基础数学专业硕士研究生培养方案.docx
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基础数学专业硕士研究生培养方案
基础数学专业硕士研究生培养方案
（专业代码：
070101）
一、学科概况
基础数学是数学科学的核心与基础部分。
基础数学包括数理逻辑、数论、代数、几何、拓朴、函数论、泛函分析和微分方程等分支学科。
当代数学的迅速发展使得这些分支学科间交叉与渗透的趋势日益明显，出现了许多新的研究领域和生长点。
基础数学不仅是其它应用性数学学科的基础，而且也是自然科学、技术科学及社会科学等所必不可少的语言、工具与方法。
高科技的发展及计算机的广泛应用为基础数学的研究提供了更广阔的应用前景。
二、培养目标
培养具有较高科研能力的数学研究工作者；培养合格的高等学校数学教师；培养高素质的经济管理及其他人才。
三、学习年限
三年
四、研究方向
A、半群代数理论
B、非线性常微分方程
C、环理论
D、发展方程
E、非线性泛函分析
F、实分析理论
五、课程设置（详见课程设置与教学计划表）
六、教学方式
课堂讲授
七、学位论文工作及学位授予
学位论文的起止时间为二年级下学期及三年级下学期，学位授予工作按学校统一安排执行。
基础数学专业硕士研究生课程设置与教学计划表
课程类别
课程名称
课程
编号
开课
学期
周
学
时
总
学
时
学
分
任课教师
姓名及职称
是否
学位课
公共课
必
修
课
科学社会主义理论与实践
0811201
一
4
80
3
政法学院
学位课
自然辩证法
0811203
第一外国语（英语）
0811204
一、二
4
160
4
外语学院
学位课
必选课
计算机应用基础
0820201
二
4
80
2
数信学院
基础
理论课
泛函分析续
0841201
一
3
60
3
陶双平副教授
学位课
代数拓扑学
0841202
二
3
60
3
刘建成副教授
学位课
近世代数
0841203
一
3
60
3
刘仲奎教授
学位课
常微分方程续
0841204
二
3
60
3
马如云教授
学位课
专
业
课
必
修
课
A
半群引论
0851201
二
3
60
3
王利民教授
学位课
模范畴理论
0851202
三、四
3
60
3
刘仲奎教授
学位课
有限群理论
0851203
二
3
60
3
杨永保副教授
学位课
B
非线性边值问题
0851204
三
3
60
3
马如云教授
学位课
非线性泛函分析
0851205
二
3
60
3
李永祥教授
学位课
线性方程的非线性扰动
0851206
三、四
3
60
3
马如云教授
学位课
C
半群引论
0551201
二
3
60
3
王利民教授
学位课
环理论
0851207
三
3
60
3
刘仲奎教授
学位课
模范畴理论
0851202
三、四
3
60
3
刘仲奎教授
学位课
D
Banach空间常微分方程
0851208
三
3
60
3
李永祥教授
学位课
非线性泛函分析
0851205
二
3
60
3
李永祥教授
学位课
线性算子群理论
0851209
四
3
60
3
李永祥教授
学位课
E
非线性泛函分析
0851205
二
3
60
3
李永祥教授
学位课
临界点理论
0851210
三
3
60
3
安天庆副教授
学位课
非线性边值问题
0851204
三
3
60
3
马如云教授
学位课
F
广义Riemann积分
0851211
一
3
60
3
马振民教授
学位课
积分理论
0851212
二
3
60
3
马振民教授
学位课
模糊分析学基础
0851213
三
3
60
3
巩增泰副教授
学位课
专
业
课
选修课（任选三）
论文选讲
0860201
五、六
3
60
2
马如云教授
抽象微分方程
0860202
四
3
60
2
李永祥教授
泛函方程
0860203
三
3
60
2
李永祥教授
拓扑度理论
0860204
四、五
3
60
2
马如云教授
二阶椭圆方程
0860205
四
3
60
2
安玉坤副教授
非光滑分析
0860206
五
3
60
2
马如云教授
码论
0860207
三、四
3
60
2
王利民教授
半群S-系理论
0860208
五
3
60
2
刘仲奎教授
半群簇理论
0860209
五
3
60
2
王利民教授
有限群构造
0860210
二
3
60
2
杨永保副教授
