大学物理78章答案详解.docx

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大学物理78章答案详解

第七章　　真空中的静电场

7－1在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：

如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力

将相互抵消，单位正电荷所受的力为

＝

方向由q指向-4q。

7－2如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。

（1）求棒的延长线上任一点P的场强；

（2）求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。

解：

（1）如图7－2图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝d，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则

则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为

＝

方向沿轴正向。

（2）如图7－2图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y

，

因

，

代入上式，则

＝

，方向沿x轴负向。

＝

7－3一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。

解：

如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq=Rd。

对称分析Ey=0。

，如图，方向沿x轴正向。

7－4如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：

在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，

两线间的相互作用力为

如图，方向沿x轴正向。

7－5两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？

解：

设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为

相互作用力最大的条件为

由上式可得：

Q=2q，q=Q/2

7－6一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：

将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为

dq在o点产生的电场据（7－10）式为

，

。

如图，方向沿y轴负向。

7－7设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：

如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2，

成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，

即

7－8求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。

解：

由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。

在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。

对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为

r

0

R

习题7－18图

得

（r

（r>R）

7－9如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。

解:

带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。

对底面积为A，高度分别为xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有

得

7－10一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为

，ρ0为常数。

求场强分布。

解：

据高斯定理有

时：

时：

7－11带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。

（1）球壳的电荷及电势分布；

（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；

（3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。

解：

（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。

据（7－23）式的结论得：

（2）

（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。

得：

7－12一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r（2r

证明：

利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为

o

o/

p

r2

r1

习题7－12图

E=E1+E2=

上式是恒矢量，得证。

7－13一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1、R2，且电荷面密度为σ。

一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。

若质子到达O点时的速度恰好为零，试求质子位于P点时的动能EK。

（已知质子的带电量为e，忽略重力的影响，OP=L）

解：

圆环中心的电势为

圆环轴线上p点的电势为

质子到达O点时的速度恰好为零有

=

7－14有一半径为R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（L>R），细线近端离球心的距离为L。

设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。

解：

在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为

电荷元的电势能为:

细线在带电球面的电场中的电势能为：

*7－15半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。

过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。

试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。

解：

P到盘心的距离为L，p点的电势为

p

圆盘轴线上任意点的电势为

利用电场强度与电势的梯度关系得：

P到盘心的距离为L，p点的电场强度为：

7－16两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。

求：

（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；

（2）两球面间的电势差为多少？

解：

（1）据（7－23）式的结论得各区城电势分布为

（2）两球面间的电势差为

7－17一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。

解：

据高斯定理有

时：

时，V=0，则

时：

时：

空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。

7－18两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：

（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？

（2）两圆柱面之间的电场强度。

解：

设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为

习题7－18图

r

o

两圆柱面之间的电势差为

由上式可得：

所以

7－19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为

30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水，则可融化多少冰?

（冰的熔

解热为3.34×105J﹒kg-1）

解：

两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，其电势能为

上式释放出来的能量可融化冰的质量为：

8.98×104kg

7－20在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。

（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?

（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？

解：

电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为

（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：

（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为：

电子的总能量为：

第八章静电场中的导体与电介质

8－1点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl和R2，试求，电场强度和电势的分布。

解：

静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q电荷

在r

，

在R1

在r>R2的区域内:

8－2把一厚度为d的无限大金属板置于电场强度为E0的匀强电场中，E0与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度。

解：

静电平衡时，金属板内的电场为0，

金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比

所以有

8－3一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c，单位长度带有电荷量2，求

（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；

（2）求电场强度的分布。

解：

（1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为

（2）在r

E=0

在a

E

en

在r>b的区域内:

E

en

8－4三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。

如果A板带正电3.0×10－7C，略去边缘效应

（1）求B板和C板上感应电荷各为多少?

（2）以地为电势零点，求A板的电势。

解：

（1）设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒

原理和静电平衡条件，有

（1）

，

（2）

依题意VAB=VAC,即

＝

代入

（1）

（2）式得

q1＝1.0×10-7C，q2＝2.0×10-7C，qB＝－1.0×10-7C，qC=-q2＝－2.0×10-7C，

（2）

＝

=

2.3×103V

8－5半径为R1=l.0cm的导体球带电量为q=1.0×10－10C，球外有一个内外半径分别为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，壳带有电量Q=11×10－10C，如图所示，求

（1）两球的电势；

（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？

（以地为电势零点）

解：

静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q+Q电荷

（1）

代入数据

习题8－5图

q

-q

q+Q

＝3.3×102V

=2.7×102V

（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为

=2.7×102V

（3）外球接地时，两球电势各为

＝60V

8－6证明:

两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。

如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×10－8C和QB=4×10－8C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。

证：

设A板带电量为QA、两侧的电荷为q1、q2，

B板板带电量为QB、两侧的电荷为q3、q4。

由电荷守恒有

（1）

（2）

在A板与B板内部取两场点，金属板内部的电场为零有

，得

（3）

，得

（4）

联立上面4个方程得：

即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同，本题得证。

如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×10－8C和QB=4×10－8C，则

5.0×10－6C/m2,

1.0×10-6C/m2

8－7半径为R的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为D=3R处有一点电荷+q，试求金属球上的感应电荷。

解：

设金属球上的感应电荷为Q，金属球接地

电势为零，即

8－8一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长为b，间