17年江苏省高数复习资料第七单元 向量代数 空间解析几何.docx
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17年江苏省高数复习资料第七单元向量代数空间解析几何
2017年江苏省高数复习资料第七单元向量代数空间解析几何
第七单元 向量代数空间解析几何 一、向量概念及其加、减法和数乘运算1、两点A,B之间的距离d?
（x2?
x1）2?
（y2?
y1）2 AB2、向量的定义：
既有大小，又有方向的量。
记作：
或a （x2?
x1）?
（y2?
y1） 向量的模：
︱ ︱?
ABAB 0向量：
模为0的向量。
记作：
0 单位向量：
模为1的向量。
记作：
a，a?
0 220aa 03、两向量相等：
方向相同，模相等。
记作：
a=b 4、加法运算：
a+b=b+a （交换律） （a+b）+c=a+（b+c） 5、数与向量的积：
记作λa λa的模：
︱λa︱=︱λ︱︱a︱ λa的方向：
当λ>0时，与a同向，当λ 设向量的起点为M1,终点为M2,则 =（x2-x1）i+（y2-y1）j+（z2-z1）k M1M2 222︱ ︱M1M2=（x2?
x1）?
（y2?
y1）?
（z2?
z1） 7、基本单位向量：
三个坐标轴上正方向上的单位向量i，j，k8、向量的加、减法与数乘运算 a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk a±b=i+j+k λa=（λax）i+（λay）j+（λaz）k 例1设向量a=8i+9j-12k，其始点坐标为A 求其终点B的坐标 如取向量a方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标 解：
设终点坐标为B,则有 =（x-2）i+（y+1）j+（z-7）k，令 =a，即 ABAB 8i+9j-12k=（x-2）i+（y+1）j+（z-7）k，所以有：
x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5 故终点坐标为B 与a同向的单位向量为：
a=a∕∣a∣= 0 8i?
9j?
12k82?
92?
（?
12）2?
1（8i?
9j?
12k）17与a同向的模为34的向量为：
0 b=34a=16i+18j-24k 设其终点坐标为B,仿得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17 故终点坐标为B9、方向角与方向余弦 向量a分别与x、y、z三个坐标轴的正向不超过?
的夹角，用α、β、γ表示，则 22 称他们为向量a的方向角，cosα、cosβ、cosγ称为方向余弦，且cosα+cos 2 β+cosγ=1 10、单位向量的三角表示法 0 a=icosα+jcosβ+kcosγ11、方向余弦的计算 设向量a的坐标表示为：
a=xi+yj+zk，则 cos?
?
aazx?
xx?
y?
zzx?
y?
z222222,cos?
?
ay?
yx?
y?
z222 cos?
?
?
0 0 例2设向量a={x,y,z}的方向角α=60，β=60且∣a∣=3，问这种向量有几个，求之。
222 解：
设第三个方向角为γ，则cosα+cosβ+cosγ=1得 cosγ=1-cos60-cos60= 的向量也有两个：
a=∣a∣a=3= 0 2 2 0 2 0 1?
3?
2，cosγ=?
这样的γ有两个子与，所以这样 44223332i+j+k222或a= 3332i+j-k （单位向量的三角表示式） 222例3设一向量与x轴及y轴的夹角相等,而与z轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向 余弦. 解:
设该向量与x、y轴的夹角为α，则与z轴的夹角为2α， 222222 所以cosα+cosα+cos2α=1,2cosα+（2cosα-1）=1 即4cosα-2cosα=0,解得cosα=0或cos?
?
?
4 2 2?
?
?
2,?
?
?
4 所以方向余弦为0，0，-1或 22,,022二、数量积和向量积的计算及应用 1、数量积：
a·b=∣a∣∣b∣cosθ,为一数量 θ为a与b的夹角，?
?
?
运算性质：
a·b=b·a （交换律） a·=a·b+a·c（分配律） 2 λ（a·b）=（λa）·b=a·（λb）（结合律）2、两向量间的位置关系 向量a在向量b上的投影：
ab=∣a∣cos（a,b）或记作Prjba 平行：
a∥b?
a=λb或b=λa或λa+μb=0 垂直：
a⊥b?
a·b=0 运算性质：
a×b=-b×a a×=a×b+a×c （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb） 计算方法：
a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则 ijk a×b=x1y1 z1 （为一向量） x2y2 z24、两向量平行的充分必要条件 a×b=0即 axayazx1y1z1?
