5
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例7】在∆ABC中，∠C=90︒，AC=5，BC=12，若以C为圆心，R为半径，所作的圆与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是．
【难度】★★
【答案】012．
13
【解析】圆心C到斜边AB的距离d=60，
13
∴当圆与AB相离时，012，
13
综上，012．
13
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
O
【例8】如图，已知是以平面直角坐标系的原点O为圆心，半径为1的圆，
∠AOB=45︒，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与有公共点，设P的横坐标为x，则x的取值范围是（）
2
2
2
y
2
A．0≤x≤B．-≤x≤
C．-1≤x≤1
【难度】★★
【答案】B．
D．x>
HA
COPBx
2
【解析】作l∥OA且与O相切，过O点作OH⊥直线l，则∠HCO=∠AOB=45︒，∵OH=1，∴OC=，
2
∴x的取值范围是-≤x≤2．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
2
【例9】在∆ABC中，AB=4，AC=2
，若以A为圆心，2为半径的圆与直线BC
相切，则∠BAC的度数为．
【难度】★★
【答案】105︒或15︒．
【解析】当∠BAC为钝角时，
作AD⊥BC于D，则AD=2，
2
∵AB=4，AC=2，
∴∠BAD=60︒，∠CAD=45︒，
∴∠BAC=60︒+45︒=105︒；
当∠BAC为锐角时，作AD⊥BC于D，则AD=2，同理可得∠BAC=60︒-45︒=15︒．
【总结】本题考查了直线与圆的位置关系．
【例10】如图，AB是O的弦，C是O外一点，OC交AB于点D，若OA⊥OC，
A
O
D
C
B
CD=CB．
求证：
CB是O的切线．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OB，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
∵CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，
∵OA⊥OC，∴∠OAD+∠ADO=90︒，
∵∠CDB=∠ADO，∴∠OBA+∠CBD=90︒，
∴CB是O的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
【例11】已知：
如图，O的半径为6cm，OD⊥AB，垂足为点D，∠AOD=∠B，
O
A
D
B
AD=12cm，BD=3cm．求证：
AB是O的切线．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】∵∠AOD=∠B，∠A=∠A，
∴∆AOD∽∆ABO，∴AO=AD，即AO=12
，解得：
AO=65．
ABAO15AO
OA2-AD2
∵OD⊥AB，∴OD==6，
∵OD=R=6厘米，∴AB是O的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
【例12】如图，在∆ABC中，∠C=90︒，AC=5，BC=12，O的半径为3．
（1）当圆心O与C重合时，O与AB的位置关系怎样？
（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，O与AB相切；
（3）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，O与AB有公共点．
【难度】★★
【答案】
（1）相离；
（2）7；（3）7≤OC≤5．
44
B
D
C
O
A
【解析】
（1）作CH⊥AB于点H，B
∵AC=5，BC=12，∴AB=13，CH=60>3，
13
∴O与AB相离；
（2）∵O与AB相切，
∴OD⊥AB，OD=R=3，设OC=x，则AO=5-x，
H
A
C（O）
则OD=BC，即3
=12，解得x=7，
OAAB
5-x134
∴当OC=7时，O与AB相切；
4
（3）O与AB有公共点，则O与AB相切或相交，
∴点O到直线AB的距离d≤R，可得OC≥7，又∵点O在AC边上，
4
∴7≤OC≤5．
4
【总结】本题考查了切线的性质及点与圆的位置关系与相似三角形结合的综合题．
C
D
A
O
B
【例13】如图，AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：
DC是O的切线．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】连接OD，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∵OC∥AD，∴∠OAD=∠BOC，∠ODA=∠DOC，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OB=OD，OC=OC，
∴∆CBO≌∆CDO，
∵BC是O的切线，切点为B，∴OB⊥BC，
∴∠ODC=∠OBC=90︒，
∴DC是O的切线．
【总结】本题考查了切线的判定定理．
【例14】已知，如图，在梯形ABCD中，AD//CB，∠D=90︒，且AD+BC=AB，AB
AD
O
H
B
C
为O的直径．
求证：
O与CD相切．
【难度】★★★
【答案】详见解析．
【解析】作OH⊥DC于点H，
∵AD//CB，∠D=90︒，AO=BO，
∴OH是梯形ABCD的中位线，∴OH=1（AD+BC），
2