交换代数
0860211
四、五
3
60
2
刘仲奎教授
同调代数
0860212
五
3
60
2
刘仲奎教授
非线性发展方程
0860213
四
3
60
2
李永祥教授
非线性椭圆方程
0860214
四
3
60
2
伏升茂副教授
偏微L2理论
0860215
五
3
60
2
伏升茂副教授
实分析典型问题
0860216
三
3
60
2
马振民教授
Henstock积分与非连续系统
0860217
四
3
60
2
王才士副教授
非绝对模糊积分理论
0860218
四
3
60
2
巩增泰副教授
数学物理方程
0860241
三
3
60
2
伏升茂副教授
应用偏微分方程
0860242
四
3
60
2
伏升茂副教授
变分原理与变分不等式
0860243
四
3
60
2
安天庆副教授
教学实践
四
1
导师负责
总学分
37
基础数学专业硕士研究生学位课程
教学大纲
课程名称：
泛函分析续
课程编号：
0841201
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第一学期
任课教师：
陶双平副教授
考核方式：
考试（书面测验）
说明：
泛函分析是关于无穷维空间的结构及线性映象的理论，是现代数学的基础理论。
掌握泛函的理论、语言和方法，是了解当代数学的发展和从事数学研究所必需。
教学内容：
第一章度量空间
压缩映象原理、列紧集、完全有界集、紧致集及其关系，Arzela-Ascoli定理，线性赋范空间、数列型空间与函数型空间，Cooret空间Hm.p（Ω），有限维与无穷维空间的特性，最佳逼近，Riesz引理，凸集及其性质，Minkowski泛函，Brower不动点定理（不证明）Schauder不动点定理，关于初值问题解的存在性的Caratheodory定理，内积空间，Hilbert空间财H0m（Ω）规范不变基，Schauder基，Hilber空间中的最佳逼近。
第二章线性算子与线性泛函
有界线性算子，共轭空间，有界线性算子空间，Hilber空间上的下反投影算子，Hilber空间的Ries殊现定理，变分不等式简介。
纲集，Baire定理,[a,b]上处处不可微函数的全体为第二纲集,开映象定理Banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理，Banach-Steinhauss定理,Lax－Milgfam定理微扰定理，Hahn－Banach定理及应用
教材或主要参考书目：
张恭庆：
《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1990。
课程名称：
代数拓扑学
课程编号：
0841202
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第二学期
任课教师：
李建成副教授
考核方式：
考试（书面测验）
说明：
本课程讲授代数拓扑学中的基础知识——基本群的覆盖不同，单纯同调群及映射度理论。
教学内容：
第一章基本群的覆盖空间
1．同论
主要内容：
映射的同伦；相对同伦；拓扑空间的同伦等价；收缩核；形变收缩核；旋形收缩核等
2．基本群
主要内容：
道路类及其乘法，基本群的定义及简单性质
3．基本群的计算
主要内容：
S1的基本群，乘积空间的基本群，轨道空间的基本群，VanKanpen定理
4．覆盖空间的概念及基本性质
主要内容：
覆盖空间的定义与例子，覆盖空间的基本性质
5．映射提升定理
主要内容：
映射提升定理
6．覆盖空间的分类定理
主要内容：
覆盖空间的示性类，分类定理，覆盖空间的存在性
7．万有覆盖空间
主要内容；万有覆盖空间的概念，覆盖变换群及其性质，利用覆盖空间计算基本群
第二章单纯同调论
1．单纯复形与多面体
主要内容：
单纯复形，多面体与可剖分空间，复形的定向
2．单纯复形的同调体
主要内容：
链群的边缘同态，同调群的定义，复形的连续性的零维同调群的结构，计算同调群的一些例子
3．Sulur－Poinmer分式
主要内容：
整同调群的结构，Sulur示性数，Sulur－Poinmer分或
4．单纯映射的单纯逼近
主要内容：
单纯映射及其诱导同态，单纯逼近
5．单纯逼近定理的连续映射的诱导同态
主要内容：
重心重分和单纯逼近定理，重分连续映射与连续映射的诱导同态，调群的论型不变性
第三章映射度的不动点定理
