数学建模典型例题.docx
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数学建模典型例题
一、人体重变化
某人的食量是10467焦/天，最根本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。
每天的体育运动消耗热量大约是69焦/〔千克•天〕乘以他的体重〔千克〕。
假设以脂肪形式贮存的热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。
试研究此人体重随时间变化的规律。
一、问题分析
人体重W〔t〕随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。
二、模型假设
1、以脂肪形式贮存的热量100%有效
2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存
3、假设体重的变化是一个连续函数
4、初始体重为W0
三、模型建立
假设在△t时间内：
体重的变化量为W〔t+△t〕-W（t）；
身体一天内的热量的剩余为〔10467-5038-69*W〔t〕〕
将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；
转换成微分方程为：
d[W（t+△t）-W（t）]=（10467-5038-69*W（t））dt；
四、模型求解
d（5429-69W）/（5429-69W）=-69dt/41686
W（0）=W0
解得：
5429-69W=〔5429-69W0〕e（-69t/41686）
即：
W〔t〕=5429/69-〔5429-69W0〕/5429e（-69t/41686）
当t趋于无穷时，w=81;
二、投资策略模型
一、问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保存汽车时间的最正确方案。
5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。
在筹划下一个5年方案时，这家公司评估在年i的开场买进汽车并在年j的开场卖出汽车，将有净本钱aij〔购入价减去折旧加上运营和维修本钱〕。
以千元计数aij的由下面的表给出：
aij
年2
年3
年4
年5
年6
年1
4
6
9
12
20
年2
5
7
11
16
年3
6
8
13
年4
8
11
年5
10
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最廉价的策略。
二、问题分析
本问题是寻找本钱最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。
因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低本钱的投资策略。
三、条件假设
除购入价折旧以及运营和维护本钱外无其他费用；
四、模型建立
二
5
117三6
4
16
6138四
一9
12811
20
五
10
六
运用Dijikstra算法
123456
04691220
691220
91220
1220
20
可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现
即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。
三、飞机与防空炮的最优策略
一、问题重述：
红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫那么红方胜。
其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。
那么双方各采取什么策略？
二、问题分析
该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。
1、对策参与者为两方〔红蓝两方〕
2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。
蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮〔记为1-1-1-1〕、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个〔记为2-1-1-0〕、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有〔记为2-2-0-0〕。
显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。
三、问题假设：
（1）红蓝双方均不知道对方的策略。
（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。
（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。
（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。
四、模型建立
行动及其产生的结果
红方
蓝方
2架一起
两架分开
1-1-1-1
2-1-1
2-2-0-0
由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B
A=10
0.750.50
0.500.83
B=00.25
没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题
设蓝方采取行动i的概率为xi（i=1，2，3），红方采取行动j的概率为yj（j=1,2），那么蓝方与红方策略集分别为：
S1=｛x=〔x1，x2，x3〕0S2=｛y=〔y1，y2〕0五、模型求解
以下线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x*
Maxv1
0*x1+0.25*x2+0.5*x3>v1
x1+0.5*x2+0.17*x3>v1
x1+x2+x3=1
xi<=1
以下线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*
Minv2
y20.25*y1+0.5*y20.5*y1+0.17*y2y1+y2=1
yi<=1
四、雷达计量保障人员分配
开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。
所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。
现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：
区域
部署雷达
计量保障任务划分
计量保障任务数量
区域1〔雷达一营〕
区域2〔雷达二营〕
区域3〔雷达三营〕
A、A、B、C、D、E
C、F、G、H、I
D、F、J、K、L
A、B1、B2、C、D、E、
C、F、G、H1、H2、I
D、F、J、K、L1、L2
6
6
6
说明：
1．保障任务分区域进展保障；
2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；
3．同一区域多部一样雷达等同于一部雷达的保障任务；
4．不同区域的一样雷达看作不同保障任务；
5．每个保障人员只能保障一个任务；
6．每个保障任务只由一个保障人员完成。
雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。
各雷达的重要性如下表所示〔表中下标表示雷达所在保障区域〕：
雷达
A1
B1
C1
D1
E1
C2
F2
G2
H2
I2
D3
F3
J3
K3
L3
重要性
该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：
人员
A
B1
B2
C
D
E
F
G
H1
H2
I
J
K
L1
L2
Mw1
0
0
0
Mw2
0
0
0
Mw3
0
0
0
0
0
Mw4
0
0
0
0
Mw5
0
Mw6
0
0
Mw7
0
0
0
Mw8
0
0
Mw9
Mw10
0
0
0
问题：
如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？
一、问题分析：
该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。
根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用0—1整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。
二、模型假设
1．保障任务分区域进展保障；
2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；
3．同一区域多部一样雷达等同于一部雷达的保障任务；
4．不同区域的一样雷达看作不同保障任务；
5．每个保障人员只能保障一个任务；
6．每个保障任务只由一个保障人员完成。
三、模型建立
根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：
根据题目，设保障任务的重要性向量
，bi表示第i个任务的重要性。
列出保障任务重要性向量：
我们用二者的乘积表示效益矩阵：
。
我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务，如果是，其值为1，否那么为0。
利用这一个矩阵和0-1规划，我们就可以列出方程：
m<=n
model:
sets:
M/1..10/;
N/1..18/:
a;
allowed（M,N）:
b,r,x;
endsets
data:
a=0.80.90.90.80.70.70.70.80.70.90.90.60.70.90.80.60.70.7;
0.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700;
enddata
max=@sum（allowed（i,j）:
x（i,j）*r（i,j））;
@for（M（i）:
@for（N（j）:
r（i,j）=a（j）*b（i,j）））;
@for（M（i）:
@sum（N（j）:
x（i,j））=1）;
@for（N（j）:
@sum（M（i）:
x（i,j））<=1）;
@for（M（i）:
@for（N（j）:
@bin（x（i,j））））;
End
解得最大效益为6.63，
分配方案为：
第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承当A型，5、7号承当B1，B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承当F型2号G型，1、3号承当H1，H2型，4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3，6号F型、10号J型。
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