初中数学抛物线与几何专题训练及答案.docx

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初中数学抛物线与几何专题训练及答案

全国各地中考试题压轴题精选讲座

抛物线与几何问题

【知识纵横】

抛物线的解析式有下列三种形式:

1、一般式:

(a≠0);2、顶点式:

y=a(x—h)2+k;3、交点式:

y=a(x—x1)(x—x2),这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。

解函数与几何的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础;而充分发挥形的因素,数形互动,把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】

【例1】(浙江杭州)在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b)。

平移二

次函数的图象,得到的抛物线F满足两个条件:

①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(∣OB∣<∣OC∣),连结A,B。

(1)是否存在这样的抛物线F,

请你作出判断,并说明理由;

(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=,求抛物线F

对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】

(1)由关系式来构建关于t、b的方程;

(2)讨论

t的取值范围,来求抛物线F对应的二次函数的解析式。

 

【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

(1)求点A的坐标;

(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等

腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,

点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.

【思路点拨】(3)可求得直线的函数关系式是y=-2x,所以应讨论①当点P在第二象限时,x<0、②当点P在第四象限是,x>0这二种情况。

 

【例3】(浙江丽水)如图,在平面直角坐标系中,已知点坐标为(2,4),直线与轴相交于点,连结,抛物线从点沿方向平移,与直线交于点,顶点到点时停止移动.

(1)求线段所在直线的函数解析式;

(2)设抛物线顶点的横坐标为,

①用的代数式表示点的坐标;

②当为何值时,线段最短;

(3)当线段最短时,相应的抛物线上是否存在点,使△的面积与△的面积相等,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【思路点拨】

(2)构建关于的二次函数,求此函数的最小值;(3)分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。

 

【例4】(广东省深圳市)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,

使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?

若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x

轴相切,求该圆半径的长度.

(4)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上

一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?

求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

 

【思路点拨】

(2)可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时,求F点的坐标,再代入抛物线的表达式检验。

(3)讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。

(4)构建S关于x的二次函数,求它的最大值。

 

【例5】(山东济南)已知:

抛物线(a≠0),顶点C(1,),与x轴交于A、B两点,.

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,

PN⊥DB于N,请判断是否为定值?

若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

(3)在

(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成

立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

【思路点拨】

(2)证△APM∽△ABE,

同理:

(3)证PH=BH且△APM∽△PBH

再证△MEP∽△EGF可得。

 

【学力训练】

1、(广东梅州)如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;

(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.

(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?

(不必求点P的坐标,只需说明理由)

2、(广东肇庆)已知点A(a,)、B(2a,y)、C(3a,y)都在抛物线上.

(1)求抛物线与x轴的交点坐标;

(2)当a=1时,求△ABC的面积;

(3)是否存在含有、y、y,且与a无关的等式?

如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.

3、(青海西宁)如图,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点.

(1)求二次函数的解析式;

(2)求切线的函数解析式;

(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

4、(辽宁12市)如图,在平面直角坐标系中,直线

与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.

(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;

(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;

(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

5、(四川资阳)如图,已知点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连结BD,求直线BD的解析式;

(3)在

(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?

如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

6、(辽宁沈阳)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的

负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.

(1)判断点是否在轴上,并说明理由;

(2)求抛物线的函数表达式;

(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.

7、(苏州市)如图,抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M、N.直线y=kx+b

与x轴交于P(-2,0),与y轴交于C.若A、B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=,AO⊥BO.D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高.

(1)OH的长度等于___________;k=___________,b=____________;

(2)是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶

点的三角形与△AOB相似?

若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG<,写出探索过程.

 

抛物线与几何问题的参考答案

【典型例题】

【例1】(浙江杭州)

(1)∵平移的图象得到的抛物线的顶点为,

∴抛物线对应的解析式为:

.

∵抛物线与x轴有两个交点,∴.

令,得,,

∴)()|,

即,所以当时,存在抛物线使得.--2分

(2)∵,∴,得:

解得.

在中,

1)当时,由,得,

当时,由,解得,

此时,二次函数解析式为;

当时,由,解得,

此时,二次函数解析式为++.

2)当时,由,将代,可得,,

(也可由代,代得到)

所以二次函数解析式为+–或.

