第四节 电位及其梯度doc.docx

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第一章静电场

§4电位及其梯度（P95）

1.在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为30库仑。

问一次闪电消耗的能量是多少？

如果用这些能量来烧水，能把多少水从加热到？

解：

一次闪电消耗的能量等于30库仑的电荷电能的减少量，即

设能将质量的水从加热到，则有

2.已知空气的击穿场强为伏/米，测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪电时两端的电位差。

解：

由电位差的定义可得

3.证明：

在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。

[提示：

利用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。

]

证明：

沿某一条电力线作如图所示的横截面积为、长为的圆柱形高斯面。

由于、两点位于同一直线上，因而、的方向相同。

该高斯面内无电荷。

由高斯定理可得

即沿同一电力线上的任意两点的场强相等。

对于某一等位面作如图所示的横截面积为、长为的圆柱形高斯面，其中为等位面，为等位面，点和点在同一电力线上，点和点也在同一电力线上，由上面讨论可知

，

由静电场环路定理可得

即同一等位面上的任意两点的场强相等。

4.求与点电荷库仑分别相距为米和米的两点间的电位差。

解：

点电荷的电场分布为

由电位差的定义可得、两点的电位差为

5.一点电荷在离它厘米处产生的电位为伏，求。

解：

取无限远位零电位点，点电荷的电位分布为

6.求一对等量同号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是，两者之间距离为。

解：

建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为

，

，

7.求一对等量异号点电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是，两者之间距离为。

解：

建立如图所示的坐标系，则在两电荷联线的中点，两点电荷产生的场强和电位分别为

，

，

8.如图所示，，是以为中心，为半径的半圆。

点有正电荷，点有负电荷。

⑴把单位正电荷从点沿移到点，电场力对它作了多少功？

⑵把单位负电荷从点沿的延长线移到无穷远处，电场力对它作了多少功？

解：

⑴选无穷远为零电位点，则点的电位为

点的电位

、两点的电位差为

故把单位正电荷从点沿移到点，电场力所作的功为

（为单位正电荷）

⑵

故把单位负电荷从点沿的延长线移到无穷远处，电场力所的功为

（为单位负电荷）

9.两个点电荷的电量都是，相距为。

求中垂面上到两者联线中点为处的电位。

解：

如图，两点电荷在点产生的电位分别为

由电位叠加原理，点的电位为

10.有两个异号点电荷和（），相距为。

⑴证明电位为零的等位面是一个球面；

⑵证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在点电荷的外边；

⑶这球的半径为多少？

证明：

⑴建立如图所示的坐标系，点电荷、在点产生的电位为

对于电位为零的等位面有

所以电位为零的等位面是一个球面。

⑵球心的坐标为：

（0，，0）

，

球心在点电荷、连线的延长线上，且在是外边。

⑶球的半径为

11.求电偶极子电位的直角坐标表达式，并用梯度求出场强的直角分量表达式。

解：

建立如图所示的坐标系。

在电偶极子电场中任取一点，点到电偶极子轴线中点的距离为，和到点的距离分别为和。

由点电荷电势公式和电势叠加原理可得点的电势为

因为，所以，，代入上式可得点的电势为

式中，为电偶极子中心与场点的连线和电偶极子轴的夹角，如图所示，且，则点的电势可表示为

可见电势是点坐标的函数。

点场强在，、方向的分量分别为

于是点的场强为

当点在电偶极子轴延长线上时，，，点的场强为

当点在电偶极子轴中面线上时，，点的场强为

12.证明本章§2习题8附图中电四极子在它的轴线延长线上的电位为

（），

式中叫做它的电四极矩。

利用梯度验证，所得场强公式与该题一致。

证明：

可以直接利用点电荷电位公式和电位叠加原理计算，也可以看成两个电偶极子进行计算。

见图，左、右两个电偶极子在点的电位分别为

故点的电位为

（）

13.一电四极子如附图所示。

证明：

当时，它在点产生的电位为

（），

图中极轴通过正方形中心点，且与一对边平行。

解：

14.求本章§2习题12中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画曲线。

解一：

设圆环半径为，所带电量为，建立如图所示坐标。

在圆环上任取一长为的电荷元，它的电量为：

（电荷线密度：

）

电荷元在点产生的电势为：

整个圆环在点产生的电势为：

解二：

均匀带电圆环轴线上点的场强为

则点的电位为

曲线见图。

15.求本章§2习题13中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画曲线。

解：

将均匀带电圆面分割成同心圆环，半径为、宽为的圆环在轴线上的电位分布为

则均匀带电圆面轴线上的电位为

曲线见图。

16.求本章§3习题3中同心球面在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的电位分布，并画曲线。

解：

在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布为

Ⅰ区域内，，；

Ⅱ区域内，，；

Ⅲ区域内，，。

则电位分布为

Ⅰ区域内，

Ⅱ区域内，

Ⅲ区域内，

曲线见图。

17.在上题中，保持内球上电量不变，当外球电量改变时，试讨论三个区域内的电位有何变化？

两球面之间的电位差有何变化？

解：

当增加时，三个区域的电位也相应的增加，增加量分别为

Ⅰ、Ⅱ区域内：

Ⅲ区域内：

不管如何变化，两球面之间的电位差不变，为。

18.求本章§3例题2中均匀带电球体的电位分布，并画曲线。

解：

均匀带电球体的场强分布为

球体内（），

球体外（），

则电位分布为

球体内（）

球体外（）

曲线见图。

19.金原子核可当作均匀带电球，其半径约为米，电荷为库。

求它表面上的电位。

解：

均匀带电球外的电场分布为

则表面电位为

所以金原子核表面上的电位为

20.⑴一质子（电荷为库，质量为千克）以米/秒的初速从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。

