高一数学函数测试题2.docx

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高一数学函数测试题2

2．2函数·例题解析

【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？

为什么？

（1）x2＋y＝1

（2）x＋y2＝1

解

（1）由x2＋y＝1得y＝1－x2，它能确定y是x的函数．

于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的．

【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？

解

（1）中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数．

（2）、（3）中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．

（4）中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．

【例3】求下列函数的定义域：

【例4】已知函数f（x）的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：

求实数a的取值范围．

为所求a的取值范围．

【例6】求下列函数的值域：

（1）y＝－5x2＋1

（3）y＝x2－5x＋6，x∈[－1，1）

（4）y＝x2－5x＋6，x∈[－1，3]

（9）y＝|x－2|－|x＋1|

解

（1）∵x∈R，∴－5x2＋1≤1，值域y≤1．

（6）定义域为R

（7）解：

定义域x≠1且x≠2

（y－4）x2－3（y－4）x＋（2y－5）＝0①

当y－4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0，

即9（y－4）2－4（y－4）（2y－5）≥0

化简得y2－20y＋64≥0，得

y＜4或y≥16

当y＝4时，①式不成立．

故值域为y＜4或y≥16．

函数y在t≥0时为增函数（见图2．2－3）．

（9）解：

去掉绝对值符号

其图像如图2．2－4所示．

由图2．2－4可得值域y∈[－3，3]．

说明求函数值域的方法：

1°观察法：

常利用非负数：

平方数、算术根、绝对值等．（如例1，2）

2°求二次函数在指定区间的值域（最值）问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），在给定区间[m，n]的值域（或最值），分三种情况考虑：

（如例5）可做公式用．

法求y的范围（如例6－7）．

为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围（如例6－8）．

6°分离有界变量法：

从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域（如例6－6）．

7°图像法（如例6－9）：

由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．

解

（2）∵f（－7）＝10，∴f[f（－7）]＝f（10）＝100．

说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f（x）的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．

【例8】根据已知条件，求函数表达式．

（1）已知f（x）＝3x2－1，求①f（x－1），②f（x2）．

（2）已知f（x）＝3x2＋1，g（x）＝2x－1，求f[g（x）]．

求f（x）．

（4）已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，求f（x）．

（5）设周长为a（a＞0）的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．

（1）分析：

本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．

解∵f（x）＝3x2－1

∴f（x－1）＝3（x－1）2－1＝3x2－6x＋2

f（x2）＝3（x2）2－1＝3x4－1

（2）分析：

函数f[g（x）]表示将函数f（x）中的x用g（x）来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．

解由已知得f[g（x）]＝3（2x－1）2＋1＝12x2－12x＋4

法（或观察法）．

∴x＝（t＋1）2代入原式有f（t）＝（t＋1）2－6（t＋1）－7

＝t2－4t－12（t≥－1）

即f（x）＝x2－4x－12（x≥－1）

说明解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．

（4）分析：

本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．

解设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）

由f（0）＝2，得c＝2．由f（x＋1）－f（x）＝x－1，得恒等式2ax＋

说明待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．

（5）解：

∵2x＋y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．

∵三角形任意两边之和大于第三边，

∴得2x＋2x＞a，又∵y＞0，

说明求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．