江苏省无锡市第一女子中学八年级学情调研数学试题 解析版.docx

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江苏省无锡市第一女子中学八年级学情调研数学试题解析版

无锡市第一女子中学学情调研试卷

初二数学

一．选择题（共8小题）

1．下列图形中，轴对称图形的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．PA＝PBB．PO平分∠APB

C．OA＝OBD．AB垂直平分OP

3．在下列说法中，正确的有（　　）

①三角分别相等的两个三角形全等；

②三边分别相等的两个三角形全等；

③两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等；

④两边及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm

5．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中，与这100°角对应相等的角是（　　）

A．∠AB．∠BC．∠CD．∠B或∠C

6．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：

①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图，△ABC中，点D为BC上一点，且AB＝AC＝CD，则图中∠1和∠2的关系是（　　）

A．∠2＝2∠1B．∠1+2∠2＝90°

C．2∠1+3∠2＝180°D．3∠1+2∠2＝180°

二、精心选一选（每小题2分，共20分）

9．如图，△AOB中，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′＝40°，∠AOB＝　　°．

10．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　　．

11．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是　　．（答案不唯一，只要写一个条件）

12．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是　　．

13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　　°．

14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是　　．

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为　　°．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　　，∠EFC＝　　度．

17．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是　　．

18．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC＝118°，则∠A＝　　°．

三、认真答一答（共56分）

19．

（1）尺规作图：

如图1，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）如图2，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，

①△ABC的面积为　　．

②在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1．

20．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：

AC∥DF．

21．如图，在∠△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．

22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，求证：

∠B＝∠C．

23．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，且∠ADC＝120°．求证：

AD＝DC．

24．

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：

AM＝MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：

在边AB上截取AE＝MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB＝∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将

（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？

请说明理由．

（3）若将

（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：

当∠AMN＝　　时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

25．如图，已知长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？

请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？

参考答案与试题解析

一、细心填一填（每小题3分，共24分）

1．下列图形中，轴对称图形的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据轴对称图形的概念判断，得到答案．

【解答】解：

第一个图形不是轴对称图形；

第二个图形是轴对称图形；

第三个图形不是轴对称图形；

第四个图形是轴对称图形；

第五个图形不是轴对称图形；

故选：

B．

2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．PA＝PBB．PO平分∠APB

C．OA＝OBD．AB垂直平分OP

【分析】本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．

【解答】解：

∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴PA＝PB

∴△OPA≌△OPB

∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB

∴A、B、C项正确

设PO与AB相交于E

∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE

∴△AOE≌△BOE

∴∠AEO＝∠BEO＝90°

∴OP垂直AB

而不能得到AB平分OP

故D不成立

故选：

D．

3．在下列说法中，正确的有（　　）

①三角分别相等的两个三角形全等；

②三边分别相等的两个三角形全等；

③两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等；

④两边及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．

【解答】解：

①三角分别相等的两个三角形全等，说法错误；

②三边分别相等的两个三角形全等，说法正确；

③两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等，说法正确；

④两边及其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等，说法错误．

故选：

B．

4．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm

【分析】AC＝AE+EC＝BE+EC，根据已知条件易求．

【解答】解：

∵DE是边AB的垂直平分线，

∴AE＝BE．

∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．

又∵BC＝8，

∴AC＝10（cm）．

故选：

C．

5．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中，与这100°角对应相等的角是（　　）

A．∠AB．∠BC．∠CD．∠B或∠C

【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．

【解答】解：

在△ABC中，∵∠B＝∠C，

∴∠B、∠C不能等于100°，

∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．

故选：

A．

6．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】利用PA+PC＝AC，PB+PC＝AC得到PA＝PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确．

【解答】解：

∵点P在AC上，

∴PA+PC＝AC，

而PB+PC＝AC，

∴PA＝PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上，

所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．

故选：

C．

7．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：

①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】①由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD＝∠DAC，由三角形外角得∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，得出∠EAD＝∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．

