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1、狐狸与兔子数学模型的论文狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和

2、野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a”，在

3、这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡 一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组（1） 分析这两个物种的数量变化关系。（2） 在什么情况

4、下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？ 二、问题分析自然状态下，影响一个物种数量的因素很多，比如：自然选择、气候变化、自然灾害、物种的食物，物种的天敌，而本题中物种的数量变化只考虑部分因素：物种的食物或物种的天敌，即捕食者与被捕食者。先考虑理想状态，人类没有对物种进行捕猎，只考虑狐狸和野兔的数量变化关系，我们可以得知,狐狸和野兔的数量相互制约，相互依存，经过足够长的时间达到一种动态平衡。然后考虑自然状态，人类对物种进行捕猎，人类对野兔进行捕猎，根据常识知，野兔的变化率会随着人类的捕获而相应减少，假设狐狸的

5、变化率不会因为人类捕食野兔而改变，据此我们建立另一个微分方程组，由此方程组来分析人类对野兔进行捕猎会产生的后果；同样地，人类对狐狸进行捕猎，根据常识知，狐狸的变化率会随着人类的捕获而相应减少，假设野兔的变化率不会因为人类捕食狐狸而改变，据此我们建立另一个微分方程组，由此方程组来分析人类对狐狸进行捕猎会产生的后果。我们还可以通过此模型来控制对野兔或狐狸的捕获量，使所要求物种的数量达到最大，也可以使其增长率达到最大。三、模型假设1.假设该生态系统中不存在其他生物的影响，即：前两问只有狐狸和野兔之间的捕食和被捕食的关系，最后一问再考虑上人类对野兔或者狐狸的捕猎因素；2.假设野兔的食物充足；3.假设人

6、类捕捉野兔时，狐狸的变化率不受人类活动的影响；4.假设人类捕捉狐狸时，野兔的变化率不受人类活动的影响；5.假设初始状态下狐狸和野兔的数量为300和800只。6.假设人的数量不因狐狸和野兔的数量变化，即为常数，设为R。四、模型建立与求解1. 对于给定的微分方程： 很难求出其解析解，我们在给定初值的情况下采用“3阶龙格-库塔算法”，其数值解并做出狐狸和野兔数量变化的图像。“3阶龙格-库塔算法”： 令 我们采用的三阶R-K方法为： 其中： 利用MATLAB软件求解原方程的数值解，并得到狐狸和野兔数量随时间的变化图像为： 图1 狐狸和野兔的数量随时间的变化情况 从图像可以看出，短时间内，狐狸的数量会随

7、着野兔的数量的减少而减少、随野兔的数量的增加而增加，但存在“滞后”现象，即狐狸和野兔的数量变化不是同步的，狐狸数量的变化要滞后于野兔数量的变化。而且，当狐狸的数量减少后，野兔的数量也会增加。狐狸和野兔的数量就处于这种动态平衡中。当时间足够长时，狐狸和野兔的数量就会趋于稳定。下图即表现了这种平衡： 图2 狐狸和野兔数量趋于稳定时的情况2. 当两个物种的数量达到平衡时，狐狸和野兔的数量变化率为0。 所以，令 , 解得： 即达到平衡时，狐狸的数量为200，野兔的数量为900. 图2也验证了这一结果。3. (1) 模型一：人们对野兔进行捕猎:在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为，可见狐狸对野兔的

8、捕捉量与“狐狸和野兔的数量乘积成正比” ，比例系数为0.02。同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比”，又考虑到人类比狐狸聪明，而且具有捕猎工具的辅助，该比例系数应大于0.02，假设该系数为p(p0.02)，并设人的数量为R，则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为：由(2)知，达到平衡状态时，两个物种的变化率为零，从而解得，由结果可知，尽管人类对兔子进行逮捕，但达到平衡时，兔子的数量并没有减少，狐狸的数量却减少，这说明兔子是人和狐狸的食物，在食物一定的情况下，人捕获了一部分兔子，狐狸的食物就会相应减少，这导致了狐狸的数量减少。因此，人类捕获兔子产

