相似多边形和图形的位似.docx

1、相似多边形和图形的位似相似多边形和图形的位似【教学目标】1了解相似多边形的含义。2了解位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。3利用图形相似解决一些简单的实际问题。【教学重难点】1重点：相似多边形及位似图形的性质。2难点：相似多边形及位似图形的性质应用。【教学过程】一、知识讲解1相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。提示1：只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相似。例如：两个正方形，各对应角都是90且各边对应成比例，所以两个正方形是相似多边形。提示2：相似多边形的读、写法，在表示两个多边形

2、相似时，要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。2相似比：相似多边形对应边的比叫相似比，多边形的相似比是有顺序的。例如：四边形ABCD四边形ABCD，AB与AB是对应边，若，则说四边形ABCD与四边形ABCD的相似比为31；反之，四边形ABCD与四边形ABCD的相似比为133相似多边形的性质：（1）对应边成比例；（2）对应角相等。如：五边形ABCDE五边形ABCDE，则有AA，BB，CC，DD，EE，且。（3）相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。（4）相似多边形中的对应线段的比等于相似比。（5）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。4位似图形

3、的定义：如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。（1）位似图形是针对两个相似图形而言的。（2）位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。（3）位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，而相似图形不一定构成位似图形。5位似图形的性质：（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。（2）两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。 二、例题讲解例1：下列多边形，一定相似的是( )A两个

4、矩形B两个菱形C两个正方形D两个平行四边形分析：根据相似多边形的定义，两个矩形只能满足对应角相等，对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90。 答案：C例2：如图，四边形ABCD四边形ABCD，AB18，AB4，BC6，B77，C83，A115，求BC的长度和D的大小。解：四边形ABCD四边形ABCD，即，解得BC27，BB77，CC83，D360ABC85。例3：四边形ABCD四边形ABCD，它们的对角线分别交于点O、O，那么OAB与OAB相似吗？为什么？解：OABOAB，因为：四边形ABCD四边形ABCD，ABDABD，AB

5、CABC，24，13，OABOAB。例4：如图，已知四边形ABCD及四边形ABCD中，BB，DD， ，那么，四边形ABCD和四边形ABCD必相似。试说明理由。分析：要说明四边形ABCDABCD，只需说明AA，CC就可以了，我们可构造相似三角形来完成AA，CC。解：连结ACAC，BB，ABCABC，11，22，同理，ADCADC，33，44，1313，2424，即BADBAD，BCDBCD， 又因， 四边形ABCD四边形ABCD。例5：四边形ABCD四边形ABCD相似比为，它们的周长之和为20，面积之差为5，那么它们的周长和面积分别是多少？分析：根据题意，利用相似多边形的性质，可构造方程(组)即

6、可求解。解：设它们的周长分别为C1C2，面积分别为S1S2，根据题意有，（1），（2）， 由（1）得：C112，C28，由（2）得：S19，S24，所以，它们的周长分别为12，8；面积分别为9，4例6：如图，已知四边形ABCD，把它放大2倍，即新图形与原图形的相似比为2分析：（1）把一个图形放大2倍，就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离之比等于2（2）位似中心的位置是任意的，可选在图形内、图形外、图形上均可。解：（1）任取一点O；（2）以O为端点作射线OAOBOCOD；（3）分别在射线OAOBOCOD上取A、B、C、D使OAOAOBOB OCOCODOD21；（4）连结AB、BC、C

7、D、DA。则四边形ABCD就是所求作的图形。例7：已知，锐角三角形ABC，求作矩形DEFG使DE在边BC上，点G和F分别在边AB和AC上，且DEGD21分析：这个作图从要求的条件看，很难一次就作出满足全部条件的图形，因此可先作出满足一部分条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形，然后再根据位似图形的概念进行位似变换，以得出所求的满足全部条件的图形。作法：1在AB上任取一点G1，作G1D1BC于D1；2在D1C(或其延长线上)上取一点E1，使D1E12G1D1；3以G1D1D1E1为邻边作矩形D1E1F1G1；4作射线BF1交AC于点F；5作EFE1F1交BC于点E，作FGF1G1交AB于

