1）
由
，得
.
（2）
，令
，则
，
∴
，
∵
，由
得
，
∴
.
①当
，即
时，
，由
，得
解得
或
（舍）
②当
，即
时，在
处
，由
得
.
因此
或
.
22．如图，已知
是半径为
，圆心角为
的扇形，
是该扇形弧上的动点，
是扇形的内接矩形，其中
在线段
上，
在线段
上，记
为
.
（1）若
的周长为
，求
的值；
（2）求
的最大值，并求此时
的值.
【答案】
（1）
；
（2）
.
【解析】试题分析：
（1）由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解；
（2）结合向量的数量积公式，结合三角函数的带动下进行求解.
试题解析：
（1）
，
由
，得
，
平方得
，即
，
解得
（舍）或
，则
.
（2）由
，
得
，
∴
，
则
，
∵
，∴
，
∴当
，即
时，
有最大值
.
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