全国考研数学二真题答案解析.docx
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全国考研数学二真题答案解析
1..【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】
方法一：
y
（1
sinx）x=exln（1
sinx），于是
y
exln（1
sinx）[ln（1sinx）
x
cosx
]
1
sinx，
从而
dy
x=y（
）dx
dx.
方法二：
两边取对数，lny
xln（1sinx），对x求导，得
1y
ln1（
sinx）
xcosx
y
1sinx，
y
（1
sinx）x
[ln（1
sinx）x
cosx
]
于是
1
sinx，故
dy
x
=y（）dx
dx.
【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.
2..【分析】
本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
.
3
f（x）
lim
（1
x）2
1,
lim
x
x
【详解】
因为a=x
x
x
3
3
b
lim
f（x）
ax
（1
x）2
x2
3
lim
x
2，
x
x
y
x
3.
于是所求斜渐近线方程为
2
【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
这里应
注意两点：
1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；
2）若当x
时，极限
alim
f（x）
x
x
或x
x
不存在，则应进一步讨论
的情形，即在右或左侧是否存
在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑x3..【分析】作三角代换求积分即可.
的情形.
【详解】
令x
sint，则
1
xdx
2
sintcost
dt
0（2x2）
1
x20（2
sin2
t）cost
2
1
dcost
arctan（cost）2
0
cos2t
0
=
.
4
【评注】本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等
.
4...
【分析】直接套用一阶线性微分方程
y
P（x）y
Q（x）的通解公式：
P（x）dx
P（x）dx
C]，
y
e
[
Q（x）e
dx
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为
2
lnx
yy
x
，
y
e
2dx
2dx
C]
1
[x2lnxdx
C]
x
[lnxex
dx
于是通解为
x2
1xlnx
1x
C
1
=3
9
x2
，
y
（1）
1
y
1xlnx
1x.
由
9得C=0，故所求解为
3
9
【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型
.另外，本题也可如
下求解：
原方程可化为
x2y
2xyx2lnx，即
[x2y]
x2lnx，两边积分得
x2y
x2lnxdx
1x3lnx
1x3
C
3
9
，
y
1xlnx
1x.
再代入初始条件即可得所求解为
3
9
lim
（x）
1
（x）
x0
，由此确定k即可.
5【分析】题设相当于已知
lim
（x）
lim
1
xarcsinxcosx
（x）
kx
2
【详解】
x
0
x0
由题设，
lim
xarcsinx
1
cosx
kx2
（1xarcsinx
cosx）
x0
=
1
lim
xarcsinx1cosx
3
1
k
3.
=2k
x0
x2
4k
，得
4
【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计
算.
6【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即
可.
【详解】由题设，有
B
（1
2
3,
1
22
43,13293）
1
1
1
（1,
2,
3）1
2
3
=
1
4
9
，
1
1
1
B
A
1
2
3
1
2
2.
于是有
1
4
9
【评注】本题相当于矩阵
B的列向量组可由矩阵
A的列向量组线性表示，
关键是将其转化
为用矩阵乘积形式表示。
一般地，若
1a111
a122
a1nn，
2a211
a222
a2nn，
mam11
am22
amnn，
a11
a21
am1
1
2
m
1,2,,n
a12
a22
am2.
则有
a1n
a2n
amn
7.【分析】先求出f（x）的表达式，再讨论其可导情形.
f（x）
limn1
x
3n
当x
1
1
【详解】
时，
n
；
x
1
f（x）
limn1
1
1
时，
n
；
当
3
1
1
3
f（x）
1）n
limx（
3n
x.
当x
1时，
n
x
x3,
x
1,
f（x）1,
1
x1,
x3
x
1.
1时不可导，故应选（C）.
即
可见f（x）仅在x=
【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.
8.
【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案
F（x）
x
C
f（t）dt
F（x）
【详解】方法一：
任一原函数可表示为
0
，且
当F（x）为偶函数时，有F（x）
F（x），于是F（
x）
（1）
F（x），即
.
f（x）.
f（x）f（x），
x
也即f（x）
f（x），可见f（x）为奇函数；反过来，若
f（x）为奇函数，则0
f（t）dt
为偶函
F（x）
x
C
f（t）dt
数，从而
0
为偶函数，可见（A）为正确选项.
1
x
方法二：
令f（x）=1,则取F（x）=x+1,排除（B）、（C）;令f（x）=x,则取F（x）=2
故应选（A）.
2
排除（D）;
【评注】函数f（x）与其原函数F（x）的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考
f（x）与其原函数F（x）的有界性之间有何关系？
9..【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.
【详解】当x=3时，有t22t3，得t1,t3（舍去，此时y无意义），于是
dy
1
t
1
1
dx
t1
2t
2
t1
8，可见过点x=3（此时y=ln2）的法线方程为：
y
ln2
8（x
3），
1
ln23
令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：
8,故应（A）.
【评注】注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.
10【分析】由于未知f（x）的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑
用轮换对称性.
