完整版初中数学函数知识点归纳新doc.docx
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初中函数知识
函数知识点总结（掌握函数的定义、性质和图像）
平面直角坐标系
1、定义：
平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系
2、各个象限内点的特征:
第一象限：
（+，+）第二象限：
（-，+）第三象限：
（-，-）第四象限：
（+，-）
3、坐标轴上点的坐标特征：
x轴上的点，y为零；y轴上的点，x为零；原点的坐标为（0,0）。
4、点的对称特征：
已知点P（m,n）,
关于x轴的对称点坐标是（m,-n）,横坐标相同，纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是（-m,n）纵坐标相同，横坐标反号
关于原点的对称点坐标是（-m,-n）横，纵坐标都反号
5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
平行于x轴的直线上的任意两点：
纵坐标相等；
平行于y轴的直线上的任意两点：
横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P（x,y）的几何意义：
点P（x,y）到x轴的距离为|y|
，点P（x,y）到y轴的距离为|x|。
点P（x,y）到坐标原点的距离为
x2
y2
8、两点之间的距离：
X轴上两点为A（x1,0）、B（x2,0）
|AB|
|x2
x1|
Y轴上两点为C（0,y1）、D（0,y2）
|CD|
|y2
y1|
已知A（x1,y1）、B（x2,y2）AB|=
（x2
x1）2
（y2
y1）2
1
初中函数知识
9、中点坐标公式：
已知
A（
x1
y1
）、
B（x2,y2）M
为
AB
的中点
则：
x2x1
y2y1）
M=（
2
2
10、点的平移特征：
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（
x-a，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（
x+a，y）；
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（
x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（
x，y－b）。
函数的基本知识：
基本概念
1、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的
值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是
x的函数。
*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应
3、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
5.函数解析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
6、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7、函数的表示方法:
列表法、解析式法、图象法
2
初中函数知识
一次函数图象和性质
【知识梳理】
一、一次函数的基础知识
1、定义：
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数
当b=0时，y=kx＋b即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：
y=kx+b（k≠0）
说明：
①k不为零②x指数为1③b取任意实数
2、解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k0）
3、图像：
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b，0）两点的一条直线，我们称它为直
k
线y=kx+b,
4、增减性（单调性）：
k>0，y随x的增大而增大（单调增）；k<0，y随x而增大而减小（单调减）
5、必过点：
（0，b）和（-b，0）：
理由如下：
y=kx+b中，
k
⑴当x=o,时，y=？
？
所以，该函数经过（，）点
⑵当y=o,时，x=？
？
所以，该函数经过（，）点
所以，一次函数y
kxb的图象是必经过（
b
.，
，0）和（0，b）两点的一条直线
k
注：
两点确定一条直线。
画图时，可通过这两点来确定直线。
6、一次函数图像的画法：
两点法
１、计算必过点（0，b）和（-b，0）２、描点３、连线（从左到右光滑的直线）
k
7、增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
8、倾斜度（只与k相关）：
|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
9、与y轴交点
①当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；
②当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。
（即y轴的负半轴）
10、图像的上下平移（只与b相关）：
直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
上加下减
例如：
y=2x+3,将直线向平移个单位；y=5x-6,将直线的图象向平移个单位
3
初中函数知识
11、一次函数
k>0
k<0
ykxb的图象与性质
b>0b<0b=0（正比例函数）
经过：
第一、二、三象限经过：
第一、三、四象限经过：
第一、三象限
不经过：
第四象限不经过：
第二象限不经过：
第二、四象限
增减性（单调性）：
图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
不经过：
第三象限不经过：
第一象限不经过：
第一、三象限
12、两
直线之
间的位
置关系
（平行
增减性（单调性）：
图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减
或相
b
交）：
必过点：
经过（
经过原点（0，0）
，0）和（0，b）两点，正比例函数即是
（3）若直线l1：
y
k
k1xb1
l2：
y
k2xb2
①平行：
当k
1
k
时，l
l
；当b
b
b时，l
与l
交于
，b点。
2
1//2
1
2
1
2
（0）
②相交：
将两直线方程联立成一个方程组，
{y
k1
b1
，解得结果，即为交点。
y
k2
b2
13、二元一次方程组与一次函数的关系
：
两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
一、反比例函数的基础知识
4
初中函数知识
1、定义：
一般地，形如y
k（k为常数，k
o）的函数称为反比例函数。
x
y
k还可以写成ykx
1
x
2、解析式：
y
k（k为常数，）
x
注：
反比例函数解析式的特征：
①等号左边是函数y，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），
分母中含有自变量x，且指数为1.②比例系数k0
③自变量x的取值为一切非零实数。
（反比例函数有意义的条件：
分母≠0）
④函数y的取值是一切非零实数。
3、增减性（单调性）：
k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增）
4、反比例函数的图象：
双曲线
（1）图像的画法：
描点法
①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的曲线）
（1）是中心对称图形，对称中心是原点
（2）对称性：
（2）
是轴对称图形，对称轴是直线
y
和
yx
x
（3）反比例函数y
k（k为常数，k
0）中自变量x
0，函数值y
0，所以双曲线是不
x
经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小
3）
k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大
（4）比例系数k的几何含义（右图）：
反比例函数
y＝k
（k≠0）中比例系数k的
y＝k
x
几何意义，即过双曲线
（k≠0）上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分
x
别为A、B，则所得矩形
OAPB的面积（阴影面积）为k
.
