潮汐现象的力学分析.docx
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潮汐现象的力学分析
潮汐现象的力学分析
地球上的海洋周期性的涨落称为海洋潮汐。
我国自古有“昼涨称潮，夜涨称汐”的说法[1]。
在公元前
2世纪已记载月望（满月）之日可以看到十分壮观的海潮（枚乘：
《七发》140B.C），东汉王充在《论衡》中已写道“涛之起也，随月盛衰，大小，满损不齐同”指出潮汐与月球的关系，其后更有余靖、张君房、燕肃、沈括、郭守敬等人对潮汐观测得到相当精确的结果[2],李约瑟（JosephNeedham,1900-1995）
曾说：
“近代以前，中国对潮汐现象的了解与兴趣总的来说是多余欧洲的”[3]。
古人称白天为“朝”,晚上为“夕”,所以以海洋潮汐为例,白天海水上涨为“潮”,晚上海水上涨为“汐”。
潮汐现象是一种普遍的自然现象。
有资料[4]称：
“地球上海洋的周期性涨落称为潮汐”,并解释说是“一昼夜中两次潮水涨起，随之有两次跌落”。
这一注解容易使人误认为海水的潮汐就是一昼夜的两涨两落现象。
事实上潮汐有多种,就海洋潮汐而言,就有根据太阳、月亮、地球排列位置分的“大潮”和“小潮”；根据月球与地球距离分的“近地潮”和“远地潮”；根据引潮力方向分“顺潮”和“对潮”等。
以一昼夜高、低潮出现的次数不同又可分为以下几类：
半日潮：
是指一昼夜内出现两次高潮和两次低潮。
全日潮：
是指一昼夜内只有一次高潮和一次低潮。
混合潮：
是指一个月内有些日子出现两次高潮和两次低潮,有些日子出现一次高潮和一次低潮[5]。
所以潮汐现象不仅仅是一昼夜中海水的两涨两落现象。
下面以海水的半日潮为例分析其形成过程及物理本质。
1潮汐现象的力学分析
1.1引潮力产生的分析
月球对海水的引力是造成潮汐的主要原因，太阳的引力也起一定的作用。
潮汐现象的特点（半日潮）是每昼夜有两次高潮。
所以，在同一时刻，围绕地球的海平面总有两个突起部分，在理想的情况下它们
分别出现在地表离月球最近和最远的地方。
如果仅把潮汐看成是月球引力造成的，那么在离月球最近的地方海水隆起，是可以理解的。
为什么离月球最远的地方海水也隆起呢？
如果说潮汐是万有引力引起
的，潮汐力在大小就应该与质量成正比，与距离平方成反比。
太阳的质量比月球大2.7107倍，而太
5
阳到地球距离的平方只比月球的大1.5105倍[6]，两者相除，似乎太阳对海水的引力比月球还应该大180
倍，为什么实际上月球对潮汐起主要作用?
