全国各地中考数学压轴题 精品.docx
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全国各地中考数学压轴题精品
2018年全国各地中考数学压轴题专集
1．（北京市）在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）．
（1）在图1中画图探究：
①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1，判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2，判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
（2）若AD＝6，tanB＝
，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
图1
图2（备用）
2．（北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－6，0），B（6，0），
C（0，
），延长AC到点D，使CD＝
AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
D
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线
将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为
轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与
轴的交点出发，先沿
轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：
简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试写出y关于x的函数解析式，并确定
的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′′，且使B′′D∥OB，求此时点C的坐标．
4．（天津市）已知函数y1＝x，y2＝x2＋bx＋c，α，β为方程y1－y2＝0的两个根，点M（1，T）在函数y2的图象上．
（Ⅰ）若α＝
，β＝
，求函数y2的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为
时，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
2
5．（上海市）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥
轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（
为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在
轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在
（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．
6．（上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
＝
（如图1所示）．
（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，联结AP．当AD＝
，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，
＝y，其中
表示△APQ的面积，
表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．
P
y
7．（重庆市）已知：
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在
轴的正半轴上，OC在
轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与
轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与
（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为
，那么EF＝2GO是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于
（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
x
8．（重庆市江津区）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设
（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在
（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？
，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
x
9．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y＝a（x－1）2＋
（a≠0）经过点A（－2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于
轴的直线交射线OM于点C，B在
轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：
当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？
直角梯形？
等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？
并求出最小值及此时PQ的长．
y＝x2－2x－1
10．（江苏省）如图，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A，二次函数y＝ax2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2＋bx的关系式．
11．（江苏省）如图，已知射线DE与x轴和
轴分别交于
O
点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、
t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；
②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．
y＝x
12．（浙江省杭州市）已知平行于x轴的直线y＝a（a≠0）与函数y＝x和函数y＝
的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB＝
，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段AB＝
，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y＝
x2的图象，求点P到直线AB的距离．
E
13．（浙江省台州市）如图，已知直线y＝－
x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒
个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
14．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A（
，0），B（
，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．
O
（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y＝－x2＋mx经过动点E，当S＜2
时，
求m的取值范围（写出答案即可）．
15．（浙江省湖州市）已知：
抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝
x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）填空：
试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（，），N（，）；
（2）如图，将△NAC沿
轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与
轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．
D
备用图
D
16．（浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点A（－4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．
D
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y＝ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（－2，0）和点D（－4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？
若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
α
17．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OABC的形状是_______________，
当α＝90°时，
的值是____________；
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求
的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝
BQ？
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图3
图2
C
18．（浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t＝4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？
若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（浙江省绍兴市）定义一种变换：
平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：
y＝x2，经过变换后，得到F2：
y＝x2＋bx，点C的坐标为（2，0），则
①b的值等于__________；
②四边形ABCD为（）；
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
（2）如图2，若F1：
y＝ax2＋c，经过变换后，点B的坐标为（2，c－1），求△ABD的面积；
O（A）
（3）如图3，若F1：
y＝
x2－
x＋
，经过变换后，AC＝
，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
20．（浙江省嘉兴市）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．
M
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：
△ABC的最大面积？
21．（浙江省义乌市）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如：
如图，正方形ABCD是一次函数y＝x＋1图像的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y＝x＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y＝
（k＞0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若某函数是二次函数y＝ax2＋c（
≠0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？
__________．（本小题只需直接写出答案）
22．（浙江省丽水市）如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：
过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
D
（2）求证：
BC是过A，D，C三点的圆的切线；
（3）若过A，D，C三点的圆的半径为
，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
23．（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：
菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．
24．（浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：
抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，1），且对于任意的实数x，有4x－4≤ax2＋bx＋c≤2x2－4x＋4恒成立．
（1）求4a＋2b＋c的值．
（2）求y＝ax2＋bx＋c的解析式．
（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值．
25．（浙江省奉化市保送生考试）如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm．
B
（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围．
（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．
（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？
若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．
Q
26．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？
请直接写出相应的t值．
60
27．（安徽省）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图
（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
图
（1）
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量n（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
-1
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图
（2）所示．该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
28．（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（－1，0），B（0，
），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）如图，一抛物线经过点A、B、B′，求该抛物线解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的
面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值．
29．（安徽省蚌埠二中高一自主招生考试）已知关于x的方程（m2－1）x2－3（3m－1）x＋18＝0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c＝
，m2＋a2m－8a＝0，m2＋b2m－8b＝0．
求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面积．
P
30．（吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：
点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．
（7，40）
y
31．（吉林省长春市）如图，直线y＝－
x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y＝
x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿
轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式；
（3）求
（2）中S的最大值；
（4）当t＞0时，直接写出点（4，
）在正方形PQMN内部时t的取值范围．
32．（山西省）如图，已知直线l1：
y＝
x＋
与直线l2：
y＝－2x＋16相交于点C，l1、l2分别交
轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在
轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
C
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原地出发，沿
轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（4）S是否存在最大值？
若存在，请直接写出最大值及相应的t值，若不存在，请说明理由．
33．（山西省太原市）
图
（1）
问题解决
如图
（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与
点C，D重合），压平后得到折痕MN．当
＝
时，求
的值．
方法指导：
类比归纳
在图
（1）中，若
＝
，则
的值等于___________；若
＝
，则
的值等于___________；若
＝
（n为整数），则
的值等于___________．（用含
的式子表示）
N
联系拓广
如图
（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设
＝
（m＞1），
＝
，则
的值等于_______________．（用含m，n的式子表示）
B
34．（江西省、江西省南昌市）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
35．（江西省、江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？
若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？
若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
M
N
图1
图5（备用）
图4（备用）
A
36．（青海省）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线
＝－
x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2－
x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设
（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．
37．（青海省西宁市）已知OABC是一张矩形纸片，AB＝6．
（1）如图1，在AB上取一点M，使得△CBM与△CB′′M关于CM所在直线对称，点B′′恰好在边OA上，且△OB′C的面积为24cm2，求BC的长；
（2）如图2．以O为原点，OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．求对称轴CM所在直线的函数关系式；
B′′
B′′
（3）作B′G∥AB交CM于点G，若抛物线y＝
x2＋m过点G，求这条抛物线所对应的函数关系式．
y（千米）
38．（新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程
（单位：
千米）与所用时间
（单位：
小时）的函数图象。
已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐市早1小时。
（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程
（千米）与所
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