大学用三角函数公式大全.docx

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大学用三角函数公式大全

大学用三角函数公式大全．

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：

sin^2（α）+cos^2（α）=1

1+tan^2（α）=sec^2（α）

1+cot^2（α）=csc^2（α）

平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2（α）+cos^2（α）=1

1tanα*cotα=

一个特殊公式θ）*sin=sin（a+θ）（a-（sina+sinθ）*（sina-sinθ）*2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]（sina+sinθ）证明：

*（sina-sinθ）=2

θ）/2]cos[（θ+a）/2]sin[（a-a-θ）=sin（a+θ）*sin（坡度公式坡坡度（也叫的比叫做h我们通常半坡面的铅直高度与水平高度l比表示，用字母i），坡度形式，如l:

mi=h/l,的一般形式写成i=1:

5.如果把坡面即水平面与的夹角记作i=h/l=tana.

叫做坡角），那么a（锐角三角函数公式sinα=∠α的对边/∠α的斜边正弦：

的斜边余弦：

cosα=∠α的邻边/∠α正切的邻边：

tanα=∠α的对边/∠α

余切的对边：

cotα=∠α的邻边/∠α二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2（a）-Sin^2（a）

2.Cos2a=1-2Sin^2（a）

3.Cos2a=2Cos^2（a）-1

Cos2a=Cos^2（a）-Sin^2（a）=2Cos^2（a）-1=1-2Sin^2（a）即

正切

（1-tan^2（A））tan2A=（2tanA）/

三倍角公式

α）sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-

α）cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-

-a）tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3

三倍角公式推导

sin（3a）

=sin（a+2a）

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin2a）+（1-2sin2a）sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos（2a+a）

=cos2acosa-sin2asina

=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos^a）cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina（3/4-sin2a）

=4sina[（√3/2）2-sin2a]

=4sina（sin260°-sin2a）

=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa（cos2a-3/4）

=4cosa[cos2a-（√3/2）^2]

=4cosa（cos2a-cos230°）

=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

上述两式相比可得

-a）tan（60°+a）tan3a=tanatan（60°tan^2（α））-出公式如下:

sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/（1现列字（α）-1=1-2sin^2可别轻视这些cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）符,它们在数学学习中会起到重要作用。

包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式

α）sin3α=3sinα-4sin^3（α）=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cos^3（α）-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-1+3*tan（α）^2）=tantan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（--a）

a·tan（π/3+a）·tan（π/3半角公式

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

cosα）/（1+cosα）

-tan^2（α/2）=（1cosα）/sinαtan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-万能公式

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

其他

sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2-及（n-1）/n]=0以sin^2（α）+sin^2（αtanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

倍角公式四cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

倍角公式五

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAsin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

倍角公式六

sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））

cos6A=（（-1+2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））

tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角公式

sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角公式sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））

cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）

tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角公式

sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））

cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角公式

sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））

cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））

tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角公式根据棣美弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）为方便

=sin（nθ）n为正整数的情形：

cos（nθ）+i描述，令sinθ=s，cosθ=c考虑s）^4C（n,4）*c^（n-4）*（iC（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+（c+is）^n=

+s）^3+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（i+...

：

部实部较两边的实部与虚=>C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...比-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（i虚部）：

i*sin（nθ）=C（n,1）*c^（n+...i*（自然数1.cos（nθ）：

s）^5+...对所有的，n+s）^3C（n,5）*c^（n-5）*（i

因此全部都可以改成以平方关系），公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（都公式中出现的c

（1）当n是奇数时：

cosθ）表示。

c（也就是2.sin（nθ）：

sinθ）也就是s（c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以是偶次方，而平方关c^2=1-s^2（公式中出现的c都是奇次方，而表示。

（2）当n是偶数时：

也就是cosθ）的一次方无法消掉。

，因此即使再怎么换成系）s，都至少会剩c（c^5=c*（c^2）^2=c*（1-s^2）^2）

.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），（例半角公式

tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;

cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.

sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2

cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

φ）/2]-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-sinθ

cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

φ）/2]2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-cosθ-cosφ=-tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

两角和公式-tanαtanβ）tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1

-tanβ）/（1+tanαtanβ）tan（α-β）=（tanαsinαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos（α-sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ积化和差

sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2β）]/2sin（α-cosαsinβ=[sin（α+β）-双曲函数

sha=[e^a-e^（-a）]/2

cha=[e^a+e^（-a）]/2

tha=sinh（a）/cosh（a）

公式一：

三角函数任意角，终边相同的角的同一的值相等：

设α为

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

三角函数三角函数值任意角的与，π+α的设α为α值之间的关系：

sinαsin（π+α）=-=-cos（π+α）cosαtan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角三角函数值之间的关系：

