初中数学抛物线与几何专题训练及答案.docx
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初中数学抛物线与几何专题训练及答案
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抛物线与几何问题
【知识纵横】
抛物线的解析式有下列三种形式：
1、一般式：
（a≠0）；2、顶点式：
y=a（x—h）2＋k；3、交点式：
y=a（x—x1）（x—x2），这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【典型例题】
【例1】（浙江杭州）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。
平移二
次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：
①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。
（1）是否存在这样的抛物线F，
？
请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F
对应的二次函数的解析式。
【思路点拨】
（1）由关系式来构建关于t、b的方程；
（2）讨论
t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。
【例2】（江苏常州）如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
（1）求点A的坐标;
（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等
腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,
点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.
【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x<0、②当点P在第四象限是，x>0这二种情况。
【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。
【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，
使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x
轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上
一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
【思路点拨】
（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。
（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。
（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。
【例5】（山东济南）已知：
抛物线（a≠0），顶点C（1，），与x轴交于A、B两点，．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，
PN⊥DB于N，请判断是否为定值?
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）在
（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F、G（F与A、E不重合，G与E、B不重合），请判断是否成
立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拨】
（2）证△APM∽△ABE，
同理:
（3）证PH=BH且△APM∽△PBH
再证△MEP∽△EGF可得。
【学力训练】
1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?
（不必求点P的坐标，只需说明理由）
2、（广东肇庆）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？
如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
3、（青海西宁）如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线
与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在
（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?
如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的
负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
7、（苏州市）如图，抛物线y＝a（x＋1）（x－5）与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b
与x轴交于P（－2，0），与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
（1）OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；
（2）是否存在实数a，使得抛物线y＝a（x＋1）（x－5）上有一点E，满足以D、N、E为顶
点的三角形与△AOB相似?
若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．
抛物线与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（浙江杭州）
（1）∵平移的图象得到的抛物线的顶点为,
∴抛物线对应的解析式为:
.
∵抛物线与x轴有两个交点，∴.
令,得，,
∴）（）|,
即,所以当时,存在抛物线使得.--2分
（2）∵,∴,得:
解得.
在中,
1）当时,由,得,
当时,由,解得,
此时,二次函数解析式为;
当时,由,解得,
此时，二次函数解析式为++.
2）当时,由,将代,可得,,
（也可由代，代得到）
所以二次函数解析式为+–或.
【例2】（江苏常州）
（1）∵
∴A（-2,-4）
（2）四边形ABP1O为菱形时，P1（-2,4）
四边形ABOP2为等腰梯形时，P1（）
四边形ABP3O为直角梯形时，P1（）
四边形ABOP4为直角梯形时，P1（）
（3）
由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x
①当点P在第二象限时，x<0,
△POB的面积
∵△AOB的面积，
∴
∵，
∴
即∴
∴x的取值范围是
②当点P在第四象限是，x>0,
过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积
∵△AA′B的面积
∴
∵，
∴即∴
∴x的取值范围是
【例3】（浙江丽水）
（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴,,
∴所在直线的函数解析式为
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为（,）.
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，
（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）.
②∵==，又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：
，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
【例4】（广东省深圳市）
（1）方法一：
由已知得：
C（0，－3），A（－1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得
解得：
所以这个二次函数的表达式为：
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3）
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得
∴圆的半径为或．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．
【例5】（山东济南）
（1）设抛物线的解析式为
将A（－1，0）代入:
∴
∴抛物线的解析式为，即：
（2）是定值，
∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE
∴△APM∽△ABE，∴①
同理:
②①+②:
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB
∴EA=EB
∵∠AEB=90°
∴△AEB为等腰直角三角形．
∴∠EAB=∠EBA=45°7分
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°
∴PH=BH
且△APM∽△PBH
∴
∴ ①
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP
∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF
∴ ②
由①、②知：
【学力训练】
1、（广东梅州）
（1）DC∥AB，AD=DC=CB，
∠CDB=∠CBD=∠DBA，
∠DAB=∠CBA，∠DAB=2∠DBA，
∠DAB+∠DBA=90，∠DAB=60，
∠DBA=30，AB=4，DC=AD=2，
RtAOD，OA=1，OD=，
A（-1，0），D（0，），C（2，）．
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），
故可设所求为=（+1）（-3）
将点D（0，）的坐标代入上式得，=．
所求抛物线的解析式为=其对称轴L为直线=1．
（3）PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
P1DB为等腰三角形；
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．
2、（广东肇庆）
（1）由5=0，（1分）
得，．∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．（3分）
（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
=S--
=--
=5（个单位面积）
（3）如：
．
事实上，=45a2+36a．
3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）]=45a2+36a．
∴．
3、（青海西宁）
（1）圆心的坐标为，半径为1，，……1分
二次函数的图象经过点，
可得方程组
解得：
二次函数解析式为
（2）过点作轴，垂足为．是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在中，
为锐角，
，
在中，．
．
点坐标为
设切线的函数解析式为，由题意可知，切线的函数解析式为
（3）存在．
①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似）
，
②过点作，垂足为，过点作，垂足为．
可得（两角对应相等两三角开相似）
在中，，，
在中，，
，
符合条件的点坐标有，
4、（辽宁12市）
解：
（1）直线与轴交于点，与轴交于点．
，
点都在抛物线上，
抛物线的解析式为顶点
（2）存在
（3）存在
理由：
解法一：
延长到点，使，连接交直线于
点，则点就是所求的点．
过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，，
在中，，
，，
设直线的解析式为
解得
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时．
5、（四川资阳）
（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴ΔAOC∽ΔCOB，
∴．
又∵A（–1，0），B（9，0），
∴，解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，–3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x–9），
∴–3=a（0+1）（0–9），解得a=，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x–9），即y=x2–x–3．
（2）∵AB为O′的直径，且A（–1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，
连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．
∴D（4，–5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴解得
∴直线BD的解析式为y=x–9.
（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
设射线DP交⊙O′于点Q，则．
分两种情况（如答案图1所示）：
①∵O′（4，0），D（4，–5），B（9，0），C（0，–3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
因此，点Q1（7，–4）符合，
∵D（4，–5），Q1（7，–4），
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–．解方程组得
∴点P1坐标为（，），[坐标为（，）不符合题意，舍去]．
②∵Q1（7，–4），
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合．
∵D（4，–5），Q2（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17．
解方程组得
∴点P2坐标为（14，25），[坐标为（3，–8）不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点P有两个：
P1（，），P2（14，25）．
6、（辽宁沈阳）
（1）点在轴上
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：
点在轴上，点在轴上．
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为
由
（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为
抛物线经过点，
由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为：
（3）存在符合条件的点，点．10分
理由如下：
矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，．
7、（苏州市）
（1）OH＝1；k＝，b＝；
（2）设存在实数a，是抛物线y＝a（x＋1）（x－5）上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似
∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
由抛物线y＝a（x＋1）（x－5）得：
M（－1，0），N（5，0）
∴D（2，0），∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是（2，3）．
把E（2，3）代入抛物线解析式，得a＝
∴抛物线解析式为y＝（x＋1）（x－5）
即y＝x2＋x＋
②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．
∴E的坐标为，
把E，代入抛物线解析式，得a＝．
∴抛物线解析式为y＝（x＋1）（x－5），即y＝x2＋x＋
当a＝时，在抛物线y＝x2＋x＋上存在一点E（2，3）满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’，．显然E’不在抛物线y＝x2＋x＋上，因此抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．
当a＝时，同理可得抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．
当E的坐标为（2，3），对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时．
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．
又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．
∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．
当E的坐标为，，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时，
同理可证得：
PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．
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