⑵粒子的电荷为库，质量为千克，以米/秒的初速度从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。

（有关金原子核的性质，参见上题）

解：

⑴设质子能到达的最近距离为，金原子核在此处的电位为

质子在射向金原子核的过程中动能转化为电位能，则有

⑵对于粒子有

21.在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为米，已知氢原子核（质子）和电子带电各为（库）。

把氢原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子的电离能。

求此电离能是多少电子伏和多少焦耳？

解：

氢原子的电离能为

22.轻原子核（如氢及其同位素氘、氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变。

核聚变过程可以释放出大量能量。

例如，四个氢原子核（质子）结合成一个氦原子核（粒子）时，可释放出的能量。

这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源。

如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源。

实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。

只有在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合，这叫热核运动。

根据统计物理学，绝对温度为时，粒子的平均平动动能为

式中焦耳/开叫做玻耳兹曼常数。

已知质子质量千克，电荷库，半径的数量级为米。

试计算：

⑴一个质子以怎样的动能（以电子伏表示）才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离？

⑵平均热运动能达到此数值时，温度（以开表示）需为多少？

解：

⑴一个质子与另一个质子碰撞时，电场力作负功。

要使两个质子接触，其动能为

⑵

23.在绝对温度为时，微观粒子热运动能量具有的数量级（玻耳兹曼常数焦耳/开）。

有时人们把能量折合成电子伏，就说温度为若干电子伏。

问：

⑴相当于多少开？

⑵相当于多少开？

⑶室温（开）相当于多少？

解：

⑴

⑵

⑶

24.电量均匀地分布在长为的细直线上，求下列各处的电位：

⑴中垂面上离带电线段中心为处，并利用梯度求；

⑵延长线上离中心为处，并利用梯度求；

⑶通过一端的垂面上离该端点为处，并利用梯度求。

解：

⑴建立如图所示坐标。

在带电细直线取微元，利用点电荷电位公式可得在点的电位为

则点的电位为

⑵见图。

点的电位为

（号：

，号：

）

⑶见图。

点的电位为

25.如附图所示，电量均匀地分布在长为的细直线上，

⑴求空间任一点的电位（，）；

⑵利用梯度求任一点的场强分量和；

⑶将所得结果与上题中的特殊位置作比较。

解：

⑴在细直线上取微元，它在点的电位为

⑵

⑶当时

与上题⑴相同

当时

与上题⑵相同

当时

与上题⑶相同

26.一无限长直线均匀带电，线电荷密度为。

求离这线分别为和的两点之间的电位差。

解：

由高斯定理可得无限长带电直线外的场强分布为

则和的两点之间的电位差为

27.如附图所示，两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为，相距为，求空间任一点的电位。

解：

均匀带电直线产生的场强为

设的电位为零，到两平行直线的距离分别为和；点到两平行直线的距离分别为和。

则

；

；

两条均匀带电的无限长平行直线产生的电场在点的电位分别为

根据电位叠加原理，点的电位为

若取位于坐标原点处，则点的电位为

28.证明在上题中电位为的等位面是半径为的圆筒面，筒的轴线与两直线共面，位置在处，其中。

的等位面是什么形状？

证明：

设坐标原点电位为零，则的等位面可表示为

令，则上式可化为

在平面内，电位为的等位面是半径为、圆心在（，）处的圆，由于等位面与沿直线的坐标无关，因而等位面在空间应为半径为、轴线与两直线共面的圆筒面。

当时，

的等位面是两直线连线的中垂面。

29.求本章§3习题7中无限长共轴圆筒间的电位分布和两筒间的电位差（设），并画出曲线。

解：

由高斯定理可得

当时，

当时，

当时，

则电位分布为

当时，

当时，

当时，

两筒间的电位差为

曲线见图。

30.求本章§3习题8中无限长直圆柱体的电位分布（以轴线为参考点，设它上面的电位为零）。

解：

由高斯定理可得场强分布为

当时，

当时，

则电位分布为

当时，

当时，

31.求本章§3习题9中无限长等离子体柱的电位分布（以轴线为参考点，设它上面的电位为零）。

解：

由高斯定理可得场强分布为

则电位分布为

32.一电子二极管右半径毫米的圆柱形阴极，和套在阴极外同轴圆筒形的阳极构成，阳极的半径厘米，阳极电位比阴极高300伏。

设电子从阴极发射出来时速度很小，可忽略不计。

求：

⑴电子从向走过毫米时的速度；

⑵电子到达时的速度。

解：

⑴设阳极、阴极的电荷线密度分别为，阴极的电位为零。

两圆筒间的电场可看作轴对称电场，由高斯定理可得两圆筒间的场强为

阳极的电位为

距离阴极为的点的电位为

设电子到达点的速度为，则由动能定理可得

⑵设电子到达点的速度为，则

33.如附图所示，一对均匀、等量异号的平行带电平面。

若其间距离远小于带电平面的线度时，这对带电面可看成是无限大的。

这样的模型可叫做电偶极层。

求场强和电位沿垂直两平面的方向的分布，并画出和曲线