人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质.docx
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人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质
第1讲二次根式认识、性质
第一部分知识梳理
知识点一：
二次根式的概念
形如二（二二〕）的式子叫做二次根式。
必须注意：
因为负数没有平方根，所以._:
是厂为二次根式的前提条件
知识点二：
二次根式
（
匕20
、的非负性
x（二二.）表示a的算术平方根，即」—0（“一.）
非负性：
算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用：
其中是二次根式的是（填序号）.
例2、下列各式哪些是二次根式？
哪些不是？
为什么?
举一反三:
42、—.2
考点2、根式取值范围及应用
m2m2
B・
（2）1C：
.（21）
例5、若y=x5+5x+2019，则x+y=
例6、实数a，b，c，如图所示，化简70^—I—b丨~c）7=.
举一反三：
3、如果代数式••m——有意义，那么，直角坐标系中点P（m,n）的位置在（）
imn
4、式子
2x有意义，x为
A.
x小
B.0
y
C.
x
D.
—0
y
E.
&当a取什么值时，代数式2T11取值最小，并求出这个最小值。
考点3、根式的非负性及应用
例1、若（2a1）212a，则a的取值范围（）
111
A、aB、aC、aD、a为任意实数
222
例2、若.x2x2成立，则x满足
\3x唱3x
例3、
（1）、若a2Jb3c420,则abc
Jx3yx29x1
（2）、已知2——0，则—；=
x32y1
例4、已知：
4J2xy0,求x—y的值.
例5、
（1）、若=0，求a?
019+b2019的值.
（2）、若Jxyy24y40，求xy的值。
举一反三：
1、若m3（n1）0,则mn的值为
2、已知x,y为实数，且4X13y220，则xy的值为（）
A、3B、-3C1D、-1
3、若ab1与a2b4互为相反数，则abba=
4、已知：
y18x,8x1,求代数式‘2'2的值。
2YyxYyx
考点4、二次根式的性质
（1）
例1、已知数a，b，若（ab）2=b—&,则（）
A、a>bB、abD、a例2、将一丨丄根号外的a移到根号内，得（）
A、“丿B、-J“C、-J,D、J
例3、先化简再求值：
当a=9时，求a+12aa2的值，甲乙两人的解答如下:
甲的解答为：
原式=a+.、（1a）2=a+（1—a）=1；
乙的解答为：
原式=a+、.（1a）2=a+（a—1）=2a—仁17.
两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是
例4、若—3WxW时，试化简丨x2丨—3）2+Jx210x25°
例5、实数a，b，c,如图所示，化简碍—Iabl+（bc）2=.
5、已知a,b,c为三角形的三边,
贝U..（abc）.（bca）2.（bca）2=
考点5、二次根式的性质
（2）
例1、
（1）•计算：
Q/;厠"9
（2）.计算：
3厲2J而
（3）.当a0,bv0时，阿
例2、等式6x（x6）成立的条件是（）
A、
x>0
B、x>6
例3、
（1）
11
11
■3
2
2
（2）
6;
3
例4、
（-.x
1）2
（x>0
12xy
D、x为一切实数
3
3
3\y
（'.a22a1）2
例5、甲、乙两人对题目化简并求值：
-
a
2，其中a
1
-”有不同的解答:
5
丄（a）2
a,a
11
aaa
2aa
49
_5，
1/1、
21
1
1
（a丿
）a
—a
—。
a，a
a
a
5
甲的解答：
112a2
a\a
1<1
乙的解答：
丄..12a22
aa
谁的解答是错误的？
为什么?
举一反三：
5、观察下列各式:
=3
k
请你
将猜想到的规律用含自然数n（n>1）的代数式表示出来是
6、
已知—1）2
7、
已知ab
3,ab12,求bjf
若a，b为实数，且b二「3—5a
J5a315，试求J”
第三部分课堂小测
1、
判断下列根式是否二次根式:
（1）3
（2）3
（3）3）3
2、
3、
4、
5、
（6）
（7）...a21
（8）.a22a1
x是怎样的实数时，下列各式有意义。
⑴2x3
⑵-3x17
（3）4x24x1
2x
若x1.1x（xy）2，则xy=
J2x_1
若代数式帀有意义，则x的取值范围是什么?
■■9X-27
1681
.81100
6、
532282
7、
冷4a36a
■-2a、、8a
.9x2y2
"ab）2
&如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：
•a2^b2
1+一2
9化简4a212a9-4a2-20a25（22
第四部分提高训练
1、先化简再求值：
当a=9时，求a+J2aa的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：
原式=a+、、（1a）2=a+（1-a）=1；
乙的解答为：
原式=a+（1a）2=a+（a_1）=2a-1=17.
两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.
2、计算a2babab（利用公式）
Ja分析：
本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为.a与.b成立，且分
式也成立，故有a>0,b>0,a、.b0而同时公式：
ab2=a2-2ab+b2,
a2-b2=abab，可以帮助我们将a2.abb和ab变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：
原式=a"+aba、b=丄，b+、.a,b=^.a-2.bx'aJbvaxb
分析：
本例通过分析要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。
通过约分化简，如转化成:
ab11
再化简，便可知其答案。
abab
解原式―怎晶J6<7<5<6V6富
解：
原式一―5一6一6—7—_5—6一6—75一6一6—7
5、计算13223（借用整数“1”处理）
弋273J6
b2，然后再
分析：
本例运用很多方面的知识如：
1=.32.3.2禾和.abxaba2
运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：
原式=舅迈力品3血2込
3V2v3
<6<3<2
v;3晶
43
第五部分
课后作业
1、当x
时，Jx
1是二次根式.
