大学用三角函数公式大全.docx

1、大学用三角函数公式大全 大学用三角函数公式大全 倒数关系： tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的关系： sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系： sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+cot2()=csc2() 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin2()+cos2()=1 1 tan *cot = 一个特殊公式 ）*sin=sin（a+）（a- （sina+sin）*（sina-sin）*2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 （sina+sin） 证明：*（sina-sin）=

2、2 )/2cos(+a)/2 sin(a- a-）=sin （a+）*sin（坡度 公式坡坡度（也叫的比叫做h 我们通常半坡面的铅直高度与水平高度l比 表示， 用字母i），坡度形式，如 l : m i=h / l, 的一般形式写成 i=1:5. 如果把坡面即水平面 与的夹角记作 i=h/l=tan a. 叫做坡角），那么 a(锐角三角函数 公式 sin =的对边/ 的斜边 正弦： 的斜边 余弦：cos =的邻边/正切 的邻边：tan =的对边/ 余切 的对边：cot = 的邻边/二倍角公式 正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) 2.Cos2

3、a=1-2Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a) 即 正切 （1-tan2(A)）tan2A=（2tanA）/ 三倍角公式 )sin3=4sinsin(/3+)sin(/3- )cos3=4coscos(/3+)cos(/3- -a) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =

4、cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260-sin2a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4)

5、=4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cos2a-cos230) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 -a)tan(60+a) tan3a=tanatan(60tan2() -出公式如下: sin2=2sin

6、cos tan2=2tan/(1现 列字() -1=1-2sin2可别轻视这些cos2=cos2()-sin2()=2cos2() 符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式 ) sin3=3sin-4sin3()=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-1+3*tan()2)=tan tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-a) a tan(/3+a) tan(/3半角公式 cos2(/2)=(1+cos)/2 sin2(/2)=(1-cos)/2 cos)/(1+cos)

7、-tan2(/2)=(1 cos)/sintan(/2)=sin/(1+cos)=(1-万能公式 sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) 其他 sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*2/3)+sin2(+2/3)=3/2 -及(n-1)/n=0 以 sin2()+sin2(tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(

8、A+B)=0 倍角公式 四cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 倍角公式五 cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 倍角公式六 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*co

9、sA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式 sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA

10、2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式 sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+

11、tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8) 十倍角公式 sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10

12、) N倍角公式根据棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 为方便 = sin(n) n为正整数的情形： cos(n)+ i 描述，令sin=s，cos=c 考虑s)4 C(n,4)*c(n-4)*(i C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + (c+ i s)n = + s)3 +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i + . ：部 实部较两边的实部与虚=C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 比-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 cos(n)=C

13、(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i 虚部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n+ . i*(自然数 1. cos(n)：s)5 + . 对所有的，n+ s)3 C(n,5)*c(n-5)*(i 因此全部都可以改成以平方关系)，公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2(都公式中出现的c (1)当n是奇数时： cos)表示。c(也就是 2. sin(n)：sin)也就是s(c2=1-s2(平方关系)，因此全部都可以改成以是偶次方，而平方关c2=1-s2(公式中出现的c都是奇次方，而 表示。 (2)当n是偶数时： 也就是 cos

14、)的一次方无法消掉。，因此即使再怎么换成系)s，都至少会剩c(c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2) . c3=c*c2=c*(1-s2)，(例半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 )/2-sin = 2 cos(+)/2 si

15、n(-sin cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 )/22 sin(+)/2 sin(-cos -cos = -tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式 -tantan) tan(+)=(tan+tan)/(1 -tan)/(1+tantan) tan(-)=(tan sinsincos(+)=coscos - )=coscos+sinsin cos(- sin(+)=sincos+cossin sin(

16、-)=sincos -cossin积化和差 sinsin = -cos(+)-cos(-) /2 coscos = cos(+)+cos(- )/2 sincos = sin(+)+sin( -)/2 )/2sin( -cossin = sin(+) -双曲函数 sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 三角函数任意角 ，终边相同的角的同一的值相等： 设为 sin（2k+）= sin cos（2k+）= cos tan （2k+）= tan cot（2k+）= cot 公式二： 三角函数三角函数值任意角的

