六年级数学不定方程.docx

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六年级数学不定方程

不定方程

学习目标:

1、理解方程、不定方程的意义，并运用不定方程解决与数学相关的问题。

2、会通过枚举法求不定方程的解。

3、会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。

4、训练学生分析探讨的学习方法，培养学生的数学逻辑思维。

教学重点:

1、会通过枚举法求不定方程的解。

2、会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。

教学难点：

会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。

教学过程：

一、情景体验

师：

今天小奥与优优正在玩猜生日游戏，小奥用了一个很神秘的方法就猜出了优优的生日，那么根据图中的信息，你们能猜出优优的生日吗？

（PPT课件展示图片信息）

生：

3月8号。

师：

你是怎么算出来的呢？

生：

31×3+12×8=189。

师：

很好。

同学们知道这个游戏中隐藏着怎样的秘密吗？

其实，这是一个很有趣的数学问题，接下来我们就来一起研究这个数学问题吧！

（板书课题：

不定方程）

师：

什么样的方程叫做不定方程呢？

前两讲中我们研究了有关二元一次方程及二元一次方程组的相关数学问题，像二元一次方程这类，未知数的个数比方程的个数多，这样的方程就叫做不定方程。

比如：

2x-y=12，方程中含有两个未知数，方程只有一个，这就是一个不定方程。

（可让学生举例说明）

师：

很明显，在不定方程中的未知数x和y可以取无数个值。

今天我们所要研究的不定方程一般都有限制条件，可以根据不定条件求出方程的解。

所以在解决这一类问题中，一定要找出问题中明显或者隐含的限制条件。

一起来看一下都有哪些问题吧！

2、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

例1：

装饼干的盒子有大小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元。

问大小盒子各买了多少个？

师：

分析问题，你发现了什么？

生：

盒子只能一个一个的购买，所以大小盒子都必须是整数个。

师：

对，你能找出问题中的等量关系，列出方程吗？

（学生自主完成，汇报结果）

生：

可以设有x个大盒子，y个小盒子，因为大盒子的钱数+小盒子的钱数=89元，列得方程为：

11x+8y=89。

师：

都同意他的结果吗？

（同意）

生：

这是一个二元一次方程，问题要求自然数的解。

师：

很好。

题目中直接告诉了我们限制条件，我们该如何来求x、y的解呢？

生：

可以一个一个试。

师：

嗯……是一个方法，自己动手算一算吧，都有哪些解是满足我们条件的呢？

（学生自主完成）

生：

当x=3时，y=7满足条件

师：

那么x等于1、2、4、5、6、7、8等都不可以吗？

为什么呢？

生：

因为当x等于1、2、4、5、6、7、8等时，y的值都不是自然数，所以不满足条件。

师：

说的非常好！

但是大家有不有觉得这个办法有点麻烦，或者说是个笨方法呢？

有不有更好的方法呢？

谁还能从题目信息中发现什么呢？

生：

y前面的系数8是一个偶数，所以8y肯定是偶数，在奇偶性中，我们都知道：

奇数+偶数=奇数，所以11x一定是奇数，则x肯定也是奇数了。

师：

非常好。

但是奇数有那么多，还可不可以把范围进一步缩小呢？

生：

因为这两个数的和是89，如果当x等于9时，11x=99比89还要大，所以x只能是小于9的奇数了.

师：

也就是说我们x的取值只能在1、3、5、7这四个奇数中去选择了，我们就只用将这四个值代入到方程中进行计算就可以了，这样就不用一一尝试，大大缩小了x的取值范围，减小了我们的计算量，这种方法主要是根据题目中的要求，结合系数和奇偶性来减小未知数的取值范围。

解不定方程常用方法：

1、系数法

2、奇偶性

（学生自主完成，汇报结果）

生：

将x=1，3，5，7分别代入不定方程中求解，只有当当x=3，y=7时满足条件，所以妈妈买了3个大盒子，7个小盒子。

总结归纳：

解不定方程（应用题）的一般步骤：

1、设未知数，找等量关系。

列出方程；

2、用奇偶性或者尾数法等缩小某未知数的取值范围；

3、将这个未知数的值一一代入，求出另一个未知数的值；

4、写出答案，检验，作答。

展示例题：

例2：

大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现在有378人要乘车，问要大小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。

