17年江苏省高数复习资料第七单元 向量代数 空间解析几何.docx

1、17年江苏省高数复习资料第七单元 向量代数 空间解析几何2017年江苏省高数复习资料第七单元 向量代数 空间解析几何第七单元向量代数 空间解析几何 一、 向量概念及其加、减法和数乘运算 1、两点A, B之间的距离 d?(x2?x1)2?(y2?y1)2 AB 2、向量的定义：既有大小，又有方向的量。记作：或a (x2?x1)?(y2?y1)向量的模：?AB AB 0向量：模为0的向量。记作：0 单位向量：模为1的向量。记作：a，a?0220aa 03、两向量相等：方向相同，模相等。记作：a=b 4、加法运算：a+b=b+a(交换律)(a+b)+c = a+(b+c)5、数与向量的积：记作aa的

2、模：a=aa的方向：当0时，与a同向，当设向量的起点为M1,终点为M2,则 = (x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k M1M2 222 M1M2 =(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 7、基本单位向量：三个坐标轴上正方向上的单位向量i，j，k 8、向量的加、减法与数乘运算 a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzkab =i+j +ka = (ax)i + (ay)j + (az) k 例1 设向量a=8i+9j-12k，其始点坐标为A 求其终点B的坐标 如取向量a方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标 解：设终点坐标为B,则

3、有=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k，令 = a，即 AB AB8i+9j-12k=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k，所以有：x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5故终点坐标为B 与a同向的单位向量为： a=aa=08i?9j?12k82?92?(?12)2?1(8i?9j?12k) 17与a同向的模为34的向量为： 0b=34a=16i+18j-24k 设其终点坐标为B,仿得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17 故终点坐标为B 9、方向角与方向余弦 向量a分别与x、y、z三个坐标轴的正向不超过?

4、的夹角，用、表示，则22称他们为向量a的方向角，cos、cos、 cos称为方向余弦，且cos+cos2+cos=1 10、单位向量的三角表示法 0a=icos+jcos+kcos 11、方向余弦的计算 设向量a的坐标表示为：a= xi +yj +zk，则cos?aazx?xx?y?zzx?y?z222222,cos?ay?yx?y?z222 cos? 00 例2 设向量a =x,y,z的方向角=60，=60且a=3，问这种向量有几个，求之。 222 解：设第三个方向角为，则cos+cos+cos=1得cos=1-cos60-cos60=的向量也有两个： a =aa= 3=0 220201?3

5、?2，cos=?,这样的有两个子与，所以这样44223332i+j+k 222 或 a =3332i+j-k (单位向量的三角表示式) 222例3 设一向量与x轴及y轴的夹角相等,而与z轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向余弦. 解: 设该向量与x、y轴的夹角为，则与z轴的夹角为2， 222222所以cos+cos+cos2=1,2cos+(2cos-1)=1 即4cos-2cos=0,解得cos=0或cos?422?2,?4 所以方向余弦为0，0，-1或22,0 22二、 数量积和向量积的计算及应用 1、数量积：ab=abcos, 为一数量为a与b的夹角，? 运算性质：ab= ba(交换律

6、) a= ab + ac (分配律) 2 (ab)= (a)b = a(b) (结合律) 2、两向量间的位置关系 向量a在向量b上的投影： ab= acos(a,b)或记作Prjba 平行：ab ? a=b或b=a或a+b=0 垂直：ab ? ab=0 运算性质：ab = - ba a= ab + ac (a) b =(ab) = a(b) 计算方法：a = x1,y1,z1, b = x2,y2,z2,则i j k ab = x1 y1z1 (为一向量)x2 y2z2 4、两向量平行的充分必要条件ab = 0 即axayazx1y1z1 ?,或?x2y2z2bxbybz 5、基本单位向量的点

