九年级秋季班第10讲直线与圆圆与圆的位置关系教师版.docx

1、九年级秋季班第10讲直线与圆圆与圆的位置关系教师版直线与圆、圆与圆的位置关系内容分析直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容重点是 理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达， 并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系难点是直线与圆、圆与圆位置关系在 实际中的应用，及分类讨论的思想知识结构 模块一：直线与圆的位置关系知识精讲1、 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的

2、割线2、 数量关系描述直线与圆的位置关系如果 O 的半径长为 R，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么： 直线 l 与相交 0 d R 3、 切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线例题解析【例1】 在 ABC 中， C = 90 ，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？（1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm【难度】【答案】（1）相离；（2）相切；（3）相交【解析】由题意得圆心C 到直线 AB 的距离为d = 2.4cm ，（1） r d ，直线 AB 于圆相交【总结

3、】本题考查了直线与圆的位置关系【例2】 经过 O 上一点 P 作 O 的切线【难度】【答案】如图所示【解析】连接OP ，过点 P 作OP 的垂线l ，则l 为 O 的切线【总结】本题考查了切线的作法【例3】 已知， O 的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与 O 的位置关系是 【难度】【答案】相离【解析】 O 的圆心 O 的坐标是（4，6），圆心 O 到 x 轴的距离d = 6 ， d r ，则 x 轴与 O 相离【总结】本题考查了直线与圆的位置关系【例4】 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是 【难度】【答案】r 5

4、 【解析】直线 l 与半径为 r 的 O 相交， r d ，即r 5 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系【例5】 如图，在射线 OA 上取一点 A，使 OA = 4 cm，以 A 为圆心，作一个直径为 4 cm的圆问射线 OB 与 OA 所夹锐角 取怎样的值时，OB 与 O 相离、相切、相交？【难度】HOA【答案】当0 30 ，OB 与 O 相交； 当 = 30 ，OB 与 O 相切；当30 90 ，OB 与 O 相交【解析】作OH AB 于点 H ，当 OB 与 O 相切时， OA = 4cm ， AH = 2cm ，此时 = 30 ，当0 30 ，OB 与 O 相交； 当 = 30 ，O

5、B 与 O 相切；当30 90 ，OB 与 O 相交【总结】本题考查了直线与圆的位置关系【例6】 等腰ABC ，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为 【难度】【答案】0 r 12 5【解析】如图，作 AD BC ， DE AC ，由题意易得 DC = 3 ， AD = 4 DE = 12 ，5两腰所在直线与圆相离， 0 r DE ， 0 r 12 5【总结】本题考查了直线与圆的位置关系【例7】 在 ABC 中， C = 90 ，AC = 5，BC = 12，若以 C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边 AB 没有公共点，

6、则 R 的取值范围是 【难度】【答案】0 R 12 13【解析】圆心C 到斜边 AB 的距离 d = 60 ，13当圆与 AB 相离时， 0 R 12 ，13综上， 0 R 12 13【总结】本题考查了直线与圆的位置关系O【例8】 如图，已知 是以平面直角坐标系的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，AOB = 45 ，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与有公共点， 设 P 的横坐标为 x，则 x 的取值范围是（ ）222y2A 0 x B - x C -1 x 1【难度】【答案】BD x H AC O P B x2【解析】作l OA 且与 O 相切，过O 点作OH 直

7、线l ， 则HCO = AOB = 45 ， OH = 1 ， OC = ，2x 的取值范围是- x 2 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系2【例9】 在 ABC 中， AB = 4 ， AC = 2，若以 A 为圆心，2 为半径的圆与直线 BC相切，则BAC 的度数为 【难度】【答案】105 或15 【解析】当BAC 为钝角时，作 AD BC 于 D ，则 AD = 2 ，2 AB = 4 ， AC = 2 ， BAD = 60 ， CAD = 45 ， BAC = 60 + 45 = 105 ；当BAC 为锐角时，作 AD BC 于 D ，则 AD = 2 ， 同理可得BAC = 60