?
或?
?
x2y2z2bxbybz5、基本单位向量的点、叉积关系 i·i=j·j=k·k=1, i·j=j·k=k·I=0, 23 a1b1c1 a1b1 a2b2c2 a2b2=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1c2b3-b1a2c3 a3b3c3 a3b3三条实斜线为主对角线，三条虚斜线为次对角线。
计算方法：
主对角线上三个元素之积的和减去次对角线上三个元素之积的和 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 例4设a={-1，2，-2}，b={1，-3，4},试计算a·b，a×b， （a+b）×（a-b）,cos（a,b） 解:
a·b=x1x2+y1y2+z1z2=（-1）×1+2×（-3）+（-2）×4=-15 ijkijk a×b=x1y1z1?
?
12?
2?
2i?
2j?
k x2y2z2ijk2?
{?
4,?
4,?
2} 1?
34 （a+b）×（a-b）={0，-1，2}×{-2，5，-6} ?
?
0?
1?
25?
6 cos（a,b）=a?
bab?
?
15（?
1）2?
22?
（?
2）212?
（?
3）2?
42?
?
52626例5已知四个点A（0,0,0）,B（3,4,-1）,C（2,3,5）,D（6,0,-3）,求 △ABC的面积. 解:
△ABC面积应为以 为邻边的平行四边形面积的一半. ABAC ={3,4,-1}, ={2,3,5}ACAB ijkAC34 × ?
AB?
1?
{23,?
17,1}523 △ABC面积= 11391︱ × ︱=AC232?
（?
17）2?
12?
AB222例6求与向量a={2,-1,2}平行且满足a·b=-18的向量b 2222 解:
设b=λa,则a·b=λ︱a︱=λ（2+（-1）+2）=-18 解得λ=-2,即设b={-4,2,-4} 例7在xoy平面上求一个垂直于向量a={5,-3,4}且与a等长的向量b解:
因b在xoy平面,可设b={x,y,0},则 222222 a·b=5x-3y=0,︱b︱=x+y=5+（-3）+4=50（︱a︱=︱b︱） 上两方程联立解得x?
?
1517,y?
?
2517 4 b={?
1517,?
2517,0} 例8已知a={m,5,-1},b={3,1,n}互相平行,求m,n解:
因a∥b,所以有 m5?
11?
?
解得m=15,n?
?
31n5 例9设向量a={3，4，-2}，b={2,1,k},若a与b垂直，则k=（5） （05、10） 解：
因a与b垂直，所以a·b=0，即{3，4，-2}·{2,1,k}=0 6+4-2k=0,解得k=5 例10设向量︱a︱=1，︱b︱=2，︱a+b︱=3，则a·b= 解：
设a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2}， 222则x1?
y1?
z1?
1,222x2?
y2?
z2?
2 222︱a+b︱=（x1?
x2）?
（y1?
y2）?
（z1?
z2） 222222 =（x1?
y1?
z1）?
（x2?
y2?
z2）?
2（x1x2?
y1y2?
z1z2） =5?
2（x1x2?
y1y2?
z1z2）?
3解得x1x2?
y1y2?
z1z2?
?
1a·b=x1x2?
y1y2?
z1z2?
?
1 例11设︱a︱=1，a⊥b，则a·= 2 解：
因a⊥b，所以a·b=0，a·=a·a+a·b=︱a︱=1例12已知a，b均为单位向量，且a·b= 1，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为2 211?
，cos（a,b）=,a,b=223解：
因a，b均为单位向量，所以︱a︱=︱b︱=1 a·b=︱a︱︱b︱cos（a,b）= 平行四边形的面积=︱a×b︱=︱a︱︱b︱sin（a,b） =sin?
3?
32例13设a={1，2，3}，b={3，2，4}，则a×b= A、{2，5，4}B、{2，-5，-4}A、{2，5，-4}A、{-2，-5，4} 5
i解：
a×b?
jk223?
{2,5,?
4}413三、平面与直线平面1、平面方程 平面的点法式方程：
平面过点M0,以n={A,B,C}为法向量，方 程为：
A+B+C=0平面的一般方程：
Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n={A,B,C} 平面的截距式方程：
xyz?
?
?
