在数轴上表示，如图所示．
由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.
题型一 与长度、角度有关的几何概型
例1在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C.
（1）在斜边AB上任取一点M，求|AM|<|AC|的概率；
（2）在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．
解
（1）如图所示，在AB上取一点C′，使|AC′|＝|AC|，连接CC′.
由题意，知|AB|＝|AC|.
由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.
所以P（|AM|<|AC|）＝＝＝.
（2）由于在∠ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在∠ACB内的任一位置（如图所示），因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P（|AM|<|AC|）＝＝＝.
思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法
求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域（长度或角度）．
跟踪训练1
（1）某公司的班车在7：
00，8：
00,8：
30发车，小明在7：
50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 如图所示，画出时间轴．
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，
得所求概率P＝＝，故选B.
（2）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧
，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
答案
解析 因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
题型二 与面积有关的几何概型
命题点1 与面积有关的几何概型的计算
例2
（1）（2017·全国Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
（2）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，由不等式组确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为______．
答案
解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，
易知C，故由几何概型的概率公式，得所求概率
P＝
＝＝＝.
命题点2 随机模拟
例3
（1）如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为（ ）
A．7.68B．8.68
C．16.32D．17.32
答案 C
解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32.
（2）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．
答案 0.4
解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 95977424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.
思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
跟踪训练2
（1）（2016·全国Ⅱ）从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题意得（xi，yi）（i＝1,2，…，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，
∴π＝，故选C.
（2）在满足不等式组的平面内随机取一点M（x0，y0），设事件A＝“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 作出不等式组
表示的平面区域，
即△ABC（包括边界），其面积为4，且事件A＝“y0<2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是.
题型三 与体积有关的几何概型
例4如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于的概率为________．
答案
解析 过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VM—ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝.
思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
跟踪训练3在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）
A.B.πC.D.
答案 D
解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，
则此点落在正方体内部的概率P＝＝.
1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 在[0，π]上，当x∈∪时，sinx≤，故概率为＝.
2．在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 区间[－1,3]的区间长度为4.
不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，
当1当03．（2018·益阳市、湘潭市调考）若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN（不包括M，N）上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，所以AE的长度大于5的概率为＝，故选D.
4．（2018·广东七校联考）在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率是（ ）
A．2－B．4－
C．－－D.
答案 B
解析 设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率为＝4－，故选B.
5．（2018·石家庄模拟）已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，
则＋＝，因为＋＋2＝0，
所以＋＝－2，得＝－2，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的，
所以S△PBC＝S△ABC，
所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝，故选D.
6．（2018·河北衡水联考）2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A.mm2B.mm2
C.mm2D.mm2
答案 A
解析 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝×π×112＝（mm2）．
7．（2016·山东）在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
答案
解析 由已知得，圆心（5,0）到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－8．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________．
答案
解析 因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC＝a，则所求概率P＝＝.
9.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．
答案
解析 因为
＝
＝AA1×S△ABD
＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，
故所求概率为
＝.
10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
答案
解析 ∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.
如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q（m，n），点Q落在阴影部分（不包括m＝n这条直线）的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，
∴所求的概率为.
11．已知向量a＝（－2,1），b＝（x，y）．
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
（2）若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解
（1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为（1,1），（2,3），（3,5），共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
（2）若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{（x，y）|1≤x≤6,1≤y≤6}．
满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{（x，y）|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
12．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{（x，y）|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P（A）＝
＝
＝＝.
13．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．
答案
解析 设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1，且0≤y≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A，则A＝，如图中阴影部分所示，
空白部分所占的面积为2×××＝，所以所求两点之间的距离小于的概率P（A）＝＝.
14.如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．
答案
解析 如图，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于点E，当△PBC的面积等于时，BC·PF＝BC·EF，所以PF＝EF.过点P作GH平行于BC交AB于点G，交CD于点H，则满足条件“△PBC的面积小于”的点P落在矩形GBCH边界（不包括BC，GH）及其内部．
设“△PBC的面积小于”为事件A，则构成事件A的区域的面积为，而试验的全部结果所构成的区域面积为S，所以由几何概型的概率计算公式得P（A）＝＝.
所以△PBC的面积小于的概率是.
15．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．p1C．p3答案 B
解析 因为x，y∈[0,1]，所以事件“x＋y≥”表示的平面区域如图
（1）阴影部分（含边界）S1，事件“|x－y|≤”表示的平面区域如图
（2）阴影部分（含边界）S2，事件“xy≤”表示的平面区域如图（3）阴影部分（含边界）S3，由图知，阴影部分的面积满足S216.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．
解 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整个图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以P＝.
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