数学建模典型例题.docx
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数学建模典型例题
一、人体重变化
某人的食量是10467焦/天,最根本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。
每天的体育运动消耗热量大约是69焦/〔千克•天〕乘以他的体重〔千克〕。
假设以脂肪形式贮存的热量100%地有效,而1千克脂肪含热量41868焦。
试研究此人体重随时间变化的规律。
一、问题分析
人体重W〔t〕随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。
二、模型假设
1、以脂肪形式贮存的热量100%有效
2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存
3、假设体重的变化是一个连续函数
4、初始体重为W0
三、模型建立
假设在△t时间内:
体重的变化量为W〔t+△t〕-W(t);
身体一天内的热量的剩余为〔10467-5038-69*W〔t〕〕
将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量;
转换成微分方程为:
d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt;
四、模型求解
d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686
W(0)=W0
解得:
5429-69W=〔5429-69W0〕e(-69t/41686)
即:
W〔t〕=5429/69-〔5429-69W0〕/5429e(-69t/41686)
当t趋于无穷时,w=81;
二、投资策略模型
一、问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保存汽车时间的最正确方案。
5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。
在筹划下一个5年方案时,这家公司评估在年i的开场买进汽车并在年j的开场卖出汽车,将有净本钱aij〔购入价减去折旧加上运营和维修本钱〕。
以千元计数aij的由下面的表给出:
aij
年2
年3
年4
年5
年6
年1
4
6
9
12
20
年2
5
7
11
16
年3
6
8
13
年4
8
11
年5
10
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最廉价的策略。
二、问题分析
本问题是寻找本钱最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题。
因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低本钱的投资策略。
三、条件假设
除购入价折旧以及运营和维护本钱外无其他费用;
四、模型建立
二
5
117三6
4
16
6138四
一9
12811
20
五
10
六
运用Dijikstra算法
123456
04691220
691220
91220
1220
20
可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现
即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出。
三、飞机与防空炮的最优策略
一、问题重述:
红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫那么红方胜。
其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1。
那么双方各采取什么策略?
二、问题分析
该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题。
1、对策参与者为两方〔红蓝两方〕
2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。
蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮〔记为1-1-1-1〕、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个〔记为2-1-1-0〕、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有〔记为2-2-0-0〕。
显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。
三、问题假设:
(1)红蓝双方均不知道对方的策略。
(2)蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取。
(3)红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。
(4)假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策。
四、模型建立
行动及其产生的结果
红方
蓝方
2架一起
两架分开
1-1-1-1
2-1-1
2-2-0-0
由此可得赢得矩阵蓝方为A,红方为B
A=10
0.750.50
0.500.83
B=00.25
没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题
设蓝方采取行动i的概率为xi(i=1,2,3),红方采取行动j的概率为yj(j=1,2),那么蓝方与红方策略集分别为:
S1={x=〔x1,x2,x3〕0S2={y=〔y1,y2〕0五、模型求解
以下线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x*
Maxv1
0*x1+0.25*x2+0.5*x3>v1
x1+0.5*x2+0.17*x3>v1
x1+x2+x3=1
xi<=1
以下线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*
Minv2
y20.25*y1+0.5*y20.5*y1+0.17*y2y1+y2=1
yi<=1
四、雷达计量保障人员分配
开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。
所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。
现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务分区情况如表所示:
区域
部署雷达
计量保障任务划分
计量保障任务数量
区域1〔雷达一营〕
区域2〔雷达二营〕
区域3〔雷达三营〕
A、A、B、C、D、E
C、F、G、H、I
D、F、J、K、L
A、B1、B2、C、D、E、
C、F、G、H1、H2、I
D、F、J、K、L1、L2
6
6
6
说明:
1.保障任务分区域进展保障;
2.B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务;
3.同一区域多部一样雷达等同于一部雷达的保障任务;
4.不同区域的一样雷达看作不同保障任务;
5.每个保障人员只能保障一个任务;
6.每个保障任务只由一个保障人员完成。
雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。
各雷达的重要性如下表所示〔表中下标表示雷达所在保障区域〕:
雷达
A1
B1
C1
D1
E1
C2
F2
G2
H2
I2
D3
F3
J3
K3
L3
重要性
该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示:
人员
A
B1
B2
C
D
E
F
G
H1
H2
I
J
K
L1
L2
Mw1
0
0
0
Mw2
0
0
0
Mw3
0
0
0
0
0
Mw4
0
0
0
0
Mw5
0
Mw6
0
0
Mw7
0
0
0
Mw8
0
0
Mw9
Mw10
0
0
0
问题:
如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益?
一、问题分析:
该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益。
根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵。
二、模型假设
1.保障任务分区域进展保障;
2.B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务;
3.同一区域多部一样雷达等同于一部雷达的保障任务;
4.不同区域的一样雷达看作不同保障任务;
5.每个保障人员只能保障一个任务;
6.每个保障任务只由一个保障人员完成。
三、模型建立
根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵:
根据题目,设保障任务的重要性向量
,bi表示第i个任务的重要性。
列出保障任务重要性向量:
我们用二者的乘积表示效益矩阵:
。
我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务,如果是,其值为1,否那么为0。
利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程:
m<=n
model:
sets:
M/1..10/;
N/1..18/:
a;
allowed(M,N):
b,r,x;
endsets
data:
a=0.80.90.90.80.70.70.70.80.70.90.90.60.70.90.80.60.70.7;
0.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700;
enddata
max=@sum(allowed(i,j):
x(i,j)*r(i,j));
@for(M(i):
@for(N(j):
r(i,j)=a(j)*b(i,j)));
@for(M(i):
@sum(N(j):
x(i,j))=1);
@for(N(j):
@sum(M(i):
x(i,j))<=1);
@for(M(i):
@for(N(j):
@bin(x(i,j))));
End
解得最大效益为6.63,
分配方案为:
第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承当A型,5、7号承当B1,B2型;第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承当F型2号G型,1、3号承当H1,H2型,4号I型;第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型。
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