1特殊的平面方程：
过原点的平面方程：
Ax+By+Cz=0 平行于oz轴的平面方程：
Ax+By+D=0过oz轴的平面方程：
Ax+By=0 平行于坐标平面xoy的平面方程：
Cz+D=0 说明：
过其他轴及平面的方程，可仿照上述方程写出。
两平面的位置关系：
设两个平面的方程分别为?
1：
A1x+B1y+C1z+D1=0 ?
2：
A2x+B2y+C2z+D2=0：
A1A2+B1B2+C1C2=0?
1⊥?
2：
?
1∥?
2 A1B1C1?
?
A2B2C2A1B1C1D1?
?
?
A2B2C2D2：
?
1与?
2重合 4、建立平面方程 已知平面上的一点M0,以及法向量n={A,B,C}，可直接写出点法 式方程。
过点M及M0，即可写出点法式方程。
过点M0作垂直于向量{A，B，C}的平面方程，取n={A,B,C}及M0 ，即可写出点法式方程。
过点M1M2M0的平面方程，设所求平面方程 为Ax+By+Cz+D=0，将已给三点的坐标代入，得到一个以A，B，C，D为未知量的方程组，求出A，B，C，D即得所求平面方程。
例1平面过点P且平行平面x-2y-3z+1=0，求此平面的方程。
解：
已知平面的法向量为：
n={1,-2,-3}，即为所求平面的法向量 所以，1-2（y-1）-3（z-5）=0 即所求平面的方程为：
x-2y-3z+20=0 例2求通过不在一条直线上的三点P1，P2，和P3的 平面方程。
解：
法一：
所求平面的法向量应垂直P1P2，P1P3 P1P2={-2，-2，-3}，P1P3={2，-2，-2} ijk n?
?
2?
2?
3?
{?
2,?
10,8} 2?
2?
2 所以平面方程为：
-2（x-1）-10（y-2）+8（z-3）=0（点法式） 即x+5y-4z+1=0 法二：
设所求平面方程为：
A（x-1）+B（y-2）+C（z-3）=0 因平面过P2，P3点，代入方程得：
2A+2B+3C=0①A-B-C=0②①，②联立解得A?
?
B?
?
1C45C，代入所设方程，消去C得所求平面方程为：
x+5y-4z+1=04 法三：
设所求平面方程为：
Ax+By+Cz+D=0（一般式） 用P1，P2，P3的坐标代入得A+2B+3C+D=0,-A+D=0,3A+C+D=0，联立解得A=D，B=5D， C=-4D，代入所设方程得：
Dx+5Dy-4Dz+D=0,即x+5y-4z+1=0 例3平面过原点，且垂直于平面x+2y+3z-2=0,也垂直于平面6x-y+5z+23=0,求此平面 方程。
i解：
所求平面的法向量n=n1×n2=1j2k3?
13{1,1,?
1} 6?
15 所求平面方程为：
x+y-z=0例4设平面过点，且在三个坐标轴上的截距相等，求这个平面方程。
解：
设这个平面方程为：
程为：
x+y+z-2=0 直线 1、直线方程 标准方程：
过点M 的直线方程：
xyz?
?
?
1，用代入得a=2,故所求平面方aaax?
x0y?
y0z?
z0?
?
mnpA1x+B1y+C1z+D1=0（其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例）A2x+B2y+C2z+D2=0一般方程：
7 参数式方程：
（t为参数）x=x0+mt y=y0+nt 说明：
直线过M0点，方向向量为s={m,n,p} z=z0+pt2、两直线间的位置关系：
设两直线的方程分别为：
l1:
x?
x1y?
y1z?
z1?
?
m1n1p1x?
x2y?
y2z?
z2?
?
m2n2p2 l2:
：
m1m2?
n1n2?
p1p?
02l1?
l2：
l1∥l2 m1n1p?
?
1m2n2p2例5求过两点A，B的直线方程。
解：
取s=AB={-1，5，2} 所求直线方程为：
xy?
3z?
2?
?
?
152 例6将直线L的一般方程 x+2y-3z-5=0化为标准方程。
解：
直线的方向向量垂直于两平面的法向，取n1={1，2，-3} x-2y-z+7=0ijk n2={1，-2，-1}，s=12?
3?
?
2{4,1,2}①求出方向向量 1?
2?
1 令z=0,解得x=-1,y=3②求出一点的坐标 所求直线方程为：
x-y+z+5=0例7过点且平行于直线 的直线方程。
x?