大家都知道，太空工作站上的宇航员是漂浮在空中的，因为他处在失重状
态，原因就是他受到的重力和惯性力“精确”抵消，从广义相对论的观点看，牛顿力学所谓“真实的引力”和“因加速度产生的惯性力”是等价的，实际中无法区分。
但这种等价性在大尺度范围内就不再是“精确的”了，如果那个“太空工作站”足够
大，当其中引力场的不均匀性不能忽略时，惯性力就不能把引力完全抵消了。
如图1示，设想在太空工作站内有5个质点，C在中央，即系统的质心上，A和
B分别在C的左右，D和E分别在C的上下。
考虑到引力是遵从平方反比律且指向地心的，与中央质
圄2
点C所受的引力相比，A和B受到的引力略向中间偏斜，D因离地心稍远而受力稍小，E因离地心稍近而受力稍大。
由于整个参考系是以质心C的加速度运
动的，其中的惯性力只把C点所受的引力精确抵消，它与其他各质点所受的引力叠加，都剩下一点残余的力。
如果太空工作站的空间非常大时，那么这种偏差就会更明显，它们这时所受力的方向如图2所示，A和B受到的残余力指向
C、D和E受到的残余力背离C,所以，如果在中央C处有个较大的水珠的话，严格地说它也不是球形，而是沿上下拉长了椭球。
70%的面积为海水所覆盖,
把地球当做一个对象，其中引力不均匀性造成的应是很大的。
地球表面
地球自转造成的惯性离心力已计算在海水的视重里，所以我们可以取地心作为参考系，不必考虑地球的
自转，这样一来，就可以把它看成是由海水形成的一个巨大的水滴。
如果没有外部引力的不均匀性，这
个大水滴将精确地呈球形。
现在考虑月球引力的影响。
如图3所示，在地心参考系中各地海水所受月球
的有效引力是“真实的引力”和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和。
这有效引力的分布就像图4
所示那样，把海水沿地-月联线方向拉长为一个椭球。
这就是为什么在地球相对位置会同时出现潮汐，
图4
使得每天有两次潮，而不是一次的原因。
1.2引潮力的计算[7]
现在让我们来看看地-月引潮力的大小，在图3中C和C'分别是地球和月球的质心，0是它们共同的
质心,
P点是质量为△m的海水，地月质心之间的距离
"■A,
地面上一点到月球质心的距离
，地面
上一点到地心的距离
Am的海水受月球的吸引力为
GmMm
3
r
（1-2-1）
任何质心在地心参考系内所受的惯性力,
等于把它放在地心处所受引力的负值，因此地球上所有物体受
到的惯性力为
GmM
2?
r
GmMm
3
r
由图可以看出：
r
ri
GmMm33
rr
|dR|、r2R22rRcos，故
mMm
3
取直角坐标的x轴沿cc,y轴与之垂直，如图3所示，则
Rcos
Rsin
（1-2-2）
（1-2-3）
（1-2-4）
（1-2-5）
GmMm
2
r
彳R
1cos
r
“2R
（1cos
r
邮1
r
GmMm
2
r
1Rcos
r
生cos
2GmMmRcos
mMm
Rsin
（1-2-6）
（1-2-7）
在以上两式中R实为地球的半径Re,r实为地月距离rm，归纳以上结果，我们得到引潮力公式的分量
形式如下
（1-2-8）
（1-2-9）
形成海水的高峰；在J2处指向地心，形成海水低谷。
随着地球的自转，一昼夜之间有两个高峰和
两个低谷扫过每个地方，形成两次高潮和两次低潮。
上式同样也适用于太阳，只是其中的Mm和rm应分别代之以太阳的质量Ms和日-地距离rs,经替
代后可得
（1-2-10）
（1-2-11）
通过上述推导表明引潮力与质量成正比，与距离的立方成反比，故月潮和日潮大小之比为
2.20
图5（a）
（1-3-1）
日月引潮力的效果是线性叠加的，合成的结果与日月的相对方位有关。
在朔日和望日月球、太
阳和地球几乎在同一直线上（如图5a），太阴潮和太阳潮彼此相加，就形成每月的两次大潮。
上弦月和
下弦月时月球和太阳的黄经相距90（如图5b）,太阴潮被太阳潮抵消了一部分，就形成每月里的小潮［9］。
1.3潮汐涨落公式的推导
通过上面的力学推导，我们知道在引潮力的作用下海平面可以周期性的涨落，那么海平面到底可以
升高多少呢？
我们可以利用牛顿力学来推导，也可以利用等势面的方法来推导。
下面首先利用牛顿设计的一种方法来计算潮汐涨落的高度。
1.3.1牛顿推导［10］
如图6所示，设想在地球内x和y方向分别挖一个竖井直达地心
