相似多边形和图形的位似.docx

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相似多边形和图形的位似

相似多边形和图形的位似

【教学目标】

1．了解相似多边形的含义。

2．了解位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。

3．利用图形相似解决一些简单的实际问题。

【教学重难点】

1．重点：

相似多边形及位似图形的性质。

2．难点：

相似多边形及位似图形的性质应用。

【教学过程】

一、知识讲解

1．相似多边形：

两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

提示1：

只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相似。

例如：

两个正方形，各对应角都是90°且各边对应成比例，所以两个正方形是相似多边形。

提示2：

相似多边形的读、写法，在表示两个多边形相似时，要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。

2．相似比：

相似多边形对应边的比叫相似比，多边形的相似比是有顺序的。

例如：

四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB与A′B′是对应边，若

，则说四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1；反之，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶3．

3．相似多边形的性质：

（1）对应边成比例；

（2）对应角相等。

如：

五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，则有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠E＝∠E′，且

。

（3）相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

（4）相似多边形中的对应线段的比等于相似比。

（5）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。

4．位似图形的定义：

如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。

（1）位似图形是针对两个相似图形而言的。

（2）位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。

（3）位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，而相似图形不一定构成位似图形。

5．位似图形的性质：

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。

二、例题讲解

例1：

下列多边形，一定相似的是（）

A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形

分析：

根据相似多边形的定义，两个矩形只能满足对应角相等，对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°。

答案：

C

例2：

如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝18，A′B′＝4，B′C′＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠A′＝115°，求BC的长度和∠D′的大小。

解：

∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，

∴

，即

，解得BC＝27，

∴∠B′＝∠B＝77°，∠C′＝∠C＝83°，

∴∠D′＝360°－∠A′－∠B′－∠C′＝85°。

例3：

四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，它们的对角线分别交于点O、O′，那么ΔOAB与ΔO′A′B′相似吗？

为什么？

解：

ΔOAB∽ΔO′A′B′，因为：

∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，

∴ΔABD∽ΔA′B′D′，ΔABC∽ΔA′B′C′，

∴∠2＝∠4，∠1＝∠3，

∴ΔOAB∽ΔO′A′B′。

例4：

如图，已知四边形ABCD及四边形A′B′C′D′中，∠B＝∠B′，∠D＝∠D′，

，那么，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′必相似。

试说明理由。

分析：

要说明四边形ABCD∽A′B′C′D′，只需说明∠A＝∠A′，∠C＝∠C′就可以了，我们可构造相似三角形来完成∠A＝∠A′，∠C＝∠C′。

解：

连结AC．A′C′，

∵∠B＝∠B′，

，

∴ΔABC∽ΔA′B′C′，

∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′，

同理，ΔADC∽ΔA′D′C′，

∴∠3＝∠3′，∠4＝∠4′，

∴∠1＋∠3＝∠1′＋∠3′，∠2＋∠4＝∠2′＋∠4′，

即∠BAD＝∠B′A′D′，∠BCD＝∠B′C′D′，

又因

，

∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。

例5：

四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似比为

，它们的周长之和为20，面积之差为5，那么它们的周长和面积分别是多少？

分析：

根据题意，利用相似多边形的性质，可构造方程（组）即可求解。

解：

设它们的周长分别为C1．C2，面积分别为S1．S2，

根据题意有，

（1）

，

（2）

，

由

（1）得：

C1＝12，C2＝8，

由

（2）得：

S1＝9，S2＝4，

所以，它们的周长分别为12，8；面积分别为9，4．

例6：

如图，已知四边形ABCD，把它放大2倍，即新图形与原图形的相似比为2．

分析：

（1）把一个图形放大2倍，就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离之比等于2．

（2）位似中心的位置是任意的，可选在图形内、图形外、图形上均可。

解：

（1）任取一点O；

（2）以O为端点作射线OA．OB．OC．OD；

（3）分别在射线OA．OB．OC．OD上取A′、B′、C′、D′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2∶1；

（4）连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。

则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形。

例7：

已知，锐角三角形ABC，求作矩形DEFG使DE在边BC上，点G和F分别在边AB和AC上，且DE∶GD＝2∶1．

分析：

这个作图从要求的条件看，很难一次就作出满足全部条件的图形，因此可先作出满足一部分条件的图形。

此题可以先作出所求作的图形的位似形，然后再根据位似图形的概念进行位似变换，以得出所求的满足全部条件的图形。

作法：

1．在AB上任取一点G1，作G1D1⊥BC于D1；

2．在D1C（或其延长线上）上取一点E1，使D1E1＝2G1D1；

3．以G1D1．D1E1为邻边作矩形D1E1F1G1；

4．作射线BF1交AC于点F；

5．作EF∥E1F1交BC于点E，作FG∥F1G1交AB于G，作GD∥GD1交BC于D．四边形DEFG就是所求的矩形。

例8：

已知，ΔABC的顶点坐标分别为A（0，-2），B（3，-1），C（2，1），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍得到ΔA′B′C′，请写出ΔA′B′C′的顶点坐标。