1y?
3z?
?
412ijk3x-8y+4z+36=0解：
已知直线的方向向量为：
s=1?
11?
{4,?
1,?
5}（方向向量垂直于两平面的法向3?
84量） 所求直线与s平行，且过点，故其方程为：
xy?
3z?
2?
?
4?
1?
53、直线l1与平面?
间的位置关系：
设直线与平面的方程分别为：
l:
x?
x0y?
y0z?
z0?
?
mnp8 ?
:
Ax?
By?
Cz?
D?
0：
l1?
?
ABC?
?
mnp：
Am?
Bn?
Cp?
0l1∥?
Am+Bn+Cp=0Ax0+By0+Cz0+D=0（x0,y0,z0,为直线上的点） l1落在?
上：
4、直线方程与平面方程的区别：
直线方程用连等式或方程组表示；平面方程为一个三元一次方程。
例8求过两点P1和P2且与直线平面方程。
解：
已知直线的方向向量s={2,-1,1},P2P1={3,-1,-4} x?
3y?
5z?
4?
?
平行的2?
11i 所求平面的法向量n=2jk?
11?
{5,11,1} 3?
1?
4 所求平面方程为：
5（x-1）+11y+1（z+1）=0 即5x+11y+z-4=0 例9求过点P且垂直于平面2x-y+3z+1=0的直线方程。
解：
方向向量s平行于n,取s=n={2,-1,3} 所求直线方程为：
x?
1y?
2z?
1?
?
2?
13例10直线L通过一个定点P且同时与平面x-2y+5z-1=0及3z-y-x=0平行， 求L的方程。
解：
已知条件知，L的方向向量同时垂直于两平面的法向量，故有：
is=1jk?
25?
{?
1,?
8,?
3} xy?
1z?
2?
?
183?
1?
13 所求直线方程为：
例11判定平面x-y+2z=1及-3x+3y-6z=2的位置关系。
解：
已知条件知：
A1=1，B1=-1，C1=2；A2=-3，B1=3，C1=-6 所以， A1B1C11?
?
?
?
A2B2C23x?
1y?
1z?
2x?
1yz?
2?
?
l2:
?
?
的位置关系。
1?
12?
1119 故知两平面平行。
例12判定两直线l1:
解：
已知条件知：
m1=1,n1=-1p1=2；m2=-1,n2=1p2=1； m1m2+n1n2+p1p2=-1-1+2=0 所以l1?
l2例13判定直线L：
x?
2y?
2z?
3?
?
及π：
4x-2y-2z=3的位置关系。
?
2?
73解：
已知条件知：
s={-2,-7,3},n={4,-2,-2} 则s·n=（-2）4+（-1）（-2）+3（-2）=0（方向向量与法向量垂直） 所以，L∥π，于M0=（2,-2,3）在直线L上，代入π的方程可得4×2-2×（-2）-2× 3=6≠3,即M0不在平面上，故知直线L平行于平面π但不在平面π上。
例14求平面2x-3y-z+12=0在三个坐标轴上的截距。
解：
平面2x-3y-z+12=0可得：
xyz?
?
?
1?
6412 故在x,y,z三个坐标轴上的截距分别为：
-6，4，12 例15过点且与平面x+2z=1及平面y-3z=2都平行的直线方程。
解：
所求直线的方向向量与平面x+2z=1及平面y-3z=2法向量都垂直，故 is=1j0k2?
{?
2,3,1}，且过点，故其方程为：
01?
3 xy?
2z?
4?
?
?
231例16求直线解：
设 x?
3y?
2z?
?
与平面x+2y+2z+6=0的交点。
3?
21x?
3y?
2z?
?
?
t，则x=3t-3,y=-2t-2,z=t代入平面方程得：
3?
21+2+2t+6=0,解得t=1,故直线与与平面的交点坐标为：
x=0,y=-4,z=1,即 例17求过点A，且通过直线 x?
4y?
3z?
?
的平面方程。
521解：
直线上的点为在平面上，AB={1，-4，2}，设所求平面的法向量为n，则n ⊥AB，n⊥s,故有 i5j2k2?
{?
8,9,22} 1 n=1?
4 所求平面方程为：
-8（x-3）+9（y-1）+22（z+2）=0 即8x-9y-22z-59=0 例18求过点A且垂直于直线L：
xyz?