【例2】(江苏常州)

(1)∵

∴A(-2,-4)

(2)四边形ABP1O为菱形时,P1(-2,4)

四边形ABOP2为等腰梯形时,P1()

四边形ABP3O为直角梯形时,P1()

四边形ABOP4为直角梯形时,P1()

(3)

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x

①当点P在第二象限时,x<0,

△POB的面积

∵△AOB的面积,

∵,

即∴

∴x的取值范围是

②当点P在第四象限是,x>0,

过点A、P分别作x轴的垂线,垂足为A′、P′

则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积

∵,

∴即∴

∴x的取值范围是

【例3】(浙江丽水)

(1)设所在直线的函数解析式为,

∵(2,4),

∴,,

∴所在直线的函数解析式为

(2)①∵顶点M的横坐标为,且在线段上移动,

∴(0≤≤2).

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为.

∴当时,

(0≤≤2).

∴点的坐标是(2,).

②∵==,又∵0≤≤2,

∴当时,PB最短

(3)当线段最短时,此时抛物线的解析式为.

假设在抛物线上存在点,使.

设点的坐标为(,).

①当点落在直线的下方时,过作直线∵点的坐标是(2,3),∴直线的函数解析式为.

∵,∴点落在直线上.

∴=.

解得,即点(2,3).

∴点与点重合.

∴此时抛物线上不存在点,使△与△的面积相等.

②当点落在直线的上方时,

作点关于点的对称称点,过作直线∵,∴点落在直线上.

∴=.

解得:

,.

代入,得,.

∴此时抛物线上存在点,

使△与△的面积相等.

综上所述,抛物线上存在点,

使△与△的面积相等.

【例4】(广东省深圳市)

(1)方法一:

由已知得:

C(0,-3),A(-1,0)

将A、B、C三点的坐标代入得

解得:

所以这个二次函数的表达式为:

(2)存在,F点的坐标为(2,-3)

易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:

∴E点的坐标为(-3,0)

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3)

代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合

∴存在点F,坐标为(2,-3)

(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R),

代入抛物线的表达式,解得

②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),

则N(r+1,-r),

代入抛物线的表达式,解得

∴圆的半径为或.

(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,

易得G(2,-3),直线AG为.

设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.

当时,△APG的面积最大

此时P点的坐标为,.

【例5】(山东济南)

(1)设抛物线的解析式为

将A(-1,0)代入:

∴抛物线的解析式为,即:

(2)是定值,

∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∵PM⊥AE,∴PM∥BE

∴△APM∽△ABE,∴①

同理:

②①+②:

(3)∵直线EC为抛物线对称轴,∴EC垂直平分AB

∴EA=EB

∵∠AEB=90°

∴△AEB为等腰直角三角形.

∴∠EAB=∠EBA=45°7分

如图,过点P作PH⊥BE于H,

由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形,

∴PH=ME且PH∥ME

在△APM和△PBH中

∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°

∴PH=BH

且△APM∽△PBH

∴ ①

在△MEP和△EGF中,

∵PE⊥FG,∴∠FGE+∠SEG=90°

∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP

∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF

∴    ②

由①、②知:

 

【学力训练】

1、(广东梅州)

(1)DC∥AB,AD=DC=CB,

∠CDB=∠CBD=∠DBA,

∠DAB=∠CBA,∠DAB=2∠DBA,

∠DAB+∠DBA=90,∠DAB=60,

∠DBA=30,AB=4,DC=AD=2,

RtAOD,OA=1,OD=,

A(-1,0),D(0,),C(2,).

(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知,满足条件的抛物线必过点A(-1,0),B(3,0),

故可设所求为=(+1)(-3)

将点D(0,)的坐标代入上式得,=.

所求抛物线的解析式为=其对称轴L为直线=1.

(3)PDB为等腰三角形,有以下三种情况:

①因直线L与DB不平行,DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1,P1D=P1B,

P1DB为等腰三角形;

②因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2,DB=DP3,P2DB,P3DB为等腰三角形;

③与②同理,L上也有两个点P4、P5,使得BD=BP4,BD=BP5.

由于以上各点互不重合,所以在直线L上,使PDB为等腰三角形的点P有5个.

2、(广东肇庆)

(1)由5=0,(1分)

得,.∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(,0).(3分)

(2)当a=1时,得A(1,17)、B(2,44)、C(3,81),

分别过点A、B、C作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则有

=S--

=--

=5(个单位面积)

(3)如:

事实上,=45a2+36a.

3()=3[5×(2a)2+12×2a-(5a2+12a)]=45a2+36a.

∴.

3、(青海西宁)

(1)圆心的坐标为,半径为1,,……1分

二次函数的图象经过点,

可得方程组

解得:

二次函数解析式为

(2)过点作轴,垂足为.是的切线,为切点,(圆的切线垂直于经过切点的半径).

在中,

为锐角,

在中,.

