《有理数》基础知识讲解.docx

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《有理数》基础知识讲解

《有理数》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.

2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.

3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.

4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.

5.体会数学知识中体现的一些数学思想.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：

（2）按性质分类：

要点诠释：

（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用：

作用

举例

表示数的性质

0是自然数、是有理数

表示没有

3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示

表示某种状态

表示冰点

表示正数与负数的界点

0非正非负，是一个中性数

2．数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线．

要点诠释：

（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如

．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3．相反数：

只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“

”号即可．

（3）多重符号的化简：

数字前面“

”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

4．绝对值：

（1）代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作

．

（2）几何意义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

要点二、有理数的运算

1．法则：

（1）加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+（-b）．

（3）乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·

（b≠0）．

（5）乘方运算的符号法则：

①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．

　（6）有理数的混合运算顺序：

①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：

－[－（－3）]=－3，

－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：

（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：

，

．

2．运算律：

（1）交换律:

①加法交换律:

a+b=b+a；②乘法交换律:

ab=ba；

（2）结合律:

①加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）；②乘法结合律：

（ab）c=a（bc）

（3）分配律：

a（b+c）=ab+ac

要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：

（1）数轴比较法；

（2）法则比较法：

正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3）作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．

要点四、科学记数法、近似数及精确度

1.科学记数法：

把一个大于10的数表示成

的形式（其中

，

是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：

200000=

．

2.近似数：

接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.

要点诠释：

一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

3.精确度：

一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

要点诠释：

（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.

（2）精确度有两种形式：

①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到

米，说明结果与实际数相差不超过

米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.

【典型例题】

类型一、有理数相关概念

1．若一个有理数的：

（1）相反数；

（2）倒数；（3）绝对值；（4）平方；（5）立方，等于它本身．则这个数分别为

（1）________；

（2）________；（3）________；（4）________；（5）________．

【答案】

（1）0；

（2）1和-1；（3）正数和0；（4）1和0；（5）-1、0和1

【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.

【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.

举一反三：

【高清课堂：

有理数专题复习357133概念的理解与应用】

【变式】

（1）

的倒数是　；

的相反数是　　；

的绝对值是　　.

-（-8）的相反数是；

的相反数的倒数是_____.

（2）某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是_；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.

（3）上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m／min.

（4）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则

____.

（5）近似数0.4062精确到位，近似数5.47×105精确到位，近似数3.5万精确到位，3.4030×105精确到千位是.

【答案】

（1）

；

；

；-8；2

（2）降价5.8元，70.2元；（3）

；（4）3；

（5）万分；千；千；3.40×105

2．如果（x-2）2+|y-3|＝0，那么（2x-y）2005的值为（）．

A．1B．-1C．22006D．32005

【思路点拨】利用非负数的性质，求出

的值再代入计算．

【答案】A

【解析】因为（x-2）2，|y-3|都是非负数，且（x-2）2+|y-3|＝0，所以由非负数的性质先求出x=2，

y=3的值，代入得：

（2x-y）2005=12005=1．

【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性．

3．在下列两数之间填上适当的不等号：

________

．

【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．

【答案】＜

【解析】法一：

作差法

由于

，所以

法二：

倒数比较法：

因为

所以

【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．

举一反三：

【变式】比较大小：

（1）

________0.001；

（2）

________-0.68

【答案】

（1）＜

（2）＞

类型二、有理数的运算

4．

（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）

（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|

（3）

（4）

（5）

【答案与解析】

解：

（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）

=﹣12﹣5﹣14+39

=﹣31+39

=8

（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|

=﹣9÷9﹣6+4

=﹣1﹣6+4

=﹣3

（3）

=

×60﹣

×60﹣

×60

=10﹣25﹣8

=﹣23

（4）

=﹣

×[（﹣

）÷（﹣

）﹣32]

=﹣

×[2﹣32]

=﹣

×[﹣30]

=24

（5）

【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．

举一反三：

【变式】计算：

（1）

（2）

【答案】解：

（1）

（2）

=-16+4-3×1

=-15

类型三、数学思想在本章中的应用

5．

（1）数形结合思想：

有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．

A．-a＜a＜1B．1＜-a＜aC．1＜-a＜aD．a＜1＜-a

（2）分类讨论思想：

已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．

　　（3）转化思想：

计算：

【答案与解析】

解：

（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：

a＜1＜-a．

所以正确选项为：

D．

（2）因为|x|＝5，所以x为-5或5

因为|y|＝3，所以y为3或-3．

当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2

当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-（-3）＝8

当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8

当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-（-3）＝-2

故（x-y）的值为±2或±8

（3）原式=

【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：

分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．

举一反三：

【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?

为什么?

【答案】解：

当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；

　　当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；

　　当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．

　　所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．

类型四、规律探索

6．将1，

，

，

，

，

，…，按一定规律排列如下：

请你写出第20行从左至右第10个数是________．

【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．

【答案】

【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是

；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是

，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是

．

【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．