求数列通项公式及求和的基本方法.docx

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求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法

1.公式法：

利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有

，等差数列或等比数列的通项公式。

例一已知无穷数列

的前

项和为

，并且

，求

的通项公式？

.

反思：

利用相关数列

与

的关系：

与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

2.累加法：

利用

求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如

的递推数列通项公式的基本方法（

可求前

项和）.

已知

求数列

通项公式.

3.累乘法:

利用恒等式

求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:

的递推数列通项公式的基本方法（数列

可求前

项积）.

已知

求数列

通项公式.

.

反思:

用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为

.

4.构造新数列:

类型1

解法：

把原递推公式转化为

，利用累加法（逐差相加法）求解。

例1:

已知数列

满足

，

，求

解：

类型2

解法：

把原递推公式转化为

，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例2:

已知数列

满足

，

，求

。

解：

变式:

（全国I,）已知数列{an}，满足a1=1，

（n≥2），则{an}的通项

解

类型3

（其中p，q均为常数，

）。

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

，其中

，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4:

已知数列

中，

，

，求

.

.

解：

类型4

（其中p，q均为常数，

）。

（或

其中p，q,r均为常数）。

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以

，得：

引入辅助数列

（其中

），得：

再待定系数法解决。

例5:

已知数列

中，

，求

。

解：

在

两边乘以

得：

令

，则

解之得：

所以

类型5递推公式为

（其中p，q均为常数）。

解（特征根法）：

对于由递推公式

，

给出的数列

，方程

，叫做数列

的特征方程。

若

是特征方程的两个根，

当

时，数列

的通项为

，其中A，B由

决定（即把

和

，代入

，得到关于A、B的方程组）；

当

时，数列

的通项为

，其中A，B由

决定（即把

和

，代入

，得到关于A、B的方程组）。

例6:

数列

：

，

求

解

（特征根法）：

的特征方程是：

。

。

又由

，于是

故

练习:

已知数列

中，

，求

。

。

变式:

（福建,文,22）

已知数列

满足

求数列

的通项公式；

（I）解：

类型6递推公式为

与

的关系式。

（或

）

解法：

利用

与

消去

或与

消去

进行求解。

例7：

数列

前n项和

.

（1）求

与

的关系；

（2）求通项公式

.

解：

（1）由

得：

于是

所以

.

（2）应用类型4（

（其中p，q均为常数，

））的方法，上式两边同乘以

得：

由

.于是数列

是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。

下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、

4、

5、

例1（山东文18）设

是公比大于1的等比数列，

为数列

的前

项和．已知

，且

构成等差数列．

（1）求数列

的等差数列．

（2）令

求数列

的前

项和

．

解：

（1）由已知得

解得

．

设数列

的公比为

，由

，可得

．

又

，可知

，即

，

解得

．由题意得

．

．故数列

的通项为

．

（2）由于

由

（1）得

，又

是等差数列．

故

．

练习：

设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

的最大值.

二、错位相减法

设数列

的等比数列，数列

是等差数列，则数列

的前

项和

求解，均可用错位相减法。

例2（高考天津）在数列

中，

，其中

．

（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（Ⅱ）求数列

的前

项和

；

（Ⅰ）解：

由

，

，

可得

，

所以

为等差数列，其公差为1，首项为0，故

，所以数列

的通项公式为

．

（Ⅱ）解：

设

，　　　①

　　　　　　　　②

当

时，①式减去②式，

得

，

．

这时数列

的前

项和

．

当

时，

．这时数列

的前

项和

．

例3（高考全国Ⅱ文21）设

是等差数列，

是各项都为正数的等比数列，且

，

，

（Ⅰ）求

，

的通项公式；

（Ⅱ）求数列

的前n项和

．

解：

（Ⅰ）设

的公差为

，

的公比为

，则依题意有

且

解得

，

．

所以

，

．

（Ⅱ）

．

，①

，②

②－①得

，

．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

例4设函数

的图象上有两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2），若

且点P的横坐标为

.

（I）求证：

P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II）若

（I）∵

且点P的横坐标为

.

∴P是

的中点，且

由（I）知，

，

（1）+

（2）得：

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）

等。

例5求数列

的前n项和.

解：

设

（裂项）

则

（裂项求和）

＝

＝

例6（高考湖北）已知二次函数

的图像经过坐标原点，其导函数为

，数列

的前n项和为

，点

均在函数

的图像上。

（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（Ⅱ）设

，

是数列

的前n项和，求使得

对所有

都成立的最小正整数m；

解：

（Ⅰ）设这二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0）,则f`（x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2,得

a=3,b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.

又因为点

均在函数

的图像上，所以

＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－

＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（

）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

＝

＝

，

故Tn＝

＝

＝

（1－

）.

因此，要使

（1－

）<

（

）成立的m,必须且仅须满足

≤

，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

评析：

一般地，若数列

为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：

首先考虑

则

=

。

下列求和：

也可用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：

对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{an}的前n项和

，数列{bn}满

.

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：

（Ⅰ）由

，

两式相减得：

，

同定义知

是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

=

　例8求

（

）

解：

⑴　当

为偶数时，

；

⑵　当

为奇数时，

综上所述，

．

点评：

分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.