1．球面映射的映射度
主要内容：
球面映射，映射度的概念，Borsuk－Ulam的定理
2．不动点定理
主要内容：
Borsuk不动点定理，Fefschetg数，Fefschetg不动点定理
第四章代数拓扑学的其它课题
本章简要介绍代数拓朴学的其它一些基本理论，主要内容有：
相对同调解，上同调解，奇异同调解，同伦群等。
对同调论合理，亦作一些介绍
教材及主要参考书目：
l．李元嘉等编：
《拓朴学》，上海科技出版社，1986。
2．江泽伍：
《拓朴学引论》，上海科技出版社，1978。
3．M．AAJr1Strottg：
《基础拓扑学》（中译本），北京大学出版社。
4．C．R．F．Maunder：
AophairTopologg，Foudon，1920．
课程名称：
近世代数
课程编号：
0841203
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第一学期
任课教师：
刘仲奎教授
考核方式：
考试（书面测验，课程论文）
说明：
本课程为数学系基础数学专业硕士研究生的学位课程，其目的是让基础数学专业硕士研究生掌握或了解近世代数的概念、基本理论框架和基本结果，为后继课程的学习或应用打下必要的基础。
教学内容：
第一章群
第一节半群、么半群和群
结合律，半群，单位元，么半群，群，逆元
第二节正规子群与同态
子群，正规子群，同态，自然同态
第三节同态基本定理
同态的核，商群，同态基本定理，同态的分解，第一、二同构定理
第四节循环群
循环群及其结构定理
第五节置换群
置换，置换群，交代群，群的表示定理。
第二章范畴理论简介
第一节范畴
范畴，态射，对象，函子，自然变换
第二节积和余积；
积，余积，泛性质，唯一性定理
第三节自由对象
具体范畴，自由对象，唯一性定理
第四节初始对象与终结对象
初始对象，终结对象，积，余积，自由对象的统一处理
第三章群范畴
第一节群范畴中的积
群范畴中的积，Abel群范畴中的积，卡氏积
第二节自由群
自由群的构造，自由群即为群范畴中的自由对象
第三节自由积
自由积的构造，自由积即为群范畴中的余积
第四节Abel群范畴中的余积
内直和，外直和，直和
第五节自由Abel群
基，线性无关集，结构定理
第六节有限生成Abel群
有限生成Abel群，结构定理
第四章环，域
第一节环与同态
加群、环，同态
第二节理想，同态基本定理
理想，商环，同态，同态基本定理
第三节多项式环与形式幂级数环
多项式环，形式幂级数环，因子分解
第四节矩阵环
矩阵环，左理想，右理想
第五节域
除环，整环，域
第六节域的扩张
有限扩张，扩域，代数扩域，单扩域
第七节伽罗华理论简介
教材或主要参考书目：
自编
课程名称：
常微分方程续
课程编号：
0841204
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第二学期
任课教师：
马如云教授
考核方式：
考试（书面测验，课程论文）
说明：
《常微分方程续》是为基础数学专业硕士研究生开设的学位课程之一，目的在于巩固和加强学生在大学《常微分方程》课本中学的基础知识，拓宽学生的知识视野，为后继课程的学习作准备。
教学内容：
第一章常微分方程一般理论
1．Ascoli-Arzela定理及一些常用不动点定理
2．常微分方程初值问题解的局部存在性定理、解的延展定理、唯一性定理、解对参数的连续依赖性定理
3．Corotheodory关于常微分方程初值问题的解的存在性和唯一性定理。
4常微分方程的初值问题和过值问题的若干实际背景j
第二章线性常微分方程边值问题
1．Sturm－Liouville型边值问题
2．一般方程组边值问题及Green矩阵
3．Creen函数及解的积分表示
4．二阶线性常微分方程边值问题的可解性定理
5．三阶线性常微分方程边值问题、四阶线性常微分方程边值问题及二阶线性常微分方程多点边值问题的基本概念和基础知识
6．一般方程组边值问题、Green矩阵及一些常用结果
第三章线性常微分方程特征值问题
1．StUrm－LiouVille特征值问题提法
2．特征值与函数的性质
3．Prufer变换、线性常微分方程特征值存在定理
4．内积空间、Hilbert空间及其正规直系的概念
5．紧致自共伴算子的特征值问题及一些常用结果
6．线性常微分方程的共振和非共振
7．Fredhole抉择
第四章稳定性理论基础
