版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx

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版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

2017版高考数学一轮复习-第一章-集合与常用逻辑用语-1.3-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词和存在量词

量词名词

常见量词

表示符号

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

∀

“×”）

（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　×　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（　√　）

（4）全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．（　×　）

（5）写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．（　√　）

（6）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反．（　√　）

1．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称，则下列判断正确的是________．

①p为真；②綈q为假；

③p∧q为假；④p∨q为真．

答案　③

解析　函数y＝sin2x的最小正周期为

＝π，故命题p为假命题；x＝

不是y＝cosx的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．③正确．

2．已知命题p：

对任意x∈R，总有|x|≥0；q：

x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是__________．（填序号）

①p∧（綈q）;②（綈p）∧q；

③（綈p）∧（綈q）;④p∧q.

答案　①

解析　由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧（綈q）为真命题．

3．（2015·浙江改编）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是______________．

答案　∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0

解析　写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．

4．（2015·山东）若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，∴ymax＝tan

＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.

5．（教材改编）给出下列命题：

①∀x∈N，x3>x2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

③∃x0∈R，x

－x0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

则以上命题的否定中，真命题的序号为________．

答案　①②③

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1　

（1）已知命题p1：

y＝ln[（1－x）·（1＋x）]为偶函数；命题p2：

y＝ln

为奇函数，则下列命题①p1∧p2；②p1∨（綈p2）；③p1∨p2；④p1∧（綈p2）中，是假命题的是________．

（2）已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是________．

答案　

（1）④　

（2）②③

解析　

（1）对于命题p1：

令f（x）＝y＝ln[（1－x）（1＋x）]，由（1－x）（1＋x）>0得－1

对于命题p2：

令g（x）＝y＝ln

，易知g（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，g（－x）＝ln

＝－g（x），∴g（x）为奇函数，命题p2为真命题，故p1∧（綈p2）为假命题．

（2）当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知：

①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题．

思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

（1）已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>0；q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题①p∧q；②（綈p）∧（綈q）；③（綈p）∧q；④p∧（綈q）中，为真命题的是________．

（2）若命题p：

关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－

}，命题q：

关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集是{x|a

答案　

（1）④　

（2）綈p、綈q

解析　

（1）p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题．从而p∧q为假，（綈p）∧（綈q）为假，（綈p）∧q为假，p∧（綈q）为真，④正确．

（2）依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假，“p∨q”为假，“綈p”为真，“綈q”为真．

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、存在性命题的真假

例2　

（1）下列命题中，为真命题的是________．

①∀x∈R，x2≥0;②∀x∈R，－1

③∃x0∈R,

④∃x0∈R，tanx0＝2.

（2）下列四个命题

p1：

∃x0∈（0，＋∞），

p2：

∃x0∈（0,1），log

x0>log

x0；

p3：

∀x∈（0，＋∞），

x>log

x；

p4：

∀x∈

，

x

x.

其中真命题是________．

答案　

（1）①④　

（2）p2，p4

解析　

（1）∀x∈R，x2≥0，故①正确；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故②错；∀x∈R,2x>0，故③错，故④正确．

（2）根据幂函数的性质，对∀x∈（0，＋∞），

x>

x，故命题p1是假命题；由于log

x－log

x＝

－

＝

，故对∀x∈（0,1），log

x>log

x，所以∃x0∈（0,1），log

x0>log

x0，命题p2是真命题；当x∈

时，0<

x<1，log

x>1，故

x>log

x不成立，命题p3是假命题；∀x∈

，0<

x<1，log

x>1，故

x

x，命题p4是真命题．

故p2，p4为真命题．

命题点2　含一个量词的命题的否定

例3　

（1）命题“存在实数x，使x>1”的否定是________________________．

（2）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则綈p为______________．

答案　

（1）对任意实数x，都有x≤1　

（2）∃x∈A,2x∉B

解析　

（1）利用存在性命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．

（2）命题p：

∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题．

∴綈p：

∃x∈A,2x∉B.