【详解】由轮换对称性，有
af（x）
bf（y）
af（y）
bf（x）
f（x）
d
f（y）
d
D
f（y）
D
f（x）
1
[
af（x）bf（y）
af（y）bf（x）
2
]d
D
f（x）
f（y）
f（y）
f（x）
=
ab
d
ab1
22ab.
=
2
D
2
4
2
应选（D）.
【评注】被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别，当具有轮换对称性（x,y互换，D保持不变）时，往往用如下方法：
f（x,y）dxdy
f（y,x）dxdy
1
[f（x,y）f（y,x）]dxdy.
D
D
2D
2u
2u
2u
11【分析】
先分别求出
x2
、y2
、
xy，再比较答案即可.
u
（xy）
（xy）
（xy）
（xy）
x
【详解】
因为
，
u
（xy）
（xy）
（xy）
（xy）
y
，
2u
（xy）
（xy）
（xy）
（xy）
x2
于是
，
2u
（xy）
（xy）
（x
y）
（xy）
x
y
，
2u
（x
y）
（x
y）
（x
y）
（xy）
y2
，
2u
2u
可见有x2
y2
，应选（B）.
【评注】本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。
作为做题
2u
2u
技巧，也可取（t）t2,
（t）
1，则u（x,y）
2x2
2y2
2y，容易验算只有x2
y2
成立，同样可找到正确选项
（B）.
12.
【分析】
显然x=0,x=1
为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】
由于函数f（x）在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
limf（x）
且x0，所以x=0为第二类间断点；
limf（x）
0limf（x）
1
x1
，x1
，所以x=1为第一类间断点，故应选（D）.
x
x
x
lim
lim
lim
ex1
x1
.
【评注】应特别注意：
x1
，x1
x1
从而x1
，
x
limex1
0.
x1
13.【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可
.
【详解】方法一：
令
k11
k2A（1
2）
0，则
k11k211
k222
0，
（k1
k21）1k2220.
由于1,2线性无关，于是有
k1
k21
0,
k2
2
0.
当
20时，显然有k1
0,k2
0，此时
1，A（1
2）线性无关；反过来，若1，
A（1
2）线性无关，则必然有
2
0（,否则，
1与A（1
2）=11线性相关），故应
选（B）.
[1,A（12）][1,1122][1,2]
1
方法二：
0
由于
1
2，
1
1
0.
可见1，A（1
2）线性无关的充要条件是
0
2
2
故应选（B）.
【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念
.
14【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵
的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.
【详解】由题设，存在初等矩阵
E12（交换n阶单位矩阵的第
1行与第
2行所得），使得
E12A
B，于是
B
*
（E12A）
**
*
*
1
*
AE
12
AE12
E12
AE12，即
A*E12
B*
可见应选（C）.
【评注】注意伴随矩阵的运算性质：
AA*
A*A
AE，当A可逆时，A*
AA1,
（AB）*
B*A*
.
15【分析】此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变
形.
x
xt
u
0
du）
x
f（u）du
f（xt）dt
f（u）（
【详解】由于0
x
0
于是
x
（x
t）f（t）dt
x
f（t）dt
x
x
tf（t）dt
lim0
x
lim
0
x
0
x0x
0
f（xt）dt
x0
x
f（u）du
0
x
xf（x）
xf（x）
x
f（t）dt
f（t）dt
lim
0
x
lim
x
0
x
0
f（u）du
xf（x）
x0
f（u）duxf（x）
0
=
0
=
x
f（t）dt
0
x
lim
x
x
0
f（u）du
f（0）
1
0
f（x）
.
=
x
f（0）
f（0）
2
=
【评注】本题容易出现的错误是：
在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则
x
f（t）dt
lim
0
f（x）
1
x
lim
x0
f（u）du
xf（x）
f（x）
f（x）xf（x）
.
0
x0
2
=
错误的原因：
f（x）未必可导.
16.
【分析】利用定积分的几何意义可确定面积
S1（x）,S2（y），再根据S1（x）S2（y）
建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系
.
【详解】
如图，有
S1（x）
x
1（1
et）]dt
1（ex
[et
x
1）
0
2
2
，
y
S2（y）
（lnt
（t））dt
1
，
1
（ex
x
1）
y
（t））dt
（lnt
由题设，得
2
1
，
1（y
ln
y
y
（lnt
（t））dt
而ye
x
1）
，于是2
1
1
1
y
（y）
（1
）ln
两边对y求导得
2
y
，
x
（y）lny
y1
.
2y
故所求的函数关系为：
【评注】本题应注意点
M（x,y）在曲线C2
上，因此满足yex.
17【分析】题设图形相当于已知
f（x）在x=0的函数值与导数值，在
x=3处的函数值及
一阶、二阶导数值.
【详解】由题设图形知，f（0）=0,f
（0）
2;f（3）=2,
f（3）
2,f
（3）
0.
由分部积分，知
3
3
（x2
x）df
（x）
（x2
x）f
3
3
（x）（2x1）dx
（x2
x）f（x）dx
（x）
f
0
0
0
0
3
3
3
（2x
1
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