1．一般稳定性理论的概念、理论和方法
2．自治系统及其解的基本性质
3．理解周期解及其闭轨的概念
4．Polncare－Bednlxson定理
5．奇点附近的轨道分布情况
6．Lyapunov第二方法的基本定理
7．常微分方程研究中出现的混沌现象
教材或主要参考书目：
自编
课程名称：
半群引论
课程编号：
0851201
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第二学期
任课教师：
王利民教授
考核方式：
考试（书面狠攸）
说明：
本课程用一学期（60学时）的时间讲授半群代数理论的基本概念、基本结果与基本理论框架，为后继课程的学习打下必要的基础。
教学内容：
第一章基本概念
第一节半群
半群，子半群，生成元集
第二节单演半群
单演半群，指数，周期
第三节半格
有序集，半格，格
第四节等价关系
二元关系，等价关系
第五节同余
左同余，右同余，同余，商半群，同态基本定理
第六节Rees同余
理想，Rees同余，Rees商半群
第二章Green关系
第一节等价关系L，R，H，J，D
定义及基本性质
第二节D-类
D-类，蛋盒，D-类的结构
第三节正则D-类
正则D-类，Green定理
第四节正则半群
正则半群，Lallemen提升引理
第三章O-单半群
第一节单及O-单半群
单半群，O-单半群，主因子
第二节Rees定理
Rees矩阵半群，完全O-单半群的结构定理
第三节本原半群
本原幂等元，本原半群，幂等元的序
第四章群并
第一节群并，Clifford定理
第二节群的半格
Clifford半群，群的强半格，群的半格
第三节带
带，Petrich结构定理
第五章逆半群
第一节逆半群
定义及等价刻画，Vanger－Preston表示定理
第二节逆半群上的自然序
定义及性质
第三节逆半群上的同余
基本逆半群，幂等元分离同余
第四节基本逆半群
Munn半群，半群Cw
第五节反一致半格
一致半格，反一致半格，对逆半群的刻画
第六节双单逆半群
Bruck－Reilly扩张，Bruck－Reilly关于双单逆半群的结构定理，Munn构造理论
第七节单逆半群
双循环半群，单逆半群
第六章Orthodox半群
第一节Orthodox半群
定义及其基本性质
第二节Hall半群
Hall半群，Hall构造理论
第三节一致与反一致带
基本性质
第四节Orthodox半群的结构定理
Hall－Yamada半群，结构定理
教材或主要参考书目：
J.M.Howie,IntroductiontoSemigroupTheory,Academicpress.
课程名称：
模范畴理论
课程编号：
0851202
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第三、四学期
任课教师：
刘仲奎教授
考核方式：
考试（书面测验，课程论文）
说明：
环理论可分为古典环论与近代环论两部分。
古典环论以研究环的元素、理想、根基等为主要内容，例如Anin－Weddenburn定理以及Jacobson根基理论。
近代环论以研究环上的模理论为主要内容，涉及到许多同调概念，产生了很多杰出的理论与结果．本课程计划用80学时的时间，讲授模范畴理论的基本概念、基本理论框架与基本结果，以及某些分支方向上的最新研究成果。
通过本课程的学习，可以使学生接触现代的理论与前沿性的研究方向，为以后的科研工作打下基础。
教学内容：
第一章基本概念
第一节模
模，子模，理想
第二节子模的交与和
子模的交，子模的和，内直和，生成集，有限生成子模
第三节商模与商环
商模，商环，同态基本定理
第二章环与模的同态
第一节定义及简单性质
第二节环同态
第三节生成子与余生成予
生成子，余生成子，有限交性质
第四节同态的分解
同态的分解定理
第五节Jordan-Holder-Schreirer定理
合成序列，加细，Jordan-Holder-Schreire定理
第六节Hom的函子性质
Hom的定义，性质，特别是Hom的函子性质，共变函子，逆变函子
第七节自同态环
自同态，自同态环，群上的代数
第八节正合序列
正合序列，可裂性，正合交换图
第三章直积，直和，自由模
第一节直积，余直积的构造
直积，余直积，构造定理
第二节内、外直和的联系
内直和，外直和，二者的关系
第三节直积与直和的同态
直积的同态，直和的同态，与Hom的联系
第四节自由模