的α与-α

sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tanα=-α）-（tan

（-α）=-cotαcot公式四：

三角函数与α的值之间的关系：

利用公式二和公式三可以得到π-α-α）=sinαsin（πcosα=-cos（π-α）

tanαtan（π-α）=-

cotαcot（π-α）=-公式五：

三角函数与α的值之间的关系：

利用公式-和公式三可以得到2π-α

α）=-sinαsin（2π-（2π-α）=cosαcos=-tanαtan（2π-α）=-cotαcot（2π-α）公式六：

α的三角函数值之间的关系：

π/2±α及3π/2±α与sin（π/2+α）=cosα=-sinαcos（π/2+α）

cotαtan（π/2+α）=-

tanαcot（π/2+α）=-

sα（π/2-α）=cosinα）=sinαcos（π/2-

α）=cotαtan（π/2-

α）=tanαcot（π/2-

（3π/2+α）=-cosαsincos（3π/2+α）=sinα

（3π/2+α）=-cotαtan（3π/2+α）=-tanαcot=-cosαsin（3π/2-α）=-sinαcos（3π/2-α）α）=cotαtan（3π/2-

α）=tanαcot（3π/2-

k∈Z）（以上A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=

+

·sin{

ωt√{（A2+B2+2ABcos（θ-φ）}

arcsinφ）}}[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2+B^2;+2ABcos（θ-,包括{……}中的内容√表示根号诱导公式（六公式）三角函数的公式一sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tanα-α）=tan（-

-α）=cosα公式二sin（π/2-α）=sinαcos（π/2sin（π/2+α）=cosα公式三

-sinαcos（π/2+α）=

-α）=sinα公式四sin（πcosαcos（π-α）=-

sinα公式五sin（π+α）=-

cosαcos（π+α）=-tanA=sinA/cosA公式六－cotαtan（π/2+α）=

（π/2－α）=cotαtan－tanαtan（π－α）=（π+α）=tanαtan诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限万能公式

sinα=2tan（α/2）/[1+（tan（α/2））2]

-（tan（α/2））2]/[1+（tan（α/2））2]cosα=[1-（tan（α/2））2]tanα=2tan（α/2）/[1

其它公式平方和公式）

（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1（

（2）1+（tanα）^2=（secα）^2

（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2

证明下面两式，只需将一式,左右同除（sinα）^2，第二个除（cosα）^2即可

（4）对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：

A+B=π-C

tan（A+B）=tan（π-C）

（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时，该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

（7）（cosA）^2;+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

其他非重点三角函数

csc（a）=1/sin（a）

sec（a）=1/cos（a）

（seca）^2+（csca）^2=（seca）^2（csca）^2

幂级数展开式

sinx=x-x^3/3!

+x^5/5!

-……+（-1）^（k-1）*（x^（2k-1））/（2k-1）!

+……。

（-∞

……+（-1）k*（x^（2k））/（2k）!

+……（-∞

+x^4/4!

-arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……（|x|<1）arccosx=π-（x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……）（|x|<1）arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……（x≤1）无限公式

x^2/9π^2）……x^2/4π^2）（1-sinx=x（1-x^2/π^2）（1-4x^2/25π^2）……4x^2/9π^2）（1-cosx=（1-4x^2/π^2）（1--4x^2）+……]tanx=8x[1/（π^2-4x^2）+1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）-+……]secx=4π[1/（π^2-4x^2）-1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2（sinx）x=cosx/2cosx/4cosx/8……

（1/4）tanπ/4+（1/8）tanπ/8+（1/16）tanπ/16+……=1/π

……（x≤1）arctanx=x-x^3/3+x^5/5-自变量数列求和有关的公式和sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin（nx/2）sin（（n+1）x/2）]/sin（x/2）

cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos（（n+1）x/2sin（nx/2）]/sin（x/2）

tan（（n+1）x/2）=（sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx）/（cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx）

-1）x=（sinnx）^2/sinxsinx+sin3x+sin5x+……+sin（2n

-1）x=sin（2nx）/（2sinx）cosx+cos3x+cos5x+……+cos（2n编辑本段内容规律

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就

会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

1．三角函数本质：

[1]根据右图，有

sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y。

三角公式都可以从这里出发推导出深刻理解了这一点，下面所有的

来，比如以推导为例：

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

推导：

单位圆单位圆AOD点。

角B，A上有任意，在D，C轴于X交首先画

。

与OD重合，形成新A'ODβ，旋转为α，BOD为AOB使OBβ））A（cosα,sinα）,B（cosβ，sinβ）,A'（cos（α-β）,sin（α-

OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0）

-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα积化和差和差化积（a+b）/2用还原法结合上面公式可推出及（换

）与（a-b）/2单位圆定义

单位圆

六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。

它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，单位圆的等式是：

图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。

逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。

这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。

图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和

cosθ=x/1。

单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）

tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）