狐狸与兔子数学模型的论文.docx

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狐狸与兔子数学模型的论文

狐狸与野兔（捕食者与被捕食者）问题

摘要

在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。

本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：

狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：

狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。

在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：

狐狸200只，野兔900只。

在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为

，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。

同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。

根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。

关键词：

组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法滞后反馈作用MATLAB自然平衡

一、问题重述

在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。

在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。

因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。

设t时刻它们的数量分别为y（t）和x（t），已知满足以下微分方程组

（1）   分析这两个物种的数量变化关系。

（2）   在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？

（3）  建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？

对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？

二、问题分析

自然状态下，影响一个物种数量的因素很多，比如：

自然选择、气候变化、自然灾害、物种的食物，物种的天敌，而本题中物种的数量变化只考虑部分因素：

物种的食物或物种的天敌，即捕食者与被捕食者。

先考虑理想状态，人类没有对物种进行捕猎，只考虑狐狸和野兔的数量变化关系，我们可以得知,狐狸和野兔的数量相互制约，相互依存，经过足够长的时间达到一种动态平衡。

然后考虑自然状态，人类对物种进行捕猎，人类对野兔进行捕猎，根据常识知，野兔的变化率会随着人类的捕获而相应减少，假设狐狸的变化率不会因为人类捕食野兔而改变，据此我们建立另一个微分方程组，由此方程组来分析人类对野兔进行捕猎会产生的后果；同样地，人类对狐狸进行捕猎，根据常识知，狐狸的变化率会随着人类的捕获而相应减少，假设野兔的变化率不会因为人类捕食狐狸而改变，据此我们建立另一个微分方程组，由此方程组来分析人类对狐狸进行捕猎会产生的后果。

我们还可以通过此模型来控制对野兔或狐狸的捕获量，使所要求物种的数量达到最大，也可以使其增长率达到最大。

三、模型假设

1.假设该生态系统中不存在其他生物的影响，即：

前两问只有狐狸和野兔之间的捕食和被捕食的关系，最后一问再考虑上人类对野兔或者狐狸的捕猎因素；

2.假设野兔的食物充足；

3.假设人类捕捉野兔时，狐狸的变化率不受人类活动的影响；

4.假设人类捕捉狐狸时，野兔的变化率不受人类活动的影响；

5.假设初始状态下狐狸和野兔的数量为300和800只。

6.假设人的数量不因狐狸和野兔的数量变化，即为常数，设为R。

四、模型建立与求解

1.对于给定的微分方程：

很难求出其解析解，我们在给定初值的情况下采用“3阶龙格-库塔算法”，其数值解并做出狐狸和野兔数量变化的图像。

“3阶龙格-库塔算法”：

令

我们采用的三阶R-K方法为：

其中：

利用MATLAB软件求解原方程的数值解，并得到狐狸和野兔数量随时间的变化图像为：

图1狐狸和野兔的数量随时间的变化情况

从图像可以看出，短时间内，狐狸的数量会随着野兔的数量的减少而减少、随野兔的数量的增加而增加，但存在“滞后”现象，即狐狸和野兔的数量变化不是同步的，狐狸数量的变化要滞后于野兔数量的变化。

而且，当狐狸的数量减少后，野兔的数量也会增加。

狐狸和野兔的数量就处于这种动态平衡中。

当时间足够长时，狐狸和野兔的数量就会趋于稳定。

下图即表现了这种平衡：

图2狐狸和野兔数量趋于稳定时的情况

2.当两个物种的数量达到平衡时，狐狸和野兔的数量变化率为0。

所以，令

解得：

即达到平衡时，狐狸的数量为200，野兔的数量为900.

图2也验证了这一结果。

3.