自由模，秩，IBN环
第五节幺半群环
群环，幺半群环
第六节拉回与推出
拉回，推出．
第四章内射与投射模
第一节大子模与小子模
大子模，小子模，基本子模，多余子模
第二节补
交补，和补，补的补
第三节内射模与投射模
内射模，投射模的定义及其简单性质
第四节内射模的进一步性质
Baer准则，对偶模，内射分解，内射表示
第五节投射模的进一步性质
自由模是投射模，投射模的直和仍是投射模，投射分解，投射表示
第六节内射包与投射覆盖
内射包及其存在性，唯一性；投射覆盖及其唯一性，投射覆盖不一定存在
第七节生成子和余生成子的进一步刻画
第五章链条件
第一节Artin模与Noether模
定义，简单性质，例子
第二节Hilbert定理
多项式环，Hilbert定理，形式幂级数环
第三节Artin模，Noether模的自同态环
核的升链，象的降链，自同态环的特征
第四节Noether环的特征
主要定理
第五节Artin环与Noether环上内射模的分解
主要定理
第六章半单模
第一节半单模
单模，半单模，半单模的特征
第二节半单环
半单环，R为半单<=>任意R-模内射
第三节稠密性定理
第七章根与基座
第一节定义
根，基座及其简单性质
第二节环的根
环的根，Jacobson根
第三节有限生成模与有限余生成模的特征
利用根与基座刻画有限生成模与有限余生成模
第四节自同态环的根
研究投射模和内射模的自同态环的根
第八章张量积与平坦模
第一节张量积
张量积的定义与基本性质，泛性质
第二节张量积的函子性质
利用张量积可得到两个共变函子，该函子的性质
第三节平坦模
定义
第四节正则环
第五节平坦模的商模
研究平坦模的商模之平坦性
第九章半完全环与完全环
第一节半完全环
定义及基本性质
第二节直和分解的提升
幂等元的提升，正交幂等元的提升，直和分解的提升
第三节直不可分半完全模
投射半完全模，直不可分半完全模
第四节谐零理想与t-幂零理想
谐零理想，t-零理想
第五节完全环
完全环的五条等价刻画
第六节Bjork定理
该定理的证明
第十章Coherent环
第一节有限表示模
定义及性质，与直积的张量积
第二节Coherernt环
Coherent环的等价刻画
第三节α-Coherent
α有限生成模，α有限表示模，α-Coherent环的等价刻画
第四节U-α-Coherent环
U-α-有限生成模，U-α-有限表示模，U-α-Coherent环的特征
教材或主要参考书目：
自编
课程名称：
有限群理论
课程编号：
0851203
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第二学期
任课教师：
杨永保副教授
考核方式：
考查（书面测验，课程论文）
说明：
有限群理论是近代数学的一个重要分支，是研究对称结构的一门学科，因此它的结果已广泛应用到自然科学的许多领域里；它的内容是大学数学系本科段抽象代数的继续和提高；它的思想和方法已渗透到数学的许多分支。
有限群理论对基础数学专业的研究生是一门重要的专业选修课。
教学内容：
一、基本概念
1．同态基本定理
2．置换群与正则表示
3．共轭关系，正规化子，中心化子
4．单群，极大（极小）子群
5．自同构群、特征子群，换位子群
6．直积分解
二、Sylow定理
1．群在集合上的作用
2．轨道，稳定子群，P-群
3．三个SyloW定理
4．有限P-群
三、有限交换群
1．有限交换群及初等因子
2．有限交换群的基
3．有限交换群基本定理
四、可解群与幂零群
1．正规群列，合成群列
2．可解群及基和性质
3．幂零群
4．有限幂零群的基本性质
五、群表示；
1．矩阵群的基本概念
2．群特征标
3．表示论的基本知识
六、扩张理论
1．因子团与等价扩张
2．被循环群的扩张
3．交换群的扩张
教材或主要参考书目：
自编
课程名称：
非线性泛函分析
课程编号：
0851205
学分：
3
总学时数：
60
开课学期：
第二学期
任课教师：
李永祥教授
考核方式：
考试（书面测验，课程论文）
说明：
本课程的目的是以可微性理论为基础，建立光滑映象的局部线性化的处理方法。
它是处理非线性问题的基本方法之一，对于认识非线性映象的局部特性具有重要作用。
教学内容：
第一章非线性映象的微分理论
非线性映象连续
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