∵AD+BC=AB，∴OH=1AB=OA，
2
∴O与CD相切．
【总结】本题考查了切线的证明．
模块二：
圆与圆的位置关系
知识精讲
1、圆与圆的位置关系
图1
图2
图3
图4
图5
外离：
图1中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．
外切：
图2中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．
相交：
图3中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．
内切：
图4中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．
内含：
图5中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．
综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：
外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切．
2、相关概念
圆心距：
两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．连心线：
经过两个圆圆心的直线叫做连心线．
3、两圆位置关系的数量表达
如果两圆的半径长分别为R1和R2，圆心距为d，那么两圆的位置关系可用R1、R2和
d之间的数量关系表达，具体表达如下：
两圆外离⇔d>R1+R2；
两圆外切⇔d=R1+R2；
两圆相交⇔R1-R2两圆内切⇔0两圆内含⇔0≤d4、相关定理
（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：
相切两圆的连心线经过切点．
例题解析
【例15】
（1）一个圆的半径为9厘米，另一圆的半径为4厘米，圆心距为3厘米，判断两个圆的位置关系
（2）相切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？
【难度】★
【答案】
（1）内含；
（2）2或8．
【解析】
（1）∵0（2）∵两圆相切，∴d=R-r，即5=R-3，解得：
R1=2，R2=8．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例16】两圆的半径比为2:
3，圆心距等于小圆半径的2倍，则这两个圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切或内含
【难度】★
【答案】C．
【解析】设两圆半径分别为2k、3k，则圆心距d=4k，
∵R-r【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例17】两圆的圆心坐标分别为（3，0）和（0，1）它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是．
【难度】★
【答案】内切．
3+1
【解析】圆心距d==2，∵d=R-r，∴两圆内切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例18】设R、r是两圆的半径，d为圆心距，如果它们满足R2-r2-2Rd+d2=0，那么这两个圆的位置关系是（）
A．外离B．相切C．相交D．内含
【难度】★★
【答案】B．
【解析】∵R2-r2-2Rd+d2=0，∴（R-d）2=r2，∴R-r=d或R+r=d，
∴两个圆相切．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例19】若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（）
A．平行B．相交于一点
C．平行或交于一点D．有两条弦平行，第三条与它们相交
【难度】★★
【答案】C．
【解析】∵三圆两两相交得到三条公共弦，
∴三条公共弦垂直于三条连心线，如图：
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
A
C
B
【例20】如图，已知A、B和C两两外切，AB=5厘米，BC=6厘米，AC=7厘米，求这三个圆的半径．
【难度】★★
【答案】RA=3cm，RB=2cm，RC=4cm．
【解析】∵A、B和C两两外切，
AB=5厘米，BC=6厘米，AC=7厘米，
⎧RA+RB=5⎧RA=3
∴⎪R+R=6，解得⎪R=2，
⎨BC⎨B
⎪R+R=7⎪R=4
⎩AC⎩C
∴这三个圆的半径分别是RA=3cm，RB=2cm，RC=4cm．
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系．
【例21】已知
O1与
O2相交于A、B两点，
O1与
O2的半径分别为2和
，公共
2
弦长为2，则∠O1AO2=．
【难度】★★
【答案】105︒或15︒．
【解析】∵
O1和
O2相交于A、B两点，
∴AB⊥OO，AH=1AB=1，
122
∵O1A=2，∴∠O1AH=60︒，
2
7
∴O2A=，∴∠O2AH=45︒，∴∠O1AO2=60︒+45︒=105︒；当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得∠O1AO2=60︒-45︒=15︒；
综上可知，O1O2的长为4+
7或4-．
【总结】本题考查了相交圆的性质．
【例22】如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、
A
B
B间的距离为．
【难度】★★
【答案】4．
（4+1）2-（4-1）2
【解析】AB==4．
【总结】本题考查了切线的相关性质及勾股定理．