点坐标为

设切线的函数解析式为,由题意可知,切线的函数解析式为

(3)存在.

①过点作轴,与交于点.可得(两角对应相等两三角形相似)

②过点作,垂足为,过点作,垂足为.

可得(两角对应相等两三角开相似)

在中,,,

在中,,

符合条件的点坐标有,

4、(辽宁12市)

解:

(1)直线与轴交于点,与轴交于点.

点都在抛物线上,

抛物线的解析式为顶点

(2)存在

(3)存在

理由:

解法一:

延长到点,使,连接交直线于

点,则点就是所求的点.

过点作于点.

点在抛物线上,

在中,,

,,

在中,,

,,

设直线的解析式为

解得

解得

在直线上存在点,使得的周长最小,此时.

5、(四川资阳)

(1)∵以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,

∴∠OCA+∠OCB=90°,

又∵∠OCB+∠OBC=90°,

∴∠OCA=∠OBC,

又∵∠AOC=∠COB=90°,

∴ΔAOC∽ΔCOB,

∴.

又∵A(–1,0),B(9,0),

∴,解得OC=3(负值舍去).

∴C(0,–3),

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9),

∴–3=a(0+1)(0–9),解得a=,

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9),即y=x2–x–3.

(2)∵AB为O′的直径,且A(–1,0),B(9,0),

∴OO′=4,O′(4,0),

∵点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°,

连结O′D交BC于点M,则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D=AB=5.

∴D(4,–5).

∴设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)

∴解得

∴直线BD的解析式为y=x–9.

(3)假设在抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CBD,

设射线DP交⊙O′于点Q,则.

分两种情况(如答案图1所示):

①∵O′(4,0),D(4,–5),B(9,0),C(0,–3).

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°,使点D与点B重合,则点C与点Q1重合,

因此,点Q1(7,–4)符合,

∵D(4,–5),Q1(7,–4),

∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–.解方程组得

∴点P1坐标为(,),[坐标为(,)不符合题意,舍去].

②∵Q1(7,–4),

∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7,4)也符合.

∵D(4,–5),Q2(7,4).

∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17.

解方程组得

∴点P2坐标为(14,25),[坐标为(3,–8)不符合题意,舍去].

∴符合条件的点P有两个:

P1(,),P2(14,25).

6、(辽宁沈阳)

(1)点在轴上

理由如下:

连接,如图所示,在中,,,

由题意可知:

点在轴上,点在轴上.

(2)过点作轴于点

在中,,

点在第一象限,

点的坐标为

(1)知,点在轴的正半轴上

点的坐标为

点的坐标为

抛物线经过点,

由题意,将,代入中得

解得

所求抛物线表达式为:

(3)存在符合条件的点,点.10分

理由如下:

矩形的面积

以为顶点的平行四边形面积为.

由题意可知为此平行四边形一边,

边上的高为2

依题意设点的坐标为

点在抛物线上

解得,,

以为顶点的四边形是平行四边形,

,,

当点的坐标为时,

点的坐标分别为,;

当点的坐标为时,

点的坐标分别为,.

7、(苏州市)

(1)OH=1;k=,b=;

(2)设存在实数a,是抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似

∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类,一类是以DN为直角边的等腰直角三角形,另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形.

①若DN为等腰直角三角形的直角边,则ED⊥DN.

由抛物线y=a(x+1)(x-5)得:

M(-1,0),N(5,0)

∴D(2,0),∴ED=DN=3,∴E的坐标是(2,3).

把E(2,3)代入抛物线解析式,得a=

∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5)

即y=x2+x+

②若DN为等腰直角三角形的斜边,则DE⊥EN,DE=EN.

∴E的坐标为,

把E,代入抛物线解析式,得a=.

∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5),即y=x2+x+

当a=时,在抛物线y=x2+x+上存在一点E(2,3)满足条件,如果此抛物线上还有满足条件的E点,不妨设为E’点,那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形,由此得E’,.显然E’不在抛物线y=x2+x+上,因此抛物线y=x2+x+上没有符合条件的其他的E点.

当a=时,同理可得抛物线y=x2+x+上没有符合条件的其他的E点.

当E的坐标为(2,3),对应的抛物线解析式为y=x2+x+时.

∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形,∴∠GNP=∠PBO=45°.

又∵∠NPG=∠BPO,∴△NPG∽△BPO.

∴,∴PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴总满足PB·PG<.

当E的坐标为,,对应的抛物线解析式为y=x2+x+时,

同理可证得:

PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴总满足PB·PG<.

 

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