8、- 45 = 15 【总结】本题考查了直线与圆的位置关系【例10】 如图，AB 是 O 的弦，C 是 O 外一点，OC 交 AB 于点 D，若OA OC ，AODCBCD = CB求证：CB 是 O 的切线【难度】【答案】详见解析【解析】连接OB ， OA = OB ， OAB = OBA ， CD = CB ， CDB = CBD ， OA OC ， OAD + ADO = 90 ， CDB = ADO ， OBA + CBD = 90 ，CB 是 O 的切线【总结】本题考查了切线的判定定理【例11】 已知：如图， O 的半径为 6 cm， OD AB ，垂足为点 D， AOD = B ，O

9、ADBAD = 12 cm，BD = 3 cm 求证：AB 是 O 的切线【难度】【答案】详见解析【解析】 AOD = B ， A = A ， AOD ABO ， AO = AD ，即 AO = 12，解得： AO = 6 5 AB AO 15 AOOA2 - AD2 OD AB ， OD = = 6 ， OD = R = 6 厘米，AB 是 O 的切线【总结】本题考查了切线的判定定理【例12】 如图，在ABC 中， C = 90 ，AC = 5，BC = 12， O 的半径为 3（1）当圆心 O 与 C 重合时， O 与 AB 的位置关系怎样？（2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多

10、少时， O 与 AB 相切；（3）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 有公共点【难度】【答案】（1）相离；（2） 7 ；（3） 7 OC 5 4 4BDCOA【解析】（1）作CH AB 于点 H ， BAC = 5，BC = 12， AB = 13 ， CH = 60 3 ，13 O 与 AB 相离；（2） O 与 AB 相切， OD AB ， OD = R = 3 ， 设OC = x ，则 AO = 5 - x ，HAC (O)则 OD = BC ， 即 3 = 12 ，解得 x = 7 ， OA AB5 - x 13 4当OC = 7 时， O 与 AB 相切；

11、4（3） O 与 AB 有公共点，则 O 与 AB 相切或相交，点O 到直线 AB 的距离d R ，可得OC 7 ，又点O 在 AC 边上，4 7 OC 5 4【总结】本题考查了切线的性质及点与圆的位置关系与相似三角形结合的综合题CDAOB【例13】 如图，AB 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD 求证：DC 是 O 的切线【难度】【答案】详见解析【解析】连接OD ， OA = OD ， OAD = ODA ， OC AD ， OAD = BOC ， ODA = DOC ， BOC = DOC ， OB = OD ， OC = OC ， CBO CDO ，B

12、C 是 O 的切线，切点为 B， OB BC ， ODC = OBC = 90 ，DC 是 O 的切线【总结】本题考查了切线的判定定理【例14】 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD / CB， D = 90 ，且 AD + BC = AB，ABA DOHBC为 O 的直径求证： O 与 CD 相切【难度】【答案】详见解析【解析】作OH DC 于点 H ，AD / CB， D = 90 ， AO = BO ， OH 是梯形 ABCD 的中位线， OH = 1 ( AD + BC )，2 AD + BC = AB ， OH = 1 AB = OA ，2 O 与 CD 相切【总结】本题考查了切线

13、的证明模块二：圆与圆的位置关系知识精讲1、 圆与圆的位置关系图 1图 2图 3图 4图 5外离：图 1 中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离外切：图 2 中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做切点相交：图 3 中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交内切：图 4 中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切这个唯一的公共点叫做切点内含：图 5 中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含当两个圆心

14、重合时，称它们为同心圆综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切2、 相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线3、 两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为 R1 和 R2 ，圆心距为 d，那么两圆的位置关系可用 R1 、R2 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下： 两圆外离 d R1 + R2 ；两圆外切 d = R1 + R2 ；两圆相交 R1 - R2 d R1 + R2 ；两圆内切 0 d = R1 - R2 ；两圆内含 0 d

