北京物资学院线性代数期末练习汇总.docx

北京物资学院线性代数期末练习汇总.docx

《北京物资学院线性代数期末练习汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京物资学院线性代数期末练习汇总.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北京物资学院线性代数期末练习汇总

第一章行列式

、行列式的计算注意三种类型:

1、数字行列式：

如第7题，有两种方法

（1）化为上三角形行列式；

（2）利用行列式的性质先将某行（或某列）化为只剩一个非零元素，再按该行（或列）展开降阶计算。

2、行（列）和相等的行列式：

如第8题的

（2）（3），先用归边法，再化为上（或）下三角形行列式。

3、箭形行列式：

如第8题的（4）（5），化为上（或）下三角形行列式。

、行列式的性质、克拉默法则要掌握。

参加第1~6题

x

y

z

3x

3y

3z

1、已知3阶行列式

1

2

3

=2，则

a

b

c

a

b

c

1+2a

2+2b

3+2c

a11

2a12

3a13

a11

a12

a13

2、若

2a21

4a22

6a23

=96，则

a21

a22

a23

4a31

8a32

12a33

a31

a32

a33

a12

a11

b1

a11

a12

q

a11

ai2

b_c

3、设

a22

a21

b2

=1，

a21

a22

c2

=2，则

a21

a22

tb-c2

a32

a31

b3

a31

a32

c3

a31

a32

d-Q

4、四阶行列式D的值为91,它的第

1行元素为2,

3,

t+3,-5。

第1行元素的

余子式依次为-1，

0，6，9,则t=（

）

A-5

B5

C-20

D

20

f/■■x1x2x3=0

5、已知线性方程组xiX2X3=0有非零解，则，的值应为（）

x-ix2x3=0

A.-1B.1C.-1D.0

&齐次线性方程组

kx12x2x3=0

2x1kx2

二0有非零解的充分必要条件是

A.k=2或k=3

C.k=3或k--2

B.k=0或k=3

D.k=-3或k=-2

7、计算行列式

244

1-6-2D=

—352

3

1

0

3

1

1

-1

-1

1

x+1

X_1

-1

（1）

D=

1

X—1

1

-1

X+1

-1

1

-1

1+a

2

3

4

1

2+a

3

4

（2）

D=

1

2

3+a

4

1

2

3

4+a

1+2&

a2

a3

IH

an

-2

1

0

IH

0

（4）

D=

-2

0

1

IH

0

+

+

■

+

-2

0

0

IH

1

8、计算以下行列式

、求A的逆矩阵：

方法

要掌握

a—b

a2

a3

IH

an

a1

a?

—b

a3

IH

an

a1

+

a2

a3-b

+

IH

an

+

+

a1

►

a2

+

a3

►

IH

+

an—b

（3）D

1+aia2a?

川an

-110丨1（0

（5）D=—101川0

-100|l（1

第二章矩阵

1,伴随矩阵法；方法2,初等行变换法；两种方法都

、解AX=B型矩阵方程：

在该类型矩阵方程中，一般A都可逆。

方法1:

先求A，，再做乘积X二A4B，从而求得X

方法2:

初等变化法,

（AB）（EA'B），从而求得X.

三、1、矩阵的运算及各种运算性质要掌握。

2、方阵行列式的性质，逆矩阵、伴随矩阵的性质要掌握

3、矩阵的秩的定义及性质要掌握。

、填空题

1、设A=『1I则An=

]00_

2、已知n阶矩阵A满足矩阵方程A2-2A-3E=O，则A_E可逆，且

（A_E）-1=.

100

3、设A=

-220

，A*是A的伴随矩阵，贝U

*

A

375_

4、A,B均为n阶矩阵，则（A-B）2=A2-2AB+B2成立的充要条件是

5、设A为5阶方阵，|A|=5,则|—2A|=，|A2|=

6设A、B均为三阶矩阵，且丨A|=3,|B|=—3,则（3B），A[=

1

7、A,B均为3阶矩阵，|A|=—,|B|=3，则|2BTA-*匸

2

8、A均为4阶矩阵，3|=丄，|3A-*-2A*|=

2

10-1

9、A=2九1，已知r（A）=2，贝U九=

J2门

2、A,B均为n阶矩阵，（AB）2=E，下列命题中不正确的是（）

A.（BA）2=EB.A=BABC.B=ABAD.A=B

3、A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是（）.

A.（AB）丁=A^TB.AB=BA

C.（AB宀A'D.（A+B八A'+B4

4、设A,B均为n阶方阵，且满足AB=O，则必有（

A.A=0或B=0B.A+B=OC.A=0或B=0D.A+B=0

5、A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）.

6mn矩阵A的秩为r的充分必要条件是（）.

A.A中有r阶子式不等于零B.A中有r-1阶子式全为零

C.A中非零子式的最高阶数小于r1D.A中非零子式的最高阶数等于r

PAQ二B，则秩（B）=（

8、下列结论正确的是（

2

A为方阵，且A=O，则A=O;

三、计算题

（1）判断A是否可逆，如果可逆，用伴随矩阵法求A4;

（2）设AX=B，求X.

（可按定义证）

2、

设A为n阶可逆矩阵，且A2=|A|E，证明A的伴随矩阵A=A.

