二次函数与几何图形结合.docx

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二次函数与几何图形结合

二次函数与几何图形结合

类型一图形面积有关

1、已知抛物线

的图象与x轴交与点A（3,0）和点C，与y轴交与点B（0，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2、已知抛物线

的图象与x轴的一个交点为B（5,0），另一个交点为A，且与y轴交与点C（0,5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

3、如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？

若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？

若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

4、如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？

若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

类型二探究图形形状问题

1、如图，已知抛物线经过A（1.0），B（0,3）两点，对称轴是x=-1。

（1）求抛物线对应的函数关系式； 

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． 

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； 

②△AON能否为等腰三角形？

若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 

2、如图，抛物线与x轴交与A（1,0）、B（-3,0）两点，与y轴交与点C（0,3），设抛物线的顶点为D。

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．

（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，直线y＝kx－1与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于点A（－3，2）、B（0，－1），抛物线的顶点为C（－1，－2），对称轴交直线AB于点D，连接OC．

（1）求k的值及抛物线的解析式；

（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下所得到三角形是否与△COD相似？

请你直接写出判断结果（不必写出证明过程）．

4、如图，已知直线y＝－

x＋2与抛物线y＝a（x＋2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型三线段长度有关问题

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由

2、如图，抛物线

与x轴交与点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3,0）。

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；

（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；

（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：

是否存在一点N，使d的值最大？

若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

3、直线

与x轴，y轴分别交于点A、C，抛物线的图象经过点A、C，抛物线的图形经过点A、C和B（1,0）。

（1）求抛物线的解析式； 

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？