17、与，+的设 为值 之间的关系： sin sin（+）= - = -cos （+）cos tan （+）= tan cot（+）= cot 公式三：任意角三角函数值之间的关系：的 与 - sin（-）= -sin cos（-）= cos tan= -）-（tan （-）= -cot cot 公式四：三角函数 与的值之间的关系： 利用公式二和公式三可以得到- -）= sin sin（ cos= -cos（- ） tantan（-） = - cotcot（ - ）= - 公式五： 三角函数 与的值之间的关系： 利用公式-和公式三可以得到2- ） = -sinsin（2- （2-）= coscos =

18、 - tantan（2-） = -cotcot（2-） 公式六： 的三角函数值之间的关系： /2及3/2与 sin （/2+）= cos = -sincos （/2+） cottan（/2+） = - tancot（/2+）= - s（/2- ）= co sin ）= sincos （/2- ）= cottan （/2- ）= tancot（/2 - （3/2+）= - cossin cos（3/2+）= sin （3/2+）= - cot tan （3/2+） = -tan cot = -cos sin（3/2-） = -sin cos（3/2- ） ）= cottan（3/2 - ）= t

19、ancot（3/2 - kZ) ( 以上 Asin(t+)+ Bsin(t+) = + sin t (A2 +B2 +2ABcos( -) arcsin ) (Asin+Bsin) / A2 +B2; +2ABcos(- ,包括中的内容 表示根号诱导公式（六公式） 三角函数的 公式一 sin(-) = -sin cos(-) = cos tan-)=tan (- -) = cos公式二 sin(/2 - ) = sin cos(/2 sin(/2+) = cos公式三 - sincos(/2+) = - ) = sin公式四 sin( cos cos(-) = - sin公式五sin(+) =

20、 - cos cos(+) = -tanA= sinA/cosA 公式六 cottan（/2+）= （/2）=cot tan tantan（）= （+）=tan tan诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式 sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)2 -(tan(/2)2/1+(tan(/2)2 cos=1 -(tan(/2)2 tan=2tan(/2)/1 其它公式平方和公式） (1) (sin)2+(cos)2=1（ (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式，只需将一式 ,左右同除(sin)2，第二个除(cos)2即可 (4

21、) 对于任意非直角三角形，总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证： A+B= -C tan(A+B)=tan( -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=n(nZ)时，该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/

22、2)cot(C/2) (7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)（ sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2 幂级数 展开式 sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+。 (-x) +(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-arcsin x =

23、x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1) 无限公式 x2/92) x2/42)(1 -sinx=x(1-x2/2)(1- 4x2/252)4x2/92)(1 -cosx=(1-4x2/2)(1- -4x2)+ tanx=8x1/(2- 4x2)+1/(92-4x2)+1/(252 -4x2)- +secx=41/(2-4x2)- 1/(92-4x2)+1/(252 (sinx)x=

24、cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/ (x1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 -自变量数列求和 有关的公式 和 sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2) tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx) -1)x=(sinnx)2/sinx sinx+

25、sin3x+sin5x+sin(2n -1)x=sin(2nx)/(2sinx) cosx+cos3x+cos5x+cos(2n 编辑本段 内容规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就 会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本 质也是学好三角函数的关键所在。 1三角函数本质： 1 根据右图，有 sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y。 三角公式都可以从这里出发推导出深刻理解了这一点，下面所有的 来，比如以推导 为例： sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 推导：单位圆单位圆AOD点。角

26、B，A上有任意，在D，C轴于X交首先画 。与OD重合，形成新AOD，旋转为，BOD为AOB使OB )A(cos,sin),B(cos，sin),A(cos(-),sin(- OA=OA=OB=OD=1,D(1,0) -cos)2+(sin-sin)2cos(-)-12+sin(-)2=(cos积化和差和差化积(a+b)/2用还原法结合上面公式可推出及（换 ）与(a-b)/2单位圆 定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在

27、 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)