思维升华　

（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

（2）对全称命题、存在性命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．

②对原命题的结论进行否定．

（1）写出下列命题的否定，并判断其真假：

①p：

∀x∈R，x2－x＋

≥0；

②q：

所有的正方形都是矩形；

③r：

∃x0∈R，

④s：

至少有一个实数x0，使

解　①綈p：

∃x∈R，x2－x＋

<0，假命题．

②綈q：

至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

③綈r：

∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

④綈s：

∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

（2）（2015·课标全国Ⅰ改编）设命题p：

∃n∈N，n2>2n，则綈p为______________．

答案　∀n∈N，n2≤2n

解析　将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．

题型三　由命题的真假求参数的取值范围

例4　已知p：

∃x∈R，mx2＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为_______________________________________．

答案　m≥2

解析　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2

因此由p，q均为假命题得

，即m≥2.

引申探究

1．本例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值范围为________．

答案　（－2,0）

解析　依题意，当p是真命题时，有m<0；

当q是真命题时，有－2

由

可得－2

2．本例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围为________________．

答案　（－∞，－2]∪[0,2）

解析　若p∧q为假，p∨q为真，则p、q一真一假．

当p真q假时

　∴m≤－2；

当p假q真时

　∴0≤m<2.

∴m的取值范围是（－∞，－2]∪[0,2）．

3．本例中的条件q变为q：

∃x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为________．

答案　[0,2]

解析　依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

∴m>2或m<－2.

由

得0≤m≤2，

∴m的取值范围是[0,2]．

思维升华　根据命题真假求参数的方法步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

（1）已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是______________．

（2）已知命题“∃x0∈R，使2x

＋（a－1）x0＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是______________．

答案　

（1）{a|a≤－2或a＝1}　

（2）（－1,3）

解析　

（1）∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，

∴p：

a≤1，q：

a≤－2或a≥1，

∴a≤－2或a＝1.

（2）依题意可知“∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋

>0”为真命题，所以Δ＝（a－1）2－4×2×

<0，即（a＋1）（a－3）<0，解得－1

1．常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断

典例　已知命题p：

∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：

若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

①“綈p”是假命题；

②q是假命题；

③“p或q”为假命题；

④“p且q”为真命题．

解析　由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，

所以命题q为假命题．

综上可知：

綈p为真命题，

p且q为假命题，p或q为假命题．

答案　②③

温馨提醒　判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断．

二、求参数的取值范围

典例　已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：

“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

答案　[e,4]

温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．

三、利用逻辑推理解决实际问题

典例　

（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：

中国非第一名，也非第二名；

乙：

中国非第一名，而是第三名；

丙：

中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

解析　

（1）由题意可推断：

甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.

（2）由上可知：

甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

答案　

（1）A　

（2）一

温馨提醒　在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．

[方法与技巧]

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

[失误与防范]

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．两种形式命题的否定

p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

1．已知命题p：

所有有理数都是实数；命题q：

正数的对数都是负数，则下列命题①（綈p）∨q；②p∧q；③（綈p）∧（綈q）；④（綈p）∨（綈q）中，为真命题的是________．

答案　④

解析　不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有（綈p）∨（綈q）为真命题．

2．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的____________条件．

答案　充分不必要

解析　由“綈p为真”可得p为假，故p∧q为假；反之不成立．

3．已知命题p：

“x>2是x2>4的充要条件”，命题q：

“若

>

，则a>b”，那么下列关于命题的真假判断正确的是________．

①“p或q”为真；②“p且q”为真；

③p真q假；④p，q均为假．

答案　①

解析　由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此①正确．

4．下列命题中的假命题是________．（填序号）．

①∀x∈R,2x－1>0；

②∀x∈N*，（x－1）2>0；

③∃x0∈R，lgx0<1；

④∃x0∈R，tan

＝5.