7、、叉积关系 ii = jj = kk = 1,ij = jk = kI = 0,2 3 a1 b1 c1a1 b1 a2 b2 c2a2 b2 =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1c2b3-b1a2c3 a3 b3 c3a3 b3 三条实斜线为主对角线，三条虚斜线为次对角线。 计算方法：主对角线上三个元素之积的和减去次对角线上三个元素之积的和a1 b1 c1 a2 b2 c2a3 b3 c3例4 设a =-1，2，-2，b =1，-3，4,试计算a b，a b， (a+b) (a-b),cos(a,b) 解: a b = x1x2+y1y2+z1z2=(-1) 1+2

8、(-3)+(-2) 4 = -15 ijkijkab = x1y1z1?12?2?2i?2j?k x2y2z2ijk2?4,?4,?2 1?34(a+b)(a-b)= 0，-1， 2-2，5，-6 ?0?1?25?6cos(a,b)=a?bab?15(?1)2?22?(?2)212?(?3)2?42?526 26例5 已知四个点A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3),求 ABC的面积. 解: ABC面积应为以 为邻边的平行四边形面积的一半. AB AC =3,4,-1,=2,3,5 AC AB ijkAC 34?AB ?1?23,?17,1 523 ABC面

9、积=11391=AC 232?(?17)2?12?AB 222 例6 求与向量a =2,-1,2平行且满足ab =-18的向量b 2222 解:设b=a,则ab=a=(2+(-1)+2)=-18 解得=-2,即设b=-4,2,-4 例7 在xoy平面上求一个垂直于向量a=5,-3,4且与a等长的向量b 解: 因b在xoy平面,可设b=x,y,0,则 222222 a b=5x-3y=0,b=x+y=5+(-3)+4=50 (a=b)上两方程联立解得x?1517,y?2517 4 b=?1517,?2517,0 例8 已知a=m,5,-1, b=3,1,n互相平行,求m,n 解: 因ab,所以有

10、m5?11?,解得m=15,n? 31n5 例9 设向量a=3，4，-2，b=2,1,k,若a与b垂直，则k=( 5) (05、10) 解：因a与b垂直，所以ab = 0，即3，4，-22,1,k=06+4-2k=0,解得k=5 例10 设向量a=1，b=2，a+b=3，则ab = 解：设a = x1,y1,z1, b = x2,y2,z2， 222则x1?y1?z1?1,222x2?y2?z2?2 222a+b=(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2) 222222=(x1?y1?z1)?(x2?y2?z2)?2(x1x2?y1y2?z1z2) =5?2(x1x2?y1y2?z1z2)

11、?3 解得 x1x2?y1y2?z1z2?1 ab = x1x2?y1y2?z1z2?1 例11 设a=1，ab，则a=2解：因ab，所以ab =0，a= aa+ab=a=1 例12 已知a，b均为单位向量，且ab=1，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为 2211?，cos(a,b)=, a,b= 223解：因a，b均为单位向量，所以a=b=1 ab=abcos(a,b)=平行四边形的面积=ab=absin(a,b) =sin?3?3 2例13 设a=1，2，3，b=3，2，4，则ab= A、2，5，4 B、2，-5，-4 A、2，5，-4 A、-2，-5，4 5 i解：ab?jk223

12、?2,5,?4 413三、 平面与直线 平面 1、 平面方程 平面的点法式方程：平面过点M0,以n=A,B,C 为法向量，方程为：A+ B+ C=0 平面的一般方程：Ax+ By+ Cz+D=0 ,其法向量为n=A,B,C 平面的截距式方程：xyz?1 特殊的平面方程： 过原点的平面方程：Ax+By+Cz=0 平行于oz轴的平面方程：Ax+By+D=0 过oz轴的平面方程：Ax+By =0 平行于坐标平面xoy的平面方程：Cz+D=0 说明：过其他轴及平面的方程，可仿照上述方程写出。 两平面的位置关系： 设两个平面的方程分别为?1：A1x+ B1y+ C1z+D1=0 ?2：A2x+ B2y+