9、生的结果是：短时间内，兔子的数量会减少，而狐狸的数量会因兔子的减少而减少，经过足够长的时间，达到平衡时，兔子的数量不变，而由于人类的竞争，狐狸的数量减少。(2) 模型二： 人们对狐狸进行捕猎:在没有人类捕猎的情况下，狐狸数量的变化率为：，如果考虑人类对狐狸的捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比”，由于狐狸比兔子更难逮捕，所以比例系数应该小于p，假设比例系数为q(qp), 则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为由(2)知，达到平衡状态时，两个物种的变化率为零，从而解得，由结果可知，尽管人类对狐狸进行逮捕，但达到平衡时，狐狸的数量并没有减少，兔子的数量却增加，这是因为兔子是

10、狐狸的食物，人捕获了一部分狐狸，这导致了兔子数量增加。因此，人类捕获狐狸产生的结果是：短时间内，狐狸的数量会减少，而兔子的数量会因狐狸的减少而增加，经过足够长的时间，达到平衡时，狐狸的数量不变，而兔子的数量增加。五、模型评价和改进题目给定的模型和模型一、模型二都屏蔽了自然界中的其他生物因素和非生物因素，是在比较理想的条件进行建模的，这也符合许多学科的建模方法，把主要的精力放在我们所关心的因素上。但在自然状态下，人类对其中一个物种进行捕猎，不仅仅影响到该物种的数量变化率，另一个物种的数量变化率也会相应的改变，所以上面建立的模型与实际情况并不完全相符，比如：人类对狐狸进行捕猎，兔子的数量变化率会增

11、大，因为它的“天敌”少了。因此我们对上述模型一，模型二进行以下改进。(1) 对模型一的改进人类捕获兔子，兔子的数量减少，从而狐狸的食物减少，因此狐狸也会相应的减少，假设因野兔被人类猎杀而导致的狐狸数量变化率为-f(x,y), 则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为：在假设的条件下，狐狸仅以兔子为食，我们可以认为f(x,y)=m(pRx),即：“狐狸因人类猎杀野兔而导致的变化率”与“野兔因人类猎杀而导致的变化率”成正比，比例系数为m。所以，模型变为:此时，达到稳定时有： (2) 对模型二的改进人类捕获狐狸，狐狸的数量减少，兔子的数量会因此增加，假设兔子的数量变化率的变化为g(x,y), 则兔子和

12、狐狸的变化率满足的微分方程应改为：与上面的改进一样，我们假设g(x,y)=nqRy;模型变为:此时，达到稳定时有：参考文献：【1】李庆扬，科学计算方法基础，清华大学出版社，2006【2】刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水利水电出版社，2005【3】姜启源，数学模型，高等教育出版社，2003【4】吴翔，吴孟达，成礼智编著，数学建模的理论与实践，国防科技大学出版社，1999【5】马知恩著，种群生态学的数学建模与研究，安徽教育出版社，1996 【6】雷功炎，数学模型讲义，北京：北京大学出版社，1999 附件：1、求解原微分方程：在MATLAB中建立原方程的rigid.m文件：functi

13、on dy=rigid(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=0.001*y(1)*y(2)-0.9*y(1);dy(2)=4*y(2)-0.02*y(1)*y(2); 执行指令：t,y=ode23(rigid,0 50,300 800);plot(t,y(:,1),r-,t,y(:,2),-);legend(狐狸,野兔);便得到狐狸和野兔的数量变化曲线：图1 狐狸和野兔的数量变化情况执行指令：t,y=ode23(rigid,0 1000,300 800);plot(t,y(:,1),r:,t,y(:,2),:);legend(狐狸,野兔);便得到狐狸和野兔的数量区域稳定时的图像：图2 狐狸和野兔数量趋于稳定时的图像