（由y＝k变形可得：
k=xy
因为面积为正数，所以
k取绝对值。
）
x
5、反比例函数性质如下表：
k的符号k＞0k＜0
yy
5
oxox
初中函数知识
图像的大致位置
经过象限
第
象限
第
象限
增减性（单调性：
单
在每一象限内，从左到右看，
y
在每一象限内,从左到右看
调区间内讨论）
随x的增大而减小
；
y随x的增大而增大
（-∞，0）U（0，+∞）区间内，
（-∞，0）U（0，+∞）区间内，
单调减
单调增
图像的对称性
中心称图形，对称中心是原点；
二
同时，也是轴对称图形，对称轴是直线
y=x和直线y=-x
次
函数图象和性质
【知识梳理】
一、二次函数的基础知识：
1．定义：
一般地，形如y
ax2
bx
c（a，b，c是常数，a
0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数
a
0
，而b，c可以为零．
二次函数的定义域（
x的取值范围）：
全体实数，R．
2.解析式（表达式）：
一般式：
yax2
bx
c（a
0，a，b，c是常数）：
说明：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变量
x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，
b是一次项系数，
c是常数项．
对于二次函数y
ax
2
bxc，经过配方变形为顶点式：
y=a（x+
b
2
4ac
b2
b
4ac
b2
2a
）
4a
其顶点坐标为（-
2a
，
）
4a
补充：
⑴二次函数解析式的表示方法（三种）
①一般式：
y
ax2
bx
c（a，b，c为常数，a
0）；
②顶点式：
y
a（x
h）2
k（a，h，k为常数，a
0）；[抛物线的顶点P（h，k）]
对于二次函数y
ax
2
bxc，经过配方变形顶点式：
y=a（x+
b
）
2
4acb2
其顶点坐标为（-
b
4acb2
）
4a
2a
，
4a
2a
③两根式（交点式）：
y
a（x
x1）（x
x2）（a0，x1
，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
[仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线，即△≥0]
其中x1
b
b2
4ac,x2
b
b2
4ac
（即一元二次方程求根公式）
2a
2a
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b
k=
4acb2
x1
b
b2
4ac,
x2
b
b2
4ac
2a
4a
2a
2a
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与x轴有交点，即b2
4ac
0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
6
初中函数知识
的这三种形式可以互化.
⑵二次函数y
axh
2
k与y
ax2
bx
c的比较
从解析式上看，
yax
h
2
ax2
bx
c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
k与y
2
b2
b，k
4acb2
者，即yax
b
4ac
，其中h
．
2a
4a
2a
4a
3、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
4、二次函数yax2
bxc图象的画法
五点绘图法：
①
利用配方法将二次函数
yax2
bxc化为顶点式y
a（xh）2
k，确定其开口方向、对称轴及
顶点坐标;
②
②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与y轴的交点0，c
、
以及0，c关于对称轴对称的点
2h，c、与x轴的交点x1，0
，x2，0（若与x轴没有交点，
则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点
：
开口方向，对称轴，顶点，与
x轴的交点，与y轴的交点.
3、二次函数的图像：
抛物线
（1）对称性：
抛物线是轴对称图形。
对对称称轴轴：
：
直直线线x=-b,对称轴与抛物线唯一的交点为抛
2a
物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
（2）抛物线有一个顶点P，坐标为P（-
b
4ac
b2
2a
，
）
4a
当-b=0时，P在y轴上；当=
b2
4ac=0时，P在x轴上。
2a
4、a.b.c与抛物线的关系（a是二次项系数，
b是一次项系数，
c是常数项）
y
（1）a决定抛物线的开口方向和大小：
开口方向：
a为正（a＞0），开口朝上，有最小值；
a为负（a＜0），开口朝下，有最大值；
开口大小：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（2）a、b共同决定对称轴：
直线
x=-b
b
2a
的位置，分两种情况：
ab的符号决定对称轴x
2a
y=5x2
y=x2
x
7
初中函数知识
①当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；②当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。
概括的说就是“左同右异”
（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况：
⑴当c
0时，抛物线与
y轴的交点在x轴上方，即抛物线与
y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c
0时，抛物线与
y轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c
0时，抛物线与
y轴的交点在x轴下方，即抛物线与
y轴交点的纵坐标为负．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
6、抛物线与x轴交点个数
=
2
4ac
＞
0
时，抛物线与
x
轴有
2
个交点。
（1
）和
（2
）
b
Ax
0
Bx
0
=b2
4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
顶点P（
b,0）
2a
=b24ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
配图：
开口向上（开口向下，情况类似）
y△=0y△＜0
y△＞0
A
B
x
P
x
x
7、类比一元二次方程的根的情况：
特别地，二次函数（以下称函数）
yax2
bx
c
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2
bxc0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
2
8、二次函数y
ax
b
4acb2
的图像和性质
2a
4a
a＞0
a＜0
y
图象
x
O
开口
8
初中函数知识
对称轴
顶点坐标
最
值
当x＝
时，
当x＝
时，
y有最
值，y
y有最
值，y
在对称轴左
y随x的增大而
y
随x的增大而
增
侧
减
在对称轴右
y随x的增大而
y随x的增大而
性
侧
9.应用：
（1）最大面积；
（2）最大利润；（3）其它
10、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴
将抛物线解析式转化成顶点式y
ax
h
2
h，k；
k，确定其顶点坐标
⑵保持抛物线y
ax2的形状不变，将其顶点平移到
h，k处，具体平移？
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴yax2bxc沿y轴平移:
向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成
yax2bxcm（或yax2bxcm）
⑵yax2bxc沿轴平移：
向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成
ya（xm）2b（xm）c（或ya（xm）2b（xm）c）
综合练习
（1）下列函数，①
x（y
2）1②.
1
③y
1
1
⑤y
x
1
y
x
2
④.y
⑥y
；其中是y
x
1
2x
2
3x
关于x的反比例函数的有：
_________________。
（2）函数y
（a
2）xa2
2是反比例函数，则
a的值是（
）
A．－1
B．－2
C．2
D．2或－2
3
y
是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么
y
是x的（
）
（）如果
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