②由AD∥BC，得出∠ADB＝∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，∠ABC＝2∠ADB，得出结论∠ACB＝2∠ADB，

③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，得出结论∠ADC＝90°﹣∠ABD；④由∠BAC+∠ABC＝∠ACF，得出

∠BAC+

∠ABC＝

∠ACF，再与∠BDC+∠DBC＝

∠ACF相结合，得出

∠BAC＝∠BDC，即∠BDC＝

∠BAC．

【解答】解：

①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，

∴∠EAD＝∠DAC，

∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，

∴∠EAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正确．

②由

（1）可知AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∴∠ABC＝2∠ADB，

∵∠ABC＝∠ACB，

∴∠ACB＝2∠ADB，

故②正确．

③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB

∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，

∴∠ADC+∠ABD＝90°

∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，

故③正确；

④∵∠BAC+∠ABC＝∠ACF，

∴

∠BAC+

∠ABC＝

∠ACF，

∵∠BDC+∠DBC＝

∠ACF，

∴

∠BAC+

∠ABC＝∠BDC+∠DBC，

∵∠DBC＝

∠ABC，

∴

∠BAC＝∠BDC，即∠BDC＝

∠BAC．

故④错误．

故选：

C．

8．如图，△ABC中，点D为BC上一点，且AB＝AC＝CD，则图中∠1和∠2的关系是（　　）

A．∠2＝2∠1B．∠1+2∠2＝90°

C．2∠1+3∠2＝180°D．3∠1+2∠2＝180°

【分析】先根据AB＝AC＝CD可求出∠2＝∠C，∠ADC＝∠CAD，再根据三角形内角和定理可得2∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣∠2，由三角形内角与外角的性质可得∠ADC＝∠1+∠2，联立即可求解．

【解答】解：

∵AB＝AC＝CD，

∴∠2＝∠C，∠ADC＝∠CAD，

又∵2∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣∠2，∠ADC＝∠1+∠2，

∴2（∠1+∠2）＝180°﹣∠2，

即2∠1+3∠2＝180°．

故选：

C．

二．填空题（共10小题）

9．如图，△AOB中，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′＝40°，∠AOB＝　110　°．

【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝40°，由三角形内角和可求解．

【解答】解：

∵将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，

∴∠A＝∠A'＝40°，

∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝110°，

故答案为：

110

10．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　11　．

【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．

【解答】解：

∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2

∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5

∴x+y＝11．

故填11．

11．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是　∠ADC＝∠AEB　．（答案不唯一，只要写一个条件）

【分析】要使△ABE≌△ACD，由于∠A是公共角，AE＝AD，题中有一边一角，可以补充一组角相等，则可用ASA判定其全等．

【解答】解：

补充条件为：

∠ADC＝∠AEB．

∵∠A＝∠A，AE＝AD，∠ADC＝∠AEB，

∴△ABE≌△ACD．

故填：

∠ADC＝∠AEB．

12．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是　SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等　．

【分析】由三边相等得△COM≌△CON，再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．

【解答】解：

由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，

∴△COM≌△CON，

∴∠AOC＝∠BOC，

即OC即是∠AOB的平分线．

故答案为：

SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等．

13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　135　°．

【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．

【解答】解：

观察图形可知：

△ABC≌△BDE，

∴∠1＝∠DBE，

又∵∠DBE+∠3＝90°，

∴∠1+∠3＝90°．

∵∠2＝45°，

∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．

故填135．

14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是　15　．

【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．

【解答】解：

过D作DE⊥BC于E，

∵∠A＝90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，

∴AD＝DE＝3，

∴△BDC的面积是

×DE×BC＝

×10×3＝15，

故答案为：

15．

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为　25　°．

【分析】由折叠的性质可得：

∠ABD＝∠A′BD，∠A＝∠BA′D，又由DC⊥BC，∠A′BC＝20°，可求得∠A的度数，然后由AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠A+∠ABD+∠A′BD+∠A′BC＝180°，则可求得∠A′BD的度数．

