压轴题解题策略平行四边形的存在性问题.docx

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压轴题解题策略平行四边形的存在性问题

压轴题解题策略：

平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略

平行四边形的存在性问题解题策略

2015年9月13日星期日

专题攻略

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．

如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：

以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．

根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．

例题解析

例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

图1-1

【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．

由y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，得A（－3,0），C（0,3），P（－1,4）．

由于A（－3,0）

C（0,3），所以P（－1,4）

D1（2,7）．

由于C（0,3）

A（－3,0），所以P（－1,4）

D2（－4,1）．

由于P（－1,4）

C（0,3），所以A（－3,0）

D3（－2,－1）．

我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．

图1-2

例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P

在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

图2-1

【解析】在

P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．

由y＝－x2+2x＋3＝－（x＋1）（x－3），得A（－1，0），B（3，0）．

①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M（2，3）．

②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM

＝AB＝4．

所以点M的横坐标为4或－4．所以M（4,－5）或（－4,－21）．

我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．

图2-2图2-3图2-4

例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求

一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．

图3-1

【解析】由y＝－x＋4，得A（4,0），直线AB与坐标轴的夹角为45°．

在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．

如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C（2,2）关于OA的对称点D的坐标为（2,－2）．

如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：

如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B（0,4），那么正方形AOCD的顶点D的坐标为（4,4）．

如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C

和C′

，点C和C′向左平移4个单位得到点D

和D′

．

图3-2图3-3图3-4

例❹如图4-1，已知抛物线

与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为（0,－3），点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图4-1

【解析】C（－4,0）、E（0,－3）两点是确定的，点N的横坐标－2也是确定的．

以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：

①如图4-2，当CE为平行四边形的边时，由于C、E两点间的水平距离为4，所以M、N两点间的水平距离也为4，因此点M的横坐标为－6或2．

将x＝－6和x＝2分别代入抛物线的解析式，得M（－6,16）或（2,16）．

②如图4-3，当CE为平行四边形的对角线时，M为抛物线的顶点，所以M

．

图4-2图4-3

例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图5-1

【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a（x＋1）（x－3），得A（－1,0）．

由CD＝4AC，得xD＝4．所以D（4,5a）．

已知A（－1,0）、D（4,5a），xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：

①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平

移坐标．

由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q（－4,21a）．

由于A、

D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P（1,26a）．

根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋（26a）2＝82＋（16a）2．

整理，得7a2＝1．所以

．此时P

．

②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．

由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q（2,－3a）．

由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P（1,8a）．

再根据AD2＝PQ2，得52＋（5a）2＝12＋（11a）2．

整理，得4a2＝1．所以

．此时P

．

我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的

边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．

上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．

如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么

；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么

．

图5-2图5-3

例❻如图6-1，将抛物线c1：

沿x轴翻折，得到抛物线c2．

现将抛物线c1向左

平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？

若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图6-1

【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？

我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．

如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．

【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边

的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．

【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．

【解法三】在平移的过程中，

、

，M

，根据OA2＝OM2列方程（1＋m）2＝m2＋3．解得m＝1．

图6-2图6-3图6-4

例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．

（1）求证四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；

（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．

图7-1

【解析】

（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练

了．

（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH是矩形．

以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？

如图7-2．

如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．

如图

7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．

（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱

形．

过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．

在Rt△AOE中，∠OAE

＝60°，AO＝2，此时AE＝1．

又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．

图7-

2图7-3图7-4图7-5

例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0,m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．

（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；

（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．

图8-1

【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．

如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．

如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．

如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．

图8-2图8-3图8-4

您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？

如图8-5．

同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．

图8-5图8-6图8-7