（按伴随矩阵的性质证）

3、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，证明：

若A2二E，且A=E,

则A+E为非可逆矩阵.（可用反证法）

4、35页第10题；44页第10、11题；61页第3题。

第三章向量及方程组

一、掌握方程组有解判别定理，会判断，会求解。

如第8题。

二、会判断一个向量组的线性关系（线性相关或线性无关）。

三、线性相关、线性无关的定义及性质要掌握理解。

X-X2二Q

1、线性方程组屜-X3=a2有解的充分必要条件是.

X3_X1=直

2、设向量组r=佝1,1）「2=（1,a,-1）-，〉3=（1,-1,a）-，贝Ua二时,〉1,〉2,〉3线性相关.

3、设：

1=（2,-1,3,0）,：

2=（120,-2）,宀=（1,-5,3,4）,：

4=（T,3,t,0）线性无关,

贝Ut=

4、向量组：

1=（1,1,0几：

2=（0,2,0）丁，：

3=（0,0,3）丁线性5、若存在一组数k1二k2=|l（=kn=0，使得kr1k2〉2冷1「n=0成立，则向

量组〉1」2」l（「n（）

6向量组线性无关的充分必要条件是（）

A.宀，〉2,|l（Cn都是非零向量

B.〉1,〉2,|l（,〉n中任意两个向量对应分量不成比例

C.宀，〉n中有一部分向量线性无关

D.〉1,〉2」I|,中任一向量均不可由其余向量线性表示

7、下列说法是正确为（）

A.如果一个向量:

j（1虫j玄S）不是其余向量组：

1,II,：

•j」，：

•j1,川，〉s的线性组

合，则该向量组线性无关.

B.如果向量组：

'i/'2^|/'s线性相关，那么其中有零向量.

C.如果k「i•k2〉2ks〉s二0只有零解，则向量组线性无关.

D.如果：

-i/-2^l/s线性无关，那么它可能有一个部分组线性相关.

8、讨论a取何值时，非齐次线性方程组

"%+X2+X3+X4=0

』％+2x2+3x3+3%=1

x2+2x3+2x4=a

3%+2屜+x3+%=—1

（1）无解？

（2）有无穷多解？

并求出它的一般解。

9、设向量组冷=（1,-1,0,3）t,：

2=（2,1,1-1）丁宀=（0,1,2,1）；：

=（-110,3,6）问:

是否可表示成〉1」2」3的线性组合。

10、设口1=（1,1,1）丁，口2=（1,2挈卫3=（1,3,t）T

（1）问t为何值时，向量组訂，—，：

〉线性相关？

（2）问t为何值时，向量组:

^,：

-2/-3线性无关?

四、证明题

1、设向量组:

'1/'2/'3线性无关，证明：

向量组

1八「2〉2,^=^233,r=3〉3*1也线性无关.

答案:

第一章行列式

1、-6

2、2

3、

-3

4、B5、

6、C7、-144

8、计算行列式

（1）见书P14例1.3.1

（2）（10a）a3

（3）印•a?

•||（a^b

（4）12a1

•2a?

•丨1（-2an

（5）

、填空题

1、

aT

2、

6、

7、

48

、选择题

1、A2、

3、B

三、计算题

1、

_1

X=（A-2E）B

第二章

矩阵

A-E

3、

100

4、AB=BA

5、-160,25

4、

8、

25

9、2或-3

10、

5、

6、D

7、

8、B

2、

（1）|A|=-10式0，所以A可逆。

A」

-10

3

1

-5

7

T

-5

1

3

一5」

3

10

丄

10

1

2

7

10

丄

10

1

2

1

10

3

10

1

2

（2）AX二B，A可逆，所以X

二A’B。

X1

10

-35

5

35

-5

5

35』

3、r（A）=3。

第三章向量及方程组

1、a1a2*3=02、一1或23、t卞-94、无关

5、C6、D7、C

8、

（1）当a-1^0时，即a"时，r（A）=r（A），原方程组无解。

（2）当a-1=0,即a=1时，r（A）=r（A）=2，原方程组有解，且有无穷多组解,

Xi——1+K+k?

，x?

=1—2&—2k?

，

X3=ki，

X4=k2•

9、解方法一令？

^xv1-X2：

2'x^3

2x2=-1

-为+X2+X3=0

x22x3=3

3为-x2x3=6

该方程组有唯一解治=1,x2--1,x3=2，故[可由：

二:

七，^唯一线性表示为

方法二因为

10、解方法一：

利用定义判别

设有数k1,k2,k3使得k]-：

»■k^：

^2k3-S二0

即有方程组

k1k2k0

k12k3<0

k13k2tk3=0

11

此方程组的系数行列式123=t—5

13t

（1）当t-5=0时，即t=5时，方程组有非零解，所以宀

（2）当t-5=0时，即t=5时，方程组仅有零解，&=k2二线性无关。

方法二：

利用矩阵的秩判别

11

2

一5

11111111

A=（8,0（223）=123t012t01

13t一卫2t-1一.00t

可见

（1）当t=5时，〉1,〉2,〉3线性相关；

（2）当t=5时，〉1门2「3线性无关。