为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪种方案？

师：

分析问题，与上一个例题比较一下，有什么不同的地方？

（学生自主完成，汇报结果）

生：

问题要求的是两种车的辆数和最少。

师：

同意他的结果吗？

（同意）解决这个问题我们还是需要设未知数列出不定方程，确定不定方程的解的情况，计算两个未知数的和，最小的即为我们需要的结果，对吗？

（对）自己尝试解决这个问题（学生自主完成，请一个学生到黑板上书写）

不定方程为：

54x+36y=378（注意可提醒学生，数字太大，可以将方程简化）

方程变形为：

3x+2y=21

当x=7，y=0；

当x=5，y=3；

当x=3，y=6；

当x=1，y=9。

7+0=7；5+3=8；3+6=9；1+9=10

所以大车有7辆，小车没有。

师：

OK，你们的过程都和他一样吗？

有问题的可以提出你们自己的意见。

3、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题：

例3：

现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台运费50元。

问需要这两种卡车各多少台运费最省？

师：

分析问题，你能找出问题中的等量关系，列出方程吗？

（学生自主完成，汇报结果）

生：

可以设7吨和5吨的两种卡车分别有x、y辆，则根据题目中的条件列得方程为：

7x+5y=73。

师：

同意他的结果吗？

（同意）

师：

这个方程可不可以和例题1一样利用奇偶性来解决呢？

生：

不可以。

无法确定每部分奇偶性。

师：

观察发现，x前面的系数是多少？

（5）那么一个数乘以5的结果有什么特点呢？

生：

个位数字是0或者5。

师：

正确！

既然和为73，而5y的结果的个位数字为0或者是5，那么7x的结果的个位数字又应该是什么呢？

生：

3或者是8。

师：

非常好。

我们刚刚分析了这么多，现在找同学来梳理总结一下

生：

因为5y的个位必为0或5，则7x的个位为3或8，所以x=4或9。

当x=4，y=9；当x=9，y=2。

师：

大家同意吗？

（同意）是不是很快就能得出结果呢？

（是）这种这种从尾数上考虑的方法我们一般叫做尾数法。

板书：

3、尾数法。

师：

很好，求出这个不定方程的解后，这个问题我们处理完了吗？

好像并没有，因为题目要求哪种方式的运费最省。

现在我们以小组为单位，一边计算当x=4，y=9时，所需要的费用；一边计算当x=9，y=2时所需要的费用，比一比，哪种最省？

（学生自主完成汇报结果）

生：

当x=4，y=9时，所需要的费用是710元。

生：

当x=9，y=2时，所需要的费用是685元。

师：

OK，所以当x=9，y=2时费用最省了，理解这种问题怎么求解了吗？

（理解了）

展示例题：

例4：

已知一个成年人的生日是3月10日，他去年的年龄正好是他出生年份的各数字之和，那么这个人今年多少岁？

师：

这题要求的是什么？

生：

出生年份。

师：

我们能设他的出生年份为x吗？

生：

不能，题目中涉及到出生年份里的每个数字。

师：

那我们岂不是要设四个未知数？

出生年份有知道的数字吗？

有什么隐含的条件？

大家注意题目中有个条件是“一个成年人”说明什么？

提示生成年人说明是2000年之前出生，即19几几年

师：

我们可以设他的出生年份是19xy，怎样列方程？

生列方程并化简：

11x+2y=107

师：

你们会解这个方程吗？

用奇偶性还是尾数？

生：

奇偶性，2y是偶数，所以11x是奇数即x要为奇数。

师：

不错，我们还能把范围缩小一些吗？

引导生：

2y最大为18，则11x要尽量大，所以x取尽量大的奇数尝试。

解得：

x=9，y=4

师：

知道出生年份你能算出今年的年龄吗？

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题：

例5：

一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上是一个两位数

，过了一个小时路标上的数变为

又行驶了一个小时，路标上是一个三位数

，求每次看到的数和汽车的速度。

师：

你能根据数的意义将题中的数各个数位分解开来吗？

师示范一个后学生将其他数分解：

=10x+y，

=10y+x，

=100x+y。

师：

等量关系式呢？

怎样列方程？

生：

两段路程都用了一个小时，所以两段路程相等，所以可列方程：

（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x），整理得：

y=6x

师：

这个方程有很多个解吗？

生：

x，y都是一个数字，所以x只能取1.

师：

接下来大家完成这个题。

展示例题：

例6：

磨山儿童乐园的小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚时总是要叫上几声表示问候，若是早上见面，波斯猫叫1声，小花狗叫2声，若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声。

细心的管理员对它们的叫声一连统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，而在这15天内它们共叫了61声，那么波斯猫最少叫了多少声？

师：

要知道小花狗波斯猫叫了几声，需要知道什么条件？

生：

它们有几天早上见面，有几天晚上见面。

师：

设在这15天内早晨见面x次，晚上见面y次，怎样列方程呢？

生：

早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声，所以有3x+5y=61。

师：

同意他的结果吗？

（同意）观察发现y前面的系数为5，你们能想到什么吗？

自己尝试运用尾数法求解这个方程的解。

（学生自主完成，汇报结果）

生：

5y的个位数只能是0、5，则3x的个位数只能是1、6。

又x、y都小于15，所以x可以取2、7、12。

师：

接下来大家算算什么时候波斯猫叫声最少？

展示例题：

例7：

某商店进行组织销售，甲种搭配：

2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：

3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：

2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果；已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元.某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为多少元？

师：

这题跟前面比有什么不同？

生：

这题有三个未知量。

师，有三个未知量我们可以设三个未知数，你能将等量关系找出来并用含未知数的式子表示吗？

生小组讨论，代表回答

A水果的销售额为116元2（2x+3y+2z）＝116

三种搭配共得441.2元8.8x+23.2y+21.2z＝441.2

引导学生将两个方程化简:

2x+3y+2z＝58①

22x+58y+53z＝1103②

师：

现在出现三个未知量，能不能化简成含2个未知数的式子？

还记得我们在二元一次方程组学过的消元法吗？

这里可以用吗？

生：

可以用加减消元法，用②-①×11得：

25y+31z=465。

师：

接下来我们就可以解决了。

五、总结

通过这节课的学习，你学到了什么？