15、 R1 - R2 4、 相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点例题解析【例15】 （1）一个圆的半径为 9 厘米，另一圆的半径为 4 厘米，圆心距为 3 厘米，判断两个圆的位置关系（2）相切两圆的圆心距为 5，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径是多少？【难度】【答案】（1）内含；（2）2 或 8【解析】（1） 0 d R - r ，两个圆内含；（2）两圆相切， d = R - r ，即5 = R - 3 ，解得： R1 = 2 ， R2 = 8

16、 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系【例16】 两圆的半径比为 2 : 3，圆心距等于小圆半径的 2 倍，则这两个圆的位置关系是（ ） A相离 B外切 C相交 D内切或内含【难度】【答案】C【解析】设两圆半径分别为2k 、3k ，则圆心距d = 4k ， R - r d R + r ， 两圆相交【总结】本题考查了圆与圆的位置关系【例17】 两圆的圆心坐标分别为（ 3 ，0）和（0，1）它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是 【难度】【答案】内切3 + 1【解析】圆心距d = = 2 ， d = R - r ，两圆内切【总结】本题考查了圆与圆的位置关系【例18】 设 R、r 是两圆

17、的半径，d 为圆心距，如果它们满足 R2 - r2 - 2Rd + d 2 = 0 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A外离 B相切 C相交 D内含【难度】【答案】B【解析】 R2 - r2 - 2Rd + d 2 = 0 ， (R - d )2 = r2 ， R - r = d 或 R + r = d ，两个圆相切【总结】本题考查了圆与圆的位置关系【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（ ）A平行 B相交于一点C平行或交于一点 D有两条弦平行，第三条与它们相交【难度】【答案】C【解析】三圆两两相交得到三条公共弦，三条公共弦垂直于三条连心线，如图：【总结】本题考

18、查了圆与圆的位置关系ACB【例20】 如图，已知 A 、 B 和 C 两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，求这三个圆的半径【难度】【答案】 RA = 3cm ， RB = 2cm ， RC = 4cm 【解析】 A 、 B 和 C 两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，RA + RB = 5 RA = 3 R + R = 6 ，解得R = 2 ， B C BR + R = 7 R = 4 A C C这三个圆的半径分别是 RA = 3cm ， RB = 2cm ， RC = 4cm 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系【例21】 已

19、知O1 与O2 相交于 A、B 两点，O1 与O2 的半径分别为 2 和，公共2弦长为 2，则O1 AO2 = 【难度】【答案】105 或15 【解析】O1 和O2 相交于 A、B 两点， AB O O ， AH = 1 AB = 1 ，1 2 2 O1 A = 2 ， O1 AH = 60 ，27 O2 A = ， O2 AH = 45 ， O1 AO2 = 60 + 45 = 105 ； 当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得O1 AO2 = 60 - 45 = 15 ；综上可知， O1O2 的长为4 +7 或4 - 【总结】本题考查了相交圆的性质【例22】 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半

20、径分别为 4 和 1，则它们与墙的切点 A、ABB 间的距离为 【难度】【答案】4(4 + 1)2 - (4 -1)2【解析】 AB = = 4 【总结】本题考查了切线的相关性质及勾股定理【例23】 如图，以O2 为圆心的两个同心圆和求证：四边形 ABCD 为等腰梯形【难度】【答案】详见解析【解析】连接O1O2 ，O1 分别交于 A、B、C、D 四点ADCB以O2 为圆心的两个同心圆和 O1 分别交于 A、B、C、D 四点， O1O2 AB ， O1O2 CD ， AB CD ， AD = BC ，又 AB DC ，四边形 ABCD 为等腰梯形【总结】本题考查了相交圆的有关性质及梯形的证明【例