8、G，作GDGD1交BC于D四边形DEFG就是所求的矩形。例8：已知，ABC的顶点坐标分别为A(0，-2)，B(3，-1)，C(2，1)，以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍得到ABC，请写出ABC的顶点坐标。解：根据位似图形中对应点的坐标的变化规律，点A(0，2)的对应点A的坐标为(02，-22)即A(0，-4)，所以，类似的有 B(6，-2)，C(4，2)。三、过关练习1选择题。（1）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( )A；B；C；D（2）在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD矩形EFCB，那么它们的相似比为( )A

9、；B；C2；D（3）一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为( )A6；B8；C12；D10（4）ABC与DEF是位似图形(如图)，相似比为23，已知AB4，则DE的长等于( ) A6；B5；C9；D（5）如图所示，已知ADE与ABC是位似图形，且位似比为12，若ABC的面积为12cm2，则ADE的面积为( )A2cm2；B3cm2；C4cm2；D6cm22在矩形ABCD中，截去一个正方形ABEF，如图所示，得到一个矩形ECDF，如果矩形ABCD矩形 ECDF，试问矩形ABCD是否为黄金矩形，请说明理由。3如图，在平行四边形ABCD中

10、，E、F分别位于边AB、CD上，EFAD，于是EF将平行四边形ABCD分成平行四边形AEFD和平行四边形EBCF，设边ABa，BCB（1）若平行四边形ABCD与平行四边形ADFE相似，求DF长。（2）若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF相似，求DF长。（3）若平行四边形AEFD与平行四边形EBCF与平行四边形ABCD都相似，请你求出a与b之间的关系4如图，在一矩形花坛ABCD四周修筑水路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛边AB20米，AD30米，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路边沿围成的矩形ABCD能与矩形ABCD相似？请说明理由。 5如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)，发

11、出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，已知桌面直径为1.2m，桌面距地面1m，灯泡距地面3m，求地面上阴影部分的面积。 6已知，如图，O是坐标原点，B、C两点的坐标为(3，-1)，(2，1)。（1）以O为相似中心在y轴左侧，将OBC放大到2倍，画出图形。（2）分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标。（3）如果OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出M的对应点M的坐标。 7已知，如图，梯形ABCD，ADBC，不改变图形的形状，把它的各边都扩大为原来的。 8作一个等边三角形，使它的三个顶点分别在ABC三边上，并且有一边和BC平行。 【参考答案】1（1）A；（2）A；（3）B；（4）A；（5）B2分

12、析：要判别矩形ABCD是否为黄金矩形，即是否有成立，由此可做出判定。 解：矩形ABCD为黄金矩形。理由：由题意，矩形ABCD矩形ECDF，又ABAFBEEFCD，ECDF，故点F是AD的黄金分割点，所以的比值为黄金比，从而的比值是黄金比，故矩形ABCD为黄金矩形。3解：（1）平行四边形ABCD平行四边形ADFE， 即DF。（2）若平行四边形AEFD平行四边形EBCF，DF，若平行四边形AEFD平行四边形BCFE，则，DF(a2b)。（3）因平行四边形AEFD与平行四边形EBCF，平行四边形ABCD都相似，则有平行四边形AEFD平行四边形EBCF平行四边形BCDA，a。4解：依题意，应有，20(

13、302x)30(202y)，解得，故当时，矩形ABCD矩形ABCD5解：如图，设桌面面积为S1，阴影部分面积为S2， 圆桌的面积为S1(m2)，因桌面与阴影是位似图形，S2(m2)。答：地面上阴影部分面积为m26解：（1）如图所示： （2）根据位似变换中对应点坐标的变化规律，点B的坐标为(3，-1)，对应点B的坐标为(-6，2)，点C的坐标为(2，1)，对应点C的坐标为(-4，-2)。（3）点M(x，y)的对应点M的坐标为(-2x，-2y)。7解：（1）在梯形ABCD外任取一点O； （2）作射线OAOBOCOD；（3）在射线OAOBOCOD上取点A、B、C、D使；（4）顺次连结A、B、C、D，梯形ABCD就是所要求作的图形。8解：作法： （1）在ABC的边AC上任取一点D，作DFBC交AB于F；（2）以DF为一边作等边DEF；（3）连结AE，并延长AE交BC于点E；（4）作EFEF交AB于F；（5）作DEDE交AC于D；（6）连结FD