【例23】如图，以O2为圆心的两个同心圆和
求证：
四边形ABCD为等腰梯形．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接O1O2，
O1分别交于A、B、C、D四点．
A
D
C
B
∵以O2为圆心的两个同心圆和O1分别交于A、B、C、D四点，
∴O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
∴AB∥CD，∴AD=BC，又∵AB≠DC，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
【总结】本题考查了相交圆的有关性质及梯形的证明．
【例24】如图，
O1、
O2外切与点A，过点A的直线分别交
O1和
O2于点P、C．
P
A
C
求证：
PA:
PC=O1A:
O1O2．
【难度】★★
【答案】详见解析．
【解析】连接O1O2、O1P、O2C，
∵O1、O2外切与点A，∴O1O2经过点A，
∵∠O1PA=∠O1AP，∠O2AC=∠O2CA，∠O1AP=∠O2AC
∴∆OAP∽∆OAC，∴PA=O1A
12，
ACO2A
∴PA=
O1A
，即PA=
O1A，
PA+ACO1A+O2A
∴PA:
PC=O1A:
O1O2．
PCO1O2
【总结】本题考查了垂径定理及三角形的相似．
【例25】已知相交两圆的半径分别为5和4，公共弦长为6，求两圆的圆心距长．
【难度】★★
7
【答案】4+7或4-．
【解析】∵
O1和
O2相交于A、B两点，
∴AB⊥OO，AH=1AB=3，
122
OA2-AH2
1
∵OA=5，∴OH=
=4，
11
OA2-AH2
2
7
7
∴OA=4，∴OH==，即OO的长为4+；
2212
7
当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得O1O2的长为4-；
综上可知，O1O2的长为4+
7或4-．
7
【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理．
【例26】如图，矩形ABCD，AB=5，BC=12．分别以A、C为圆心的两圆相切，点D
A
D
B
C
在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围．
【难度】★★★
【答案】两圆外切时，1【解析】连接AC，
∵AB=5，BC=12，∴AC=13，
∵点D在圆C内，点B在圆C外，∴5当两圆外切时，RA+RC=13，RA=13-RC，∴1【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及点与圆的位置关系．
【例27】如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个半径为20的圆O内切于点P．正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形外部，且与CD相切与点Q，求
C
A
P
Q
O
E
D
B
AB的长．
【难度】★★★
19
【答案】8+4．
【解析】连接OA、OB，连接PO并延长交AB于点E，由对称性可知PO经过点Q，
∵以PQ为直径的圆与CD相切与点Q，
∴PQ⊥CD，∵CD∥AB，∴PE⊥AB，∴AE=BE，
设正方形的边长为a，则AE=a，OE=a-OQ=a-10，OA=20，
2
⎛a⎫22
由AE2+OE2=OA2，即ç⎪
19
⎝2⎭
+（a-10）
=202，
19
解得：
a1=8+4
，a2=8-4
（舍），
19
∴AB的长为8+4．
【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系．
【例28】
（1）计算：
如图1，直径为a的三等圆
O1、
O2、
O3两两外切，切点分
别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）；
（2）探索：
若干个直径为a的圆圈分别按如图2所示的方案一和如图3所示的方案2的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和h’n（用含
n和a的代数式表示）；
3
）
B
C
A
图1
（3）应用：
现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3．1米，高为3．1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0．1米的圆柱形钢管，你认为采用
（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？
并
求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？
（
【难度】★★★
≈1.73
n层
n层
…
…
…
…
3层
3层
h’n
2层
1层
2层
1层
图2
图3
h’1
h’2
h’3
…
…
【答案】
（1）3a；
（2）h=na，h'=3（n-1）a+a；
2nn2
（3）方案二装运更多，可以装运1068根钢管．
【解析】
（1）连接O1A，∵直径为a的三等圆
O1、
O2、
O3两两外切，
∴O1O3=O3O2=O1O2，∴∆O1O2O3是等边三角形，∴∠O1O2O3=60︒，
∵OO=OO，∴OA⊥OO，∴OA=OO
⋅sin60︒=3a．
1312
132
1122
（2）h=na；h'=3（n-1）a+a；
nn2
（3）方案二这种集装箱中装运钢管数多．
理由：
方案一：
0.1
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