大学用三角函数公式大全.docx
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大学用三角函数公式大全
大学用三角函数公式大全.
倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1
1tanα*cotα=
一个特殊公式θ)*sin=sin(a+θ)(a-(sina+sinθ)*(sina-sinθ)*2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2](sina+sinθ)证明:
*(sina-sinθ)=2
θ)/2]cos[(θ+a)/2]sin[(a-a-θ)=sin(a+θ)*sin(坡度公式坡坡度(也叫的比叫做h我们通常半坡面的铅直高度与水平高度l比表示,用字母i),坡度形式,如l:
mi=h/l,的一般形式写成i=1:
5.如果把坡面即水平面与的夹角记作i=h/l=tana.
叫做坡角),那么a(锐角三角函数公式sinα=∠α的对边/∠α的斜边正弦:
的斜边余弦:
cosα=∠α的邻边/∠α正切的邻边:
tanα=∠α的对边/∠α
余切的对边:
cotα=∠α的邻边/∠α二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1
Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)即
正切
(1-tan^2(A))tan2A=(2tanA)/
三倍角公式
α)sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-
α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-
-a)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3
三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin2a)
=4sina[(√3/2)2-sin2a]
=4sina(sin260°-sin2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos2a-3/4)
=4cosa[cos2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos2a-cos230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
-a)tan(60°+a)tan3a=tanatan(60°tan^2(α))-出公式如下:
sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1现列字(α)-1=1-2sin^2可别轻视这些cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)符,它们在数学学习中会起到重要作用。
包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式
α)sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-1+3*tan(α)^2)=tantan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(--a)
a·tan(π/3+a)·tan(π/3半角公式
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cosα)/(1+cosα)
-tan^2(α/2)=(1cosα)/sinαtan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
其他
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2-及(n-1)/n]=0以sin^2(α)+sin^2(αtanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
倍角公式四cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
倍角公式五
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAsin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
倍角公式六
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
N倍角公式根据棣美弗定理,(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)为方便
=sin(nθ)n为正整数的情形:
cos(nθ)+i描述,令sinθ=s,cosθ=c考虑s)^4C(n,4)*c^(n-4)*(iC(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+(c+is)^n=
+s)^3+C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(i+...
:
部实部较两边的实部与虚=>C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...比-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4cos(nθ)=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(i虚部):
i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n+...i*(自然数1.cos(nθ):
s)^5+...对所有的,n+s)^3C(n,5)*c^(n-5)*(i
因此全部都可以改成以平方关系),公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(都公式中出现的c
(1)当n是奇数时:
cosθ)表示。
c(也就是2.sin(nθ):
sinθ)也就是s(c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以是偶次方,而平方关c^2=1-s^2(公式中出现的c都是奇次方,而表示。
(2)当n是偶数时:
也就是cosθ)的一次方无法消掉。
,因此即使再怎么换成系)s,都至少会剩c(c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
.c^3=c*c^2=c*(1-s^2),(例半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
φ)/2]-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-sinθ
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
φ)/2]2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-cosθ-cosφ=-tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式-tanαtanβ)tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1
-tanβ)/(1+tanαtanβ)tan(α-β)=(tanαsinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α-sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2β)]/2sin(α-cosαsinβ=[sin(α+β)-双曲函数
sha=[e^a-e^(-a)]/2
cha=[e^a+e^(-a)]/2
tha=sinh(a)/cosh(a)
公式一:
三角函数任意角,终边相同的角的同一的值相等:
设α为
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
三角函数三角函数值任意角的与,π+α的设α为α值之间的关系:
sinαsin(π+α)=-=-cos(π+α)cosαtan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角三角函数值之间的关系:
的α与-α
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tanα=-α)-(tan
(-α)=-cotαcot公式四:
三角函数与α的值之间的关系:
利用公式二和公式三可以得到π-α-α)=sinαsin(πcosα=-cos(π-α)
tanαtan(π-α)=-
cotαcot(π-α)=-公式五:
三角函数与α的值之间的关系:
利用公式-和公式三可以得到2π-α
α)=-sinαsin(2π-(2π-α)=cosαcos=-tanαtan(2π-α)=-cotαcot(2π-α)公式六:
α的三角函数值之间的关系:
π/2±α及3π/2±α与sin(π/2+α)=cosα=-sinαcos(π/2+α)
cotαtan(π/2+α)=-
tanαcot(π/2+α)=-
sα(π/2-α)=cosinα)=sinαcos(π/2-
α)=cotαtan(π/2-
α)=tanαcot(π/2-
(3π/2+α)=-cosαsincos(3π/2+α)=sinα
(3π/2+α)=-cotαtan(3π/2+α)=-tanαcot=-cosαsin(3π/2-α)=-sinαcos(3π/2-α)α)=cotαtan(3π/2-
α)=tanαcot(3π/2-
k∈Z)(以上A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=
+
·sin{
ωt√{(A2+B2+2ABcos(θ-φ)}
arcsinφ)}}[(A·sinθ+B·sinφ)/√{A^2+B^2;+2ABcos(θ-,包括{……}中的内容√表示根号诱导公式(六公式)三角函数的公式一sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tanα-α)=tan(-
-α)=cosα公式二sin(π/2-α)=sinαcos(π/2sin(π/2+α)=cosα公式三
-sinαcos(π/2+α)=
-α)=sinα公式四sin(πcosαcos(π-α)=-
sinα公式五sin(π+α)=-
cosαcos(π+α)=-tanA=sinA/cosA公式六-cotαtan(π/2+α)=
(π/2-α)=cotαtan-tanαtan(π-α)=(π+α)=tanαtan诱导公式记背诀窍:
奇变偶不变,符号看象限万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2]
-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]cosα=[1-(tan(α/2))2]tanα=2tan(α/2)/[1
其它公式平方和公式)
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sinx=x-x^3/3!
+x^5/5!
-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!
+……。
(-∞……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!
+……(-∞+x^4/4!
-arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<1)arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<1)arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)无限公式
x^2/9π^2)……x^2/4π^2)(1-sinx=x(1-x^2/π^2)(1-4x^2/25π^2)……4x^2/9π^2)(1-cosx=(1-4x^2/π^2)(1--4x^2)+……]tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……]secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……
(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π
……(x≤1)arctanx=x-x^3/3+x^5/5-自变量数列求和有关的公式和sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)
cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)
tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)
-1)x=(sinnx)^2/sinxsinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n
-1)x=sin(2nx)/(2sinx)cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n编辑本段内容规律
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就
会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
1.三角函数本质:
[1]根据右图,有
sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y。
三角公式都可以从这里出发推导出深刻理解了这一点,下面所有的
来,比如以推导为例:
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
推导:
单位圆单位圆AOD点。
角B,A上有任意,在D,C轴于X交首先画
。
与OD重合,形成新A'ODβ,旋转为α,BOD为AOB使OBβ))A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα积化和差和差化积(a+b)/2用还原法结合上面公式可推出及(换
)与(a-b)/2单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理,单位圆的等式是:
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图象中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ=y/1和
cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)