13、 C2z+D2=0 ：A1 A2+ B1 B2+ C1 C2=0 ?1?2：?1?2A1B1C1 ?A2B2C2A1B1C1D1 ?A2B2C2D2：?1与?2重合4、 建立平面方程 已知平面上的一点M0,以及法向量n=A,B,C ，可直接写出点法式方程 。 过点 M及M0，即可写出点法式方程 。 过点 M0作垂直于向量A，B，C的平面方程，取n=A,B,C及M0，即可写出点法式方程 。 过点M1M2M0的平面方程，设所求平面方程为Ax+ By+ Cz+D=0，将已给三点的坐标代入，得到一个以A，B，C，D为未知量的方程组，求出A，B，C，D即得所求平面方程。 例1 平面过点P且平行平面x-2

14、y-3z+1=0，求此平面的方程。 解：已知平面的法向量为：n=1,-2,-3，即为所求平面的法向量所以，1-2(y-1)-3(z-5)=0即所求平面的方程为：x-2y-3z+20=0 例2 求通过不在一条直线上的三点P1，P2，和P3的平面方程。 解：法一：所求平面的法向量应垂直P1P2，P1P3P1P2=-2，-2，-3，P1P3=2，-2，-2 ijkn ?2?2?3?2,?10,8 2?2?2所以平面方程为：-2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 (点法式)即x+5y-4z+1=0 法二：设所求平面方程为：A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0因平面过P2，P3点，代入

15、方程得： 2A+2B+3C=0 A-B-C=0 ，联立解得A? B?1C 45C，代入所设方程，消去C得所求平面方程为：x+5y-4z+1=0 4法三：设所求平面方程为：Ax+By+Cz+D=0 (一般式) 用P1，P2，P3的坐标代入得A+2B+3C+D=0,-A+D=0,3A+C+D=0，联立解得A=D，B=5D，C=-4D，代入所设方程得：Dx+5Dy-4Dz+D=0,即x+5y-4z+1=0 例3 平面过原点，且垂直于平面x+2y+3z-2=0, 也垂直于平面6x-y+5z+23=0,求此平面方程。 i解：所求平面的法向量n=n1n2=1j2k3?131,1,?1 6?15所求平面方程

16、为：x+y-z=0 例4 设平面过点，且在三个坐标轴上的截距相等，求这个平面方程。 解：设这个平面方程为：程为：x+y+z-2=0 直线 1、直线方程 标准方程：过点M的直线方程：xyz?1，用代入得a=2, 故所求平面方aaax?x0y?y0z?z0 ?mnpA1x+B1y+C1z+D1=0 (其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例) A2x+B2y+C2z+D2=0 一般方程： 7 参数式方程：(t为参数) x=x0+mt y=y0+nt说明：直线过M0点，方向向量为s=m,n,p z=z0+pt 2、两直线间的位置关系： 设两直线的方程分别为：l1:x?x1y?y1z?z1 ?m

17、1n1p1x?x2y?y2z?z2 ?m2n2p2l2:： m1m2?n1n2?p1p?02 l1?l2： l1l2m1n1p?1 m2n2p2例5 求过两点A，B的直线方程。 解：取s=AB=-1，5，2所求直线方程为：xy?3z?2? ?152 例6 将直线L的一般方程x+2y-3z-5=0 化为标准方程。 解：直线的方向向量垂直于两平面的法向，取n1=1，2，-3 x-2y-z+7=0 ijkn2=1，-2，-1，s=12?3?24,1,2 求出方向向量 1?2?1令z=0,解得x=-1,y=3 求出一点的坐标所求直线方程为：x-y+z+5=0 例7 过点且平行于直线 的直线方程。 x?

