高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值.docx
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高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值
高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值
第1讲 三角恒等变换与三角函数的化简、求值
高考定位 高考对本内容的考查主要有：
（1）两角和（差）的正弦、余弦及正切，C级要求；
（2）二倍角的正弦、余弦及正切，B级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.
真题感悟
1.（2017·江苏卷）若tan
＝
，则tanα＝________.
解析 法一 ∵tan
＝
＝
＝
，
∴6tanα－6＝1＋tanα（tanα≠－1），∴tanα＝
.
法二 tanα＝tan
＝
＝
＝
.
答案
2.（2018·江苏卷）已知α，β为锐角，tanα＝
，cos（α＋β）＝－
.
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α－β）的值.
解
（1）因为tanα＝
，tanα＝
，所以sinα＝
cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝
，
因此，cos2α＝2cos2α－1＝－
.
（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）.又因为cos（α＋β）＝－
，
所以sin（α＋β）＝
＝
，因此tan（α＋β）＝－2.
因为tanα＝
，所以tan2α＝
＝－
，
因此，tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]＝
＝－
.
考点整合
1.三角函数公式
（1）同角关系：
sin2α＋cos2α＝1，
＝tanα.
（2）诱导公式：
对于“
±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：
奇变偶不变，符号看象限.
（3）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；
cos（α±β）＝cosαcosβ±sinαsinβ；
tan（α±β）＝
.
（4）二倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
（5）辅助角公式：
asinx＋bcosx＝
sin（x＋φ），其中cosφ＝
，sinφ＝
.
2.公式的变形与应用
（1）tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）；
tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）.
（2）升幂、降幂公式
1＋cosα＝2cos2
，1－cosα＝2sin2
；sin2α＝
，cos2α＝
.
（3）角的拆分与组合
2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）；
α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；
α＝
－
＝
＋
等.
热点一 三角函数式的化简与求值
【例1】
（1）（2018·泰州模拟）化简：
＝________.
（2）若tanα＝2tan
，则
＝________.
解析
（1）原式＝
＝
＝
＝
＝
cos2x.
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝3.
答案
（1）
cos2x
（2）3
探究提高
（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
（2）三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【训练1】
（1）（2018·徐州调研）计算：
tan70°cos10°（
tan20°－1）＝________.
（2）若α∈
，且3cos2α＝sin
，则sin2α的值为________.
解析
（1）原式＝
·cos10°
＝
＝
＝－
＝－1.
（2）由cos2α＝sin
＝sin
＝2sin
cos
代入原式，得6sin
cos
＝sin
，
∵α∈
，∴
－α∈
，sin
≠0，
∴cos
＝
，∴sin2α＝cos
＝2cos2
－1＝－
.
答案
（1）－1
（2）－
热点二 三角函数的求值（求角）
【例2】
（1）（2018·全国Ⅲ卷改编）若sinα＝
，则cos2α＝________.
（2）（2017·南京、盐城联考）已知α，β为锐角，cosα＝
，sin（α＋β）＝
，则cosβ＝________.
（3）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝
，tanβ＝－
，则2α－β的值为________.
解析
（1）cos2α＝1－2sin2α＝1－2×
＝
.
（2）∵α为锐角，∴sinα＝
＝
.∵α，β∈
，∴0＜α＋β＜π.
又∵sin（α＋β）＜sinα，∴α＋β＞
，∴cos（α＋β）＝－
.
cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα
＝－
×
＋
×
＝
＝
.
（3）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]＝
＝
＝
＞0，
∴0＜α＜
.又∵tan2α＝
＝
＝
＞0，
∴0＜2α＜
，∴tan（2α－β）＝
＝
＝1.
∵tanβ＝－
＜0，∴
＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－
.
答案
（1）
（2）
（3）－
探究提高
（1）给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；
（2）给值求角问题：
先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.
【训练2】
（1）（2015·江苏卷）已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝
，则tanβ的值为________.
（2）已知sinα＝
，sin（α－β）＝－
，α，β均为锐角，则角β等于________.
解析
（1）∵tanα＝－2，∴tan（α＋β）＝
＝
＝
，解得tanβ＝3.
（2）∵α，β均为锐角，∴－
＜α－β＜
.又sin（α－β）＝－
，
∴cos（α－β）＝
.又sinα＝
，∴cosα＝
，
∴sinβ＝sin[α－（α－β）]＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）
＝
×
－
×
＝
.