解：

根据位似图形中对应点的坐标的变化规律，

点A（0，－2）的对应点A′的坐标为（0×2，-2×2）即A′（0，-4），

所以，类似的有B′（6，-2），C′（4，2）。

三、过关练习

1．选择题。

（1）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（）

A．

；B．

；C．

；D．

（2）在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（）

A．

；B．

；C．2；D．

（3）一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）

A．6；B．8；C．12；D．10

（4）ΔABC与ΔDEF是位似图形（如图），相似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于（）

A．6；B．5；C．9；D．

（5）如图所示，已知ΔADE与ΔABC是位似图形，且位似比为1∶2，若ΔABC的面积为12cm2，则ΔADE的面积为（）

A．2cm2；B．3cm2；C．4cm2；D．6cm2

2．在矩形ABCD中，截去一个正方形ABEF，如图所示，得到一个矩形ECDF，如果矩形ABCD∽矩形ECDF，试问矩形ABCD是否为黄金矩形，请说明理由。

3．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别位于边AB、CD上，EF∥AD，于是EF将平行四边形ABCD分成平行四边形AEFD和平行四边形EBCF，设边AB＝a，BC＝B．

（1）若平行四边形ABCD与平行四边形ADFE相似，求DF长。

（2）若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF相似，求DF长。

（3）若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF与平行四边形ABCD都相似，请你求出a与b之间的关系

4．如图，在一矩形花坛ABCD四周修筑水路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛边AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路边沿围成的矩形A′B′C′D′能与矩形ABCD相似？

请说明理由。

5．如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点），发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，已知桌面直径为1.2m，桌面距地面1m，灯泡距地面3m，求地面上阴影部分的面积。

6．已知，如图，O是坐标原点，B、C两点的坐标为（3，-1），（2，1）。

（1）以O为相似中心在y轴左侧，将ΔOBC放大到2倍，画出图形。

（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标。

（3）如果ΔOBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标。

7．已知，如图，梯形ABCD，AD∥BC，不改变图形的形状，把它的各边都扩大为原来的

。

8．作一个等边三角形，使它的三个顶点分别在ΔABC三边上，并且有一边和BC平行。

【参考答案】

1．

（1）A；

（2）A；（3）B；（4）A；（5）B

2．分析：

要判别矩形ABCD是否为黄金矩形，即是否有

成立，由此可做出判定。

解：

矩形ABCD为黄金矩形。

理由：

由题意，矩形ABCD∽矩形ECDF，

∴

，

又∵AB＝AF＝BE＝EF＝CD，EC＝DF，

∴

，

故点F是AD的黄金分割点，所以

的比值为黄金比，

从而

的比值是黄金比，

故矩形ABCD为黄金矩形。

3．解：

（1）∵平行四边形ABCD∽平行四边形ADFE，

∴

即DF＝

。

（2）若平行四边形AEFD∽平行四边形EBCF，

∴

，

∴DF＝

，

若平行四边形AEFD∽平行四边形BCFE，

则

，DF＝

（a＞2b）。

（3）因平行四边形AEFD与平行四边形EBCF，平行四边形ABCD都相似，

则有平行四边形AEFD∽平行四边形EBCF∽平行四边形BCDA，

∴

，

∴a＝

。

4．解：

依题意，应有

，

∴

，

∴20（30＋2x）＝30（20＋2y），解得

，

故当

时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD．

5．解：

如图，设桌面面积为S1，阴影部分面积为S2，

圆桌的面积为S1＝

（m2），

因桌面与阴影是位似图形，

∴

，∴

，

∴S2＝

（m2）。

答：

地面上阴影部分面积为

m2．

6．解：

（1）如图所示：

（2）根据位似变换中对应点坐标的变化规律，

点B的坐标为（3，-1），对应点B′的坐标为（-6，2），

点C的坐标为（2，1），对应点C的坐标为（-4，-2）。

（3）点M（x，y）的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）。

7．解：

（1）在梯形ABCD外任取一点O；

（2）作射线OA．OB．OC．OD；

（3）在射线OA．OB．OC．OD上取点A′、B′、C′、D′使

；

（4）顺次连结A′、B′、C′、D′，梯形A′B′C′D′就是所要求作的图形。

8．解：

作法：

（1）在ΔABC的边AC上任取一点D′，作D′F′∥BC交AB于F′；

（2）以D′F′为一边作等边ΔD′E′F′；

（3）连结AE′，并延长AE′交BC于点E；

（4）作EF∥E′F′交AB于F；

（5）作DE∥D′E′交AC于D；

（6）连结FD．