?
，又与平面π：
7x+8y+9z+10=0456平行的直线方程。
解：
设所求直线的方向向量为s，已知直线的方向向量s1={4，5，6}，已知平面的法向量为 10
n={7，8，9}，故有 i s=n×s1=4j58k6?
?
3{1,?
2,1}，所以，所求直线方程为：
97 x?
1y?
2z?
3?
?
1?
21例19求过点M且与两平面x-y+z-7=0,4x-3y+z-6=0都平行的直线方程。
解：
设所求直线的方向向量为s，则s垂直两平面的法向量，故有 ijk s=1?
11?
{1,3,1}，所以，所求直线方程为：
4?
31x?
3y?
1z?
2?
?
231x+y+z+2=0例20求过点且垂直于直线 的平面方程。
解：
设所求平面的法向量为n，则n垂直于两平面的法向量，故有2x-y+z+1=0 i n=1j1k1?
{2,1,?
3}，所以，所求平面方程为：
2?
112（x-1）+（y-2）-3（z-3）=0,即2x+y-3z+5=0例21已知平面π过三点A，B，C，求过点且垂直于平面π的直线方程。
解：
法一：
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,代入A，B，C点的坐标得：
DDD,B?
?
C?
?
，所以平面方程为：
15x+10y+6z-30=0,则235x?
1y?
2z?
1?
?
s=n={15，10，6}，所以，所求直线方程为：
15106A?
?
法二：
因AB={-2,3,0}，BC={0,-3,5}， ijk0?
{15,10,6}，所以，所求直线方程为：
则s=AB×BC?
?
230?
35 x?
1y?
2z?
1?
?
151065、建立直线方程确定直线上的一点M0及直线的方向向量s={m,n,p}，建立标准式方程。
作过点M0且垂直于平面?
:
Ax?
By?
Cz?
D?
0的直线方程：
取M0及方向向量s={A,B,C}，即可建立标准式方程。
作过点M1，M2的直线方程：
取M0=M1 ）及方向向量s={x2-x1,y2-y1,z2-z1},即可建立标准式方程。
找到直线所在的两个平面，这两个平面方程联立就是所求的直线方程。
建立过已知点M0且与直线l:
x?
x1y?
y1z?
z1垂直的平面?
?
mnp方程，用点法式：
即m（x-x0）+n（y-y0）+p（z-z0）=0 三、简单的二次曲面 1、曲面方程：
F（x,y,z）=0为二次方程时，它所表示的曲面称为二次曲面。
2、柱面方程 F（x,y）=0表示母线平行于oz轴的柱面，则称其为柱面方程。
F（y,z）=0表示母线平行于ox轴的柱面，则称其为柱面方程。
F（x,z）=0表示母线平行于oy轴的柱面，则称其为柱面方程。
说明：
方程中的三个未知量x,y,z中，缺者为平行于该轴的柱面。
222 x+y-a=0表示母线平行于oz轴的圆柱面方程。
222 y+z-b=0表示母线平行于ox轴的圆柱面方程。
222 x+z-c=0表示母线平行于oy轴的圆柱面方程。
3、球面方程 2222 （x-a）+（y-b）+（z-c）=R表示球心在（a,b,c）,半径为R的球面方程。
4、椭球面方程 x2y2z22?
2?
2?
1表示中心在原点的椭球面方程。
abc5、锥面方程 x2y2z2?
?
?
1表示顶点在原点，oz轴为对称轴的锥面方程。
a2b2c2说明：
负项表示对称轴。
6、以坐标轴为旋转轴的旋转面方程 设在yoz坐标面上曲线c的方程为f（y,z）=0,绕z轴旋转方程为 f（?
x2?
y2,z）?
0；绕y轴旋转方程为f（y,?
x?
z）?
0 7、旋转抛物面 若f（y,z）=0为yoz面上的抛物线，则前述旋转面方程称为旋转抛物面方程。
例22求下列曲面方程 在xoy平面上的直线y=2x绕x轴旋转的旋转曲面方程； 2 在xoz平面上的曲线x=2z绕x轴旋转的旋转曲面方程；解：
绕x轴旋转，x不变，方程中的y换成?
即4x=y+z 绕x轴旋转，x不变，方程中的z换成?
2 2 2 z2?
y2,得?
z2?
y2?
2x z2?
y2,得x?
2（y2?
z2） 12
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