∴β＝
.
答案
（1）3
（2）
（3）（2018·浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P
.
①求sin（α＋π）的值；
②若角β满足sin（α＋β）＝
，求cosβ的值.
解 ①由角α的终边过点P
得sinα＝－
，所以sin（α＋π）＝－sinα＝
.
②由角α的终边过点P
得cosα＝－
，
由sin（α＋β）＝
得cos（α＋β）＝±
.
由β＝（α＋β）－α得cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα，
所以cosβ＝－
或cosβ＝
.
热点三 三角恒等变换的应用
【例3】（2018·苏州期末）已知函数f（x）＝（
cosx＋sinx）2－2
sin2x.
（1）求函数f（x）的最小值，并写出f（x）取得最小值时自变量x的取值集合；
（2）若x∈
，求函数f（x）的单调递增区间.
解
（1）因为f（x）＝3cos2x＋2
cosxsinx＋sin2x－2
sin2x
＝
（1＋cos2x）＋
sin2x＋
（1－cos2x）－2
sin2x
＝－
sin2x＋cos2x＋2＝2sin
＋2.
所以函数f（x）的最小值是0，
此时2x＋
＝2kπ＋
，k∈Z，即x的取值集合为
.
（2）当x∈
时，2x＋
∈
，
令－
≤2x＋
≤
或
≤2x＋
≤
，得－
≤x≤－
或
≤x≤
.
所以f（x）的单调递增区间是
和
.
探究提高 三角恒等变换的应用策略
（1）进行三角恒等变换要抓住：
变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.
（2）把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝
sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.
【训练3】已知函数f（x）＝4tanxsin
cos
－
.
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间
上的单调性.
解
（1）f（x）的定义域为
.
f（x）＝4tanxcosxcos
－
＝4sinxcos
－
＝4sinx
－
＝2sinxcosx＋2
sin2x－
＝sin2x＋
（1－cos2x）－
＝sin2x－
cos2x＝2sin
.
所以f（x）的最小正周期T＝
＝π.
（2）由－
＋2kπ≤2x－
≤
＋2kπ，k∈Z，得－
＋kπ≤x≤
＋kπ，k∈Z.
由
＋2kπ≤2x－
≤
＋2kπ，k∈Z，得
＋kπ≤x≤
＋kπ，k∈Z.
所以当x∈
时，f（x）在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
1.对于三角函数的求值，需关注：
（1）寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；
（2）注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；
（3）对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.
2.对于三角恒等变换的应用问题，可以运用化归思想和整体代换思想解决问题.讨论形如y＝asinωx＋bcosωx函数的性质，可先化为y＝
sin（ωx＋φ）型的函数.
一、填空题
1.计算：
＝________.
解析 原式＝
＝
＝
＝－4.
答案 －4
2.（2018·全国Ⅰ卷改编）已知函数f（x）＝2cos2x－sin2x＋2，则f（x）的最大值为________.
解析 易知f（x）＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3
＋1＝
cos2x＋
，当x＝kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，最大值为4.
答案 4
3.（2018·南京、盐城模拟）已知锐角α，β满足（tanα－1）·（tanβ－1）＝2，则α＋β的值为________.
解析 因为（tanα－1）（tanβ－1）＝2，所以tanαtanβ－（tanα＋tanβ）＋1＝2，即
＝－1，所以tan（α＋β）＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π），即α＋β＝
π.
答案
4.（2017·苏、锡、常、镇调研）已知α是第二象限角，且sinα＝
，tan（α＋β）＝－2，则tanβ＝________.
解析 由α是第二象限角，且sinα＝
，则cosα＝－
＝－
，
则tanα＝
＝－3，所以tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝
＝
.
答案
5.（2018·常州期末）满足等式cos2x－1＝3cosx（x∈[0，π]）的x的值为________.
解析 由题意可得，2cos2x－3cosx－2＝0，解得cosx＝－
或cosx＝2（舍去）.又x∈[0，π]，故x＝
.
答案
6.（2018·全国Ⅱ卷）已知tan
＝
，则tanα＝________.
解析 法一 因为tan
＝
，所以
＝
，
即
＝
，解得tanα＝
.
法二 因为tan
＝
，所以tanα＝tan
＝
＝
＝
.
答案
7.（2012·江苏卷）设α为锐角，若cos
＝
，则sin
的值为________.
解析 ∵α为
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