18、1y?3z? 412ijk3x-8y+4z+36=0 解：已知直线的方向向量为：s=1?11?4,?1,?5(方向向量垂直于两平面的法向3?84量) 所求直线与s平行，且过点，故其方程为： xy?3z?2? 4?1?5 3、直线 l1与平面 ?间的位置关系： 设直线与平面的方程分别为：l:x?x0y?y0z?z0 ?mnp 8 ?:Ax?By?Cz?D?0 ：l1?ABC?mnp：Am?Bn?Cp?0 l1? Am+Bn+Cp=0 Ax0+By0+Cz0+D=0 (x0, y0, z0,为直线上的点) l1落在?上： 4、直线方程与平面方程的区别： 直线方程用连等式或方程组表示；平面方程为一个

19、三元一次方程。 例8 求过两点P1和P2且与直线平面方程。 解：已知直线的方向向量s=2,-1,1, P2 P1=3,-1,-4 x?3y?5z?4?平行的2?11i所求平面的法向量n=2jk?11?5,11,1 3?1?4所求平面方程为：5(x-1)+11y+1(z+1)=0 即5x+11y+z-4=0 例9 求过点P且垂直于平面2x-y+3z+1=0的直线方程。 解：方向向量s平行于n,取s=n=2,-1,3所求直线方程为：x?1y?2z?1? 2?13例10 直线L通过一个定点P且同时与平面x-2y+5z-1=0及3z-y-x=0平行，求L的方程。 解：已知条件知，L的方向向量同时垂直于

20、两平面的法向量，故有：is=1jk?25?1,?8,?3 xy?1z?2? 183?1?13所求直线方程为：例11 判定平面x-y+2z=1及-3x+3y-6z=2的位置关系。 解：已知条件知：A1=1，B1=-1， C1=2；A2=-3，B1=3， C1=-6所以，A1B1C11? A2B2C23x?1y?1z?2x?1yz?2?,l2:?的位置关系。 1?12?1119 故知两平面平行。 例12 判定两直线l1: 解：已知条件知：m1=1, n1=-1 p1=2；m2=-1, n2=1 p2=1；m1 m2+ n1 n2+ p1 p2=-1-1+2=0所以l1?l2 例13 判定直线L：x

21、?2y?2z?3?及：4x-2y-2z=3的位置关系。 ?2?73 解：已知条件知：s=-2,-7,3,n=4,-2,-2 则sn=(-2)4+(-1)(-2)+3(-2)=0 (方向向量与法向量垂直) 所以，L，于M0=(2,-2,3)在直线L上，代入的方程可得42-2(-2)-23=63,即M0不在平面上，故知直线L平行于平面但不在平面上。 例14 求平面2x-3y-z+12=0在三个坐标轴上的截距。 解：平面2x-3y-z+12=0可得： xyz?1 ?6412 故在x,y,z三个坐标轴上的截距分别为：-6，4，12 例15 过点且与平面x+2z=1及平面y-3z=2都平行的直线方程。

22、解：所求直线的方向向量与平面x+2z=1及平面y-3z=2法向量都垂直，故 is=1j0k2?2,3,1，且过点，故其方程为： 01?3xy?2z?4? ?231例 16 求直线解：设x?3y?2z?与平面x+2y+2z+6=0的交点。 3?21x?3y?2z?t，则x=3t-3,y=-2t-2,z=t代入平面方程得： 3?21+2+2t+6=0,解得 t=1,故直线与与平面的交点坐标为：x=0,y=-4,z=1,即例17 求过点A，且通过直线x?4y?3z?的平面方程。 521解：直线上的点为在平面上，AB=1，-4，2，设所求平面的法向量为n，则nAB，ns,故有 i5j2k2?8,9,2