2、（勺16）2
■—2
（3』2）2
9ab
7
（
）2
3、把7写成一个数的平方得.
4、在实数范围内因式分解x22.
5、若ULX不是二次根式，则x取值范围是
6、当x时，寸—X无意义.
7、当x时，：
一—有意义；在、x中x的取值范围是
\r2x|x|2
&当av1且a^0寸，化简22a1=
aa
9、若..a13在实数范围内有意义，则a满足的条件是（）
A、a2B、a2
C、a4D、a2或a4
10、已知x,y都是实数,且满足yx11x0.5,化简.
y1
11、在实数范围内因式分解：
2a25b2
12、若2x有意义，则x的取值范围是
13、在实数范围内因式分解：
y22V2y2
^/6xy4v;32xy12（x>0,y>0）
23
37484用
16、已知实数,
a,b,c在数轴上的位置如图所示,
化简|a|（ac）,（ca）.b.
第1讲二次根式认识、性质
参考答案
第二部分I考点精讲精练
考点1、
例1、1）、3）、4）、5）、7）
例2、
（1）是
（2）不是：
被开方数小于0（3）是
（4）不是：
三次根式（5）不是：
被开方数小于0
（6）不是：
被开方数小于0
例3、C
例4、①②③⑥
例5、7
0、一-2、、.、xy（x》,y）
举一反三：
例4、
例6、
举一反三:
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
考点3、
例1、A
例2、2
3、
1
8
考点4、
4、
代数式值=1
举一反三:
1、
2、
例1、D
例2、B
例3、
例4、Ix—2丨+（x3）2+,x210x252xx35x10x
例5、C
举一反三：
1、1a
2、a.一ab
3、,m
4、解：
由题意得：
a20180,解得：
a2018,
2013a|Ja2018a,a2013a2018a,
a20182013,
2
a20182013,
2
a20132018.
5、abc
考点5、
例1、
（1）,6；18
（2）30...2ab（3）b.ab
例2、B
例3、
（1）—,33y,
3
例4、x1
7
a1或一a
例5、
举一反三：
1、3x
0
c32
2、
10
c8b
.5x
3、;
—
2；
3a
13y
22
4、a2bab
3
（2）2一6,52
1
5、
7、a
0,b0
^/ab=4J3
&a3
b
2
15原式=—
5
5
第三部分
课堂小测
1、
（1）不是；
（2）
是；（3）不是；
（5）
不是；（6）是；（7）不是；
2、
（1）
x
二；
（2）x—；（3）x
2
3
3、2
4、x
1
且x1
2
5、V3
7
9（3
；36；90
6、2;
1o73；
45
7、6a
4a；
3xy
&2b
9、4a8
第四部分
提高训练
6、
a
（4）不是
（8）是
1、
1
2
;（4）x为任意实数
2、分析：
本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式,
问题就简单了，因为
且分式也成立，故有a>0,b>o,,a..b0
而同时公式：
ab2=a2-2ab+b2,
2I
a2-b=abab，可以帮助我们将a2.ab
b和ab变形，所以我们应掌握好公式可
以使一些问题从复杂到简单。
解：
原式=a_：
/+abab=a..b+、a、.b=2,-2.bta・b、a\b
3、分析：
本题主要应该从已知式子入手发现特点，•••分母含有1+2.3其分子必有含1+2■.3
的因式，于是可以发现3+2.2=1,22，且•、3,6,31..2，通过因式分解，分子所含的
1+2.3的因式就出来了。
解：
原式=3$迈「氈「阮」臣2品I应i+罷
i4243i4243
4、计算£乎込（拆项变形法）
<5<6J6寸7
分析：
本例通过分析要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。
通过约分化简，如转化成:
—1丄再化简，便可知其答案。
abab
5、计算13*2—23（借用整数“1”处理）
v'2V3J6
分析：
本例运用很多方面的知识如:
仁、.3232和.abxaba2b2,然后再
运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
第五部分课后作业
1、x1
2、1.6；18；3ab
2
3—72（符合即可）
4、x2x'、2
5、x3
6、x2
7、x2;x0且x2
1
8、一
a
9、D10、一1
11、（、2a.5b）（、-2a.5b）
12、3x-
2
13、y.22
14、88；6.5;4xy.3y
15、2
f-
15
、、6
2..a
；23
8
5
3
a
16、3a
b
7
7
、14
17、X
2,y-
原式=
•、2
2
2
（1）、如口若拓+亦=0,贝Ua=O,b=O;
（2）、若亦+0卜0，贝Ua=O,b=O；
（3）、若亦+护=0，则a=0,b=0o
知识点三：
二次根式的性质
第二部分考点精讲精练
考点1、二次根式概念
1、使代数式也卫有意义的x的取值范围是（）
x4
A、x>3B、x茅C、x>4D、x>31x工4
2、使代数式，-x_2^1有意义的x的取值范围是
3、把mJ—根号外的因式移到根号内，得
\m
4、若2013aJa2018a，求a—20192的值.
（提示：
先由a—2019>0判断2019—a?
的值是正数还是负数，去掉绝对值）
64b25x
；9a2'169y2
2、ab5（3、a3b）3b
b2：
a
1+.23的因式就出来了。
3272込J6=1V22力1<2
1^2312、3
1、D
例2、1
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