21、24】 如图，O1 、O2 外切与点 A，过点 A 的直线分别交O1 和O2 于点 P、CPAC求证： PA : PC = O1 A : O1O2 【难度】【答案】详见解析【解析】连接O1O2 、O1P 、O2C ， O1 、 O2 外切与点 A， O1O2 经过点 A， O1PA = O1 AP ， O2 AC = O2CA ， O1 AP = O2 AC O AP O AC ， PA = O1 A 1 2 ，AC O2 A PA =O1 A ，即 PA =O1 A ，PA + AC O1 A + O2 A PA : PC = O1 A : O1O2 PC O1O2【总结】本题考查了垂径定理

22、及三角形的相似【例25】 已知相交两圆的半径分别为 5 和 4，公共弦长为 6，求两圆的圆心距长【难度】7【答案】4 + 7 或4 - 【解析】O1 和O2 相交于 A、B 两点， AB O O ， AH = 1 AB = 3 ，1 2 2O A2 - AH 21 O A = 5 ， O H = 4 ，1 1O A2 - AH 2277 O A = 4 ， O H = = ，即OO 的长为4 + ；2 2 1 27当小圆的圆心在大圆内部时，同理可得O1O2 的长为4 - ；综上可知， O1O2 的长为4 +7 或4 - 7【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理【例26】 如图，矩形 AB

23、CD，AB = 5，BC = 12分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 DADBC在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，求圆 A 的半径 r 的取值范围【难度】【答案】两圆外切时，1 RA 8 ；内切时，18 RA 25 【解析】连接 AC ，AB = 5，BC = 12， AC = 13 ，点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外， 5 RC 12 ，当两圆外切时， RA + RC = 13 ， RA = 13 - RC ，1 RA 8 ； 当两圆内切时， RA - RC = 13 ， RA = 13 + RC ，18 RA 25 【总结】本题考查了圆与圆的位置关系及点与圆的位置关系【例27

24、】 如图，PQ = 10，以 PQ 为直径的圆与一个半径为 20 的圆 O 内切于点 P正方形 ABCD 的顶点 A、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与 CD 相切与点 Q，求CAPQOEDBAB 的长【难度】19【答案】8 + 4 【解析】连接OA 、OB ，连接 PO 并延长交 AB 于点 E ， 由对称性可知 PO 经过点Q ，以 PQ 为直径的圆与 CD 相切与点 Q， PQ CD ， CD AB ， PE AB ， AE = BE ，设正方形的边长为a ，则 AE = a ， OE = a - OQ = a -10 ， OA = 20 ，2 a 2 2由 AE2 + OE2 = O

25、A2 ，即 19 2 + (a - 10)= 202 ，19解得： a1 = 8 + 4， a2 = 8 - 4（舍），19AB 的长为8 + 4 【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系【例28】 （1）计算：如图 1，直径为 a 的三等圆O1 、O2 、O3 两两外切，切点分别为 A、B、C，求O1 A 的长（用含 a 的代数式表示）；（2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图 2 所示的方案一和如图 3 所示的方案 2 的方式排放，探索并求出这两种方案中 n 层圆圈的高度hn 和 hn（用含n 和 a 的代数式表示）；3）BCA图 1（3）应用：现有长方体集装箱

26、，其内空长为 5 米，宽为 31 米，高为 31 米用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 01 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（【难度】 1.73n 层n 层3 层3 层hn2 层1 层2 层1 层图 2图 3h1h2h3【答案】（1） 3 a ；（2） h = na ， h = 3 (n -1) a + a ；2 n n 2（3）方案二装运更多，可以装运 1068 根钢管【解析】（1）连接O1 A ，直径为 a 的三等圆O1 、O2 、O3 两两外切， O1O3 = O3O2 = O1O2 ， O1O2O3 是等边三角形， O1O2O3 = 60 ， O O = O O ， O A O O ， O A = O O sin 60 = 3 a 1 3 1 21 3 21 1 2 2（2） h = na ； h = 3 (n -1) a + a ；n n 2（3）方案二这种集装箱中装运钢管数多理由：方案一： 0.1