【解答】解：

根据折叠的性质可得：

∠ABD＝∠A′BD，∠A＝∠BA′D，

∵DC⊥BC，

∴∠C＝90°，

∵∠A′BC＝20°，

∴∠BA′D＝∠A′BC+∠C＝110°，

∴∠A＝110°，

∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

即∠A+∠ABD+∠A′BD+∠A′BC＝180°，

∴110°+2∠A′BD+20°＝180°，

∴∠A′BD＝25°．

故答案为：

25．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　6　，∠EFC＝　40　度．

【分析】根据垂直平分线的性质计算．

周长△BCF＝FC+BF+BC．

∠EFC＝∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF．

【解答】解：

如图：

已知DF垂直且平分AB⇒AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°，∠ADF＝90°

∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°（对角相等）

因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC

故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．

故填6；40°．

17．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是　50　．

【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG，故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．

【解答】解：

∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，

∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，

∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EFA≌△ABG

∴AF＝BG，AG＝EF．

同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．

故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16

故S＝

（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．

故答案为50．

18．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC＝118°，则∠A＝　70　°．

【分析】由三角形内角和及角平分线的定义可得到关于∠DBC和∠DCB的方程组，可求得∠DBC+∠DCB，则可求得∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠A．

【解答】解：

∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，

∴∠FBC＝2∠DBC，∠GCB＝2∠DCB，

∵∠BFC＝132°，∠BGC＝118°，

∴∠FBC+∠DCB＝180°﹣∠BFC＝180°﹣132°＝48°，

∠DBC+∠GCB＝180°﹣∠BGC＝180°﹣118°＝62°，

即

，

由①+②可得：

3（∠DBC+∠DCB）＝110°，

∴∠ABC+∠ACB＝3（∠DBC+∠DCB）＝110°，

∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣110°＝70°，

故答案为70．

三．解答题（共7小题）

19．

（1）尺规作图：

如图1，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）如图2，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，

①△ABC的面积为　4　．

②在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1．

【分析】

（1）分别作出AD的垂直平分线及∠ABC的平分线，两条直线的交点即为P点的位置；

（2）①利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论；

②作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可．

【解答】解：

（1）如图1，点P即为所求点；

（2）①S△ABC＝3×3﹣

×2×2﹣

×3×1﹣

×3×1

＝9﹣2﹣

﹣

＝4；

故答案为：

4；

②如图，△A1B1C1即为所求．

20．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：

AC∥DF．

【分析】首先由BE＝CF可以得到BC＝EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．

【解答】证明：

∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，

又∵BE＝CF，

∴BE+EC＝CF+EC，

即：

BC＝EF，

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴∠ACB＝∠DFE，

∴AC∥DF．

21．如图，在∠△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．

【分析】根据∠ACB＝∠DCE，可得∠DCB＝∠ACE，已知AC＝BC，CD＝CE，可得△ACE≌△BCD，则AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，AE⊥BD，即AE＝BD且AE⊥BD．

【解答】解：

AE＝BD且AE⊥BD．理由如下：

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA，

即∠DCB＝∠ACE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，

∵∠CME＝∠DMO，

∴∠DOM＝∠ECM＝90°，

∴AE⊥BD，

∴AE＝BD且AE⊥BD．

22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，求证：

∠B＝∠C．

【分析】根据角平分线的性质定理求得DE＝DF，然后根据HL证得RT△BDE≌RT△CDF，得出∠ABD＝∠ACD，根据等边对等角得出∠DBC＝∠DCB，进而证得∠B＝∠C．

【解答】解：

过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，

∵AD平分∠BAC，

∴DE＝DF，

在RT△BDE与RT△CDF中，

，

∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），

∴∠ABD＝∠ACD，

∵BD＝CD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠DCB，

即∠B＝∠C．

23．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，且∠ADC＝120°．求证：

AD＝DC．

【分析】由∠ABC+∠ADC＝60°+120°＝180°，可得点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ABD＝∠ACD，∠DBC＝∠DAC，由角平分线的性质可得