相通。
二井深度分别为h和h3，截面积为ds，井内充满水。
先计算井h1中的水在地心处产生的压强p1。
以表示水的密度,
视为常数。
dr一段内水的质量为dmdrds，它受地球的引力为
dmgrgrdrds，其中gr是在r处的重力加速度。
此处潮汐
同样的道理得出h3井底的压强
在稳定情况下p1p3，即
上述分析同样可以用来分析太阳在地球上引起的潮汐一一太阳潮。
与上式类似，太阳潮高为:
（1-3-6）
将太阳的质量Ms1.991030kg，它到地心的距离11.5108km代入上式，可得
hs0.25m
实际上潮高为hs和hm的矢量叠加。
在朔日和望日月球、太阳和地球几乎在同一直线上，太阳
潮和太阴潮相加形成大潮，高潮可达到0.81m。
在上弦月或下弦月时，月球和地球的方位垂直，二者
相消一部分，形成小潮，潮高为0.31m。
（如图5）一个月内大潮和小潮个出现两次。
和实际观测相比以上潮高的计算值偏小，该计算值约适用于开扩的洋面。
1.3.2利用等势面推导[11]
海水受到来自月球的引潮力的作用，致使海水发生全球范围的大变化，破坏了原来的平衡状态，于
[12]
O
是压强大的海水挤向压强小的海水，使的这部分海水凸出来了，直到海面的压强相等达到新的平衡为止,我们知道平衡液面是等势面，根据这一原理我们讨论潮汐的涨落的涨落公式
如图3,在地心参照系中，考察某点p处的海水，除了月球的引力势能Vi及地球本身的引力势能V2
球对p点引力的对应势为
Vi
势能，即
V2mghc2
最后，海平面上一点P受到惯性场力的对应等效势能V3为[12]
故当海面处于平衡状态时，根据平衡液面是等势面的理论有
（1-3-10）
V1V2V,c常数
在上式中，可设RRe，并令势能常数c0,因此
利用（1-3-11）可以在xy平面上描出一条闭合曲线，其形状正好是起潮时的海面的形状。
将Mm；Me181.R^/r160.0或90；代入上式可得h0.57m升，h0.19m降
对比两种推导方法的结果，我们发现相当接近，从而表明他们理论上的可靠性。
表明，地球对力的响应并不是纯弹性的，而是滞弹性的，即应
变稍有延迟。
这样一来，月球对两端隆起部分的吸引力就形成
们就知道这样一个事实：
月球总是以它的一面对着地球。
换言之，月球自转和公转的周期相等，这是在
会被主星的引潮力撕成碎片。
下面我们来计算这一临界半径。
mV，三个力沿x的分量为
等号对应着临界状态。
如果伴星做同步自转，则自转角速度等于公转角速度。
按开普勒定律，有
GM
3
r
均密度）对于地-月系统m53，从而月球被地球引潮力撕碎的临界距离为
1/
rcmRe3efm31.7Re。
可见，一旦月球向地球撞来，在它未与地面接触之前，已被引潮力撕
得粉碎。
月球撞击地球！
几乎是不可能的设想的。
不过太阳系中从火星到木星之间有几十万个小行星，
其中轨道与地球轨道相交的估计也有1300多个，用上述理论来分析小行星撞击地球的后果，倒是有意义的。
此外，彗星撞击地球的可能性更明显。
早在导出（2-5）式之前，洛希就推出了流体星的撕裂条件
这就是洛希极限。
土星环平均半径r与土星半径R之比为2.31，就土星来说，若土星环中的颗粒物质与土星本身的密度相等，则这距离已在临界距离之内，环中物质应解体不能形成一个整的椭球形卫星，所
以它就一直以尘粒状伴随在土星周围形成土星光环。
人类有史以来能够看到最为壮观的彗星、行星相撞事件，是1994年7月苏梅克-列维9号彗星撞击
木星，根据据理论推算，列维9号彗星1992年7月进入临界距离后被撕碎。
哈勃空间望远镜确也观测
到A、B、C、D、……U、V、W等20余个碎片，之后P、Q又各分为两块，后来P的一块碎片又分裂为两片[14]。
3总结
综上所述，在牛顿力学中，引潮力是在非惯性参考系中引力与惯性力叠加的必然结果，从更为本质
的意义上来说，按广义相对论的观点，引潮力则是时空弯曲的反映[15]。
以上分析是在地球表面全部被海水所覆盖的情况下进行的，实际上，由于地月的相对运动，再加上
海岸线形状、海陆分布、海洋深度等各种因素的影响，潮汐也随之呈现出丰富多姿的自然景观。
潮汐现象是一种自然现象，海洋潮汐的分析、计算
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