（1）模型一：

人们对野兔进行捕猎:

在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为

，可见狐狸对野兔的捕捉量与“狐狸和野兔的数量乘积成正比”，比例系数为0.02。

同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比”，又考虑到人类比狐狸聪明，而且具有捕猎工具的辅助，该比例系数应大于0.02，假设该系数为p（p>0.02），并设人的数量为R，则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为：

由

（2）知，达到平衡状态时，两个物种的变化率为零，

从而解得，

由结果可知，尽管人类对兔子进行逮捕，但达到平衡时，兔子的数量并没有减少，狐狸的数量却减少，这说明兔子是人和狐狸的食物，在食物一定的情况下，人捕获了一部分兔子，狐狸的食物就会相应减少，这导致了狐狸的数量减少。

因此，人类捕获兔子产生的结果是：

短时间内，兔子的数量会减少，而狐狸的数量会因兔子的减少而减少，经过足够长的时间，达到平衡时，兔子的数量不变，而由于人类的竞争，狐狸的数量减少。

（2）模型二：

人们对狐狸进行捕猎:

在没有人类捕猎的情况下，狐狸数量的变化率为：

，如果考虑人类对狐狸的捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比”，由于狐狸比兔子更难逮捕，所以比例系数应该小于p，假设比例系数为q（q

由

（2）知，达到平衡状态时，两个物种的变化率为零，从而解得，

由结果可知，尽管人类对狐狸进行逮捕，但达到平衡时，狐狸的数量并没有减少，兔子的数量却增加，这是因为兔子是狐狸的食物，人捕获了一部分狐狸，这导致了兔子数量增加。

因此，人类捕获狐狸产生的结果是：

短时间内，狐狸的数量会减少，而兔子的数量会因狐狸的减少而增加，经过足够长的时间，达到平衡时，狐狸的数量不变，而兔子的数量增加。

五、模型评价和改进

题目给定的模型和模型一、模型二都屏蔽了自然界中的其他生物因素和非生物因素，是在比较理想的条件进行建模的，这也符合许多学科的建模方法，把主要的精力放在我们所关心的因素上。

但在自然状态下，人类对其中一个物种进行捕猎，不仅仅影响到该物种的数量变化率，另一个物种的数量变化率也会相应的改变，所以上面建立的模型与实际情况并不完全相符，比如：

人类对狐狸进行捕猎，兔子的数量变化率会增大，因为它的“天敌”少了。

因此我们对上述模型一，模型二进行以下改进。

（1）对模型一的改进

人类捕获兔子，兔子的数量减少，从而狐狸的食物减少，因此狐狸也会相应的减少，假设因野兔被人类猎杀而导致的狐狸数量变化率为-f（x,y）,则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为：

在假设的条件下，狐狸仅以兔子为食，我们可以认为f（x,y）=m（pRx）,即：

“狐狸因人类猎杀野兔而导致的变化率”与“野兔因人类猎杀而导致的变化率”成正比，比例系数为m。

所以，模型变为:

此时，达到稳定时有：

（2）对模型二的改进

人类捕获狐狸，狐狸的数量减少，兔子的数量会因此增加，假设兔子的数量变化率的变化为g（x,y）,则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程应改为：

与上面的改进一样，我们假设g（x,y）=nqRy;

模型变为:

此时，达到稳定时有：

参考文献：

【1】李庆扬，科学计算方法基础，清华大学出版社，2006

【2】刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：

中国水利水电出版社，2005

【3】姜启源，数学模型，高等教育出版社，2003

【4】吴翔，吴孟达，成礼智编著，数学建模的理论与实践，国防科技大学出版社，1999

【5】马知恩著，种群生态学的数学建模与研究，安徽教育出版社，1996

【6】雷功炎，数学模型讲义，北京：

北京大学出版社，1999

附件：

1、求解原微分方程：

在MATLAB中建立原方程的rigid.m文件：

functiondy=rigid（t,y）

dy=zeros（2,1）;

dy

（1）=0.001*y

（1）*y

（2）-0.9*y

（1）;

dy

（2）=4*y

（2）-0.02*y

（1）*y

（2）;

执行指令：

[t,y]=ode23（'rigid',[050],[300800]）;

plot（t,y（:

1）,'r-',t,y（:

2）,'-'）;

legend（'狐狸','野兔'）;

便得到狐狸和野兔的数量变化曲线：

图1狐狸和野兔的数量变化情况

执行指令：

[t,y]=ode23（'rigid',[01000],[300800]）;

plot（t,y（:

1）,'r:

',t,y（:

2）,':

'）;

legend（'狐狸','野兔'）;

便得到狐狸和野兔的数量区域稳定时的图像：

图2狐狸和野兔数量趋于稳定时的图像