答案　②

解析　①中，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；②中，∵x∈N*，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>0矛盾；③中，当x0＝

时，lg

＝－1<1；④中，当x∈R时，tanx∈R，故∃x0∈R，tan

＝5.

5．已知命题p：

若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：

在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N*）．则下面为真命题的是______（填序号）．

①（綈p）∧（綈q）;②（綈p）∨（綈q）；

③p∨（綈q）;④p∧q.

答案　②

解析　当a＝1.1，x＝2时，

ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，

此时，ax

命题q，由等差数列的性质，

当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，

当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．

故綈p是真命题，綈q是假命题，

所以p∧q为假命题，p∨（綈q）为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨（綈q）为真命题．

6．命题p：

∀x∈R，sinx<1；命题q：

∃x∈R，cosx≤－1，则下面为真命题的是________．（填序号）

①p∧q;②（綈p）∧q；

③p∨（綈q）;④（綈p）∧（綈q）．

答案　②

解析　p是假命题，q是真命题，所以②正确．

7．命题p：

∃x0>0，x0＋

＝2，则綈p为__________________．

答案　∀x>0，x＋

≠2

解析　“∃”的否定为“∀”，“＝”的否定为“≠”．

8．已知命题p：

∃m∈R，m＋1≤0，命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是______________．

答案　（－∞，－2]∪（－1，＋∞）

解析　若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，若命题p为真命题，则m≤－1，若q为真命题，则Δ＝m2－4<0，∴－2－1.

9．已知p：

≤2，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是__________．

答案　[9，＋∞）

解析　由

≤2，得－2≤x≤10，

∴綈p：

A＝{x|x>10或x<－2}．

由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），

得1－m≤x≤1＋m（m>0），

∴綈q：

B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．

∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴BA⇔

且等号不能同时取到，

解得m≥9.

10．若命题“∃x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　因为命题“∃x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<0”等价于x

＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝（a－1）2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.

11．已知命题p：

x2＋2x－3>0；命题q：

>1，若“（綈q）∧p”为真，则x的取值范围是________．

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

解析　因为“（綈q）∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<0，得20，解得x>1或x<－3，由

解得x<－3或1

所以x的取值范围是x<－3或1

12．下列结论：

①若命题p：

∃x∈R，tanx＝1；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧（綈q）为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

13．若命题p：

∃x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　a≥2

解析　若命题p：

∃x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则綈p：

∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即（2＋a）x2＋4x＋a－1≥0恒成立，当a＝－2时不成立，舍去，则有

，解得a≥2.

14．四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

答案　0

解析　∵x2－3x＋2>0，Δ＝（－3）2－4×2>0，

∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题．

当且仅当x＝±

时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．

4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

15．下列结论正确的是________．

①若p：

∃x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：

∀x∈R，x2＋x＋1<0；

②若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；

③“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件；

④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题．

答案　④

解析　∵x2＋x＋1<0的否定是x2＋x＋1≥0，∴①错；若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴②错；f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴③错；命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，④对．

16．已知命题p：

“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.

答案　（－∞，1]

解析　若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.

17．设p：

方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：

方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．

答案　（－∞，－2]∪[－1,3）

解析　设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，由

得m<－1，

所以命题p为真时，m<－1.

由方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4（m－2）2－4（－3m＋10）<0，得－2

由p∨q为真，p∧q为假，可知命题p，q一真一假，

当p真q假时，

此时m≤－2；

当p假q真时，

此时－1≤m<3，

所以所求实数m的取值范围是m≤－2或－1≤m<3.

18．有下列命题：

①在函数y＝cos

cos

的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；

②函数y＝

的图象关于点（－1,1）对称；

③已知命题p：

对任意的x∈R，都有sinx≤1，则綈p：

存在x0∈R，使得sinx0>1；

④在△ABC中，若3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则角C等于30°或150°.

其中的真命题是________．

答案　③

解析　对于①，y＝cos

cos

＝

cos2x，相邻两个对称中心的距离为

＝

，①错；对于②，函数y＝

的图象关于点（1