23、2 1n=1?4所求平面方程为：-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0即 8x-9y-22z-59=0 例18 求过点A且垂直于直线L：xyz?，又与平面：7x+8y+9z+10=0456平行的直线方程。解：设所求直线的方向向量为s，已知直线的方向向量s1=4，5，6，已知平面的法向量为10 n=7，8，9，故有 is=ns1=4j58k6?31,?2,1，所以，所求直线方程为： 97x?1y?2z?3? 1?21例19 求过点M且与两平面x-y+z-7=0,4x-3y+z-6=0都平行的直线方程。 解：设所求直线的方向向量为s，则s垂直两平面的法向量，故有 ijks=1?11?1,

24、3,1，所以，所求直线方程为： 4?31x?3y?1z?2? 231x+y+z+2=0 例20 求过点且垂直于直线的平面方程。 解：设所求平面的法向量为n，则n垂直于两平面的法向量，故有2x-y+z+1=0 in=1j1k1?2,1,?3，所以，所求平面方程为： 2?112(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0,即 2x+y-3z+5=0 例21 已知平面过三点A，B，C，求过点且垂直于平面的直线方程。解：法一：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,代入A，B，C点的坐标得： DDD,B?,C?，所以平面方程为：15x+10y+6z-30=0,则 235x?1y?2z?1?s=n=15，10

25、，6，所以，所求直线方程为： 15106A?法二：因AB=-2,3,0，BC=0,-3,5， ijk0?15,10,6，所以，所求直线方程为： 则s=ABBC?230?35 x?1y?2z?1? 151065、建立直线方程 确定直线上的一点M0及直线的方向向量s=m,n,p，建立标准式方程。 作过点M0且垂直于平面?:Ax?By?Cz?D?0的直线方程：取M0及方向向量s=A,B,C，即可建立标准式方程。作过点M1，M2的直线方程：取M0= M1）及方向向量s=x2-x1, y2-y1, z2-z1,即可建立标准式方程。 找到直线所在的两个平面，这两个平面方程联立就是所求的直线方程。 建立过已

26、知点M0且与直线 l:x?x1y?y1z?z1垂直的平面?mnp方程，用点法式：即m(x-x0)+ n(y-y0)+p(z-z0)=0 三、简单的二次曲面 1、曲面方程：F(x,y,z)=0为二次方程时，它所表示的曲面称为二次曲面。 2、柱面方程 F(x,y)=0表示母线平行于oz轴的柱面，则称其为柱面方程。 F(y,z)=0表示母线平行于ox轴的柱面，则称其为柱面方程。F(x,z)=0表示母线平行于oy轴的柱面，则称其为柱面方程。 说明：方程中的三个未知量x,y,z中，缺者为平行于该轴的柱面。 222x+y-a=0表示母线平行于oz轴的圆柱面方程。 222y+z-b=0表示母线平行于ox轴的

27、圆柱面方程。 222x+z-c=0表示母线平行于oy轴的圆柱面方程。 3、球面方程 2222 (x-a)+(y-b)+(z-c)=R表示球心在(a,b,c),半径为R的球面方程。 4、椭球面方程 x2y2z2 2?2?2?1表示中心在原点的椭球面方程。 abc5、锥面方程 x2y2z2?1表示顶点在原点，oz轴为对称轴的锥面方程。 a2b2c2说明：负项表示对称轴。 6、以坐标轴为旋转轴的旋转面方程 设在yoz坐标面上曲线c的方程为f(y,z)=0,绕z轴旋转方程为f(?x2?y2,z)?0；绕y轴旋转方程为f(y,?x?z)?0 7、旋转抛物面 若f(y,z)=0为yoz面上的抛物线，则前述旋转面方程称为旋转抛物面方程。 例22 求下列曲面方程 在xoy平面上的直线y=2x绕x轴旋转的旋转曲面方程； 2 在xoz平面上的曲线x=2z绕x轴旋转的旋转曲面方程； 解：绕x轴旋转，x不变，方程中的y换成? 即4x=y+z 绕x轴旋转，x不变，方程中的z换成?222z2?y2,得?z2?y2?2x z2?y2,得x?2(y2?z2) 12