高考数学命题角度24应用正弦定理和余弦定理解实际问题大题狂练理.docx

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高考数学命题角度24应用正弦定理和余弦定理解实际问题大题狂练理

命题角度2.4：

应用正弦定理和余弦定理解实际问题

1.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长为80米，设在同一水平面上，从看的仰角分别为.

（1）若，求的长。

（2）设计中是铅垂方向（垂直于），若要求，问的长至多为多少？

【答案】

（1）；

（2）的长至多约为米.

【解析】试题分析：

（1）利用正弦定理求解即可；

（2）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．

2.某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：

m），如图所示，垂直放置的标杆的高度，仰角．

（1）该小组已经测得一组的值，，请据此算出的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离（单位：

），使与的差较大，可以提高测量精确度，若电视塔高度为125m，问为多大时，最大？

【答案】

（1）米

（2）当时，最大．

【解析】

试题分析：

（1）在直角中，可得，在直角中可得，再根据，即可求解的值；

（2）先用表示出和，再根据两角和的公式，求出，利用基本不是可知当时，有最大值，即可得到答案．

试题解析：

（1）由及，得

，解得．

因此，算出的电视塔的高度是124m．

考点：

解三角形的实际应用．

3.某海轮以公里/小时的速度航行，在点测得海上面油井在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶40分钟到达点.

（1）求间的距离；

（2）在点测得油井的方位角是多少？

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）在中，根据正弦定理，求，再利用余弦定理算出的长，即可算出两地间的距离；

（2）根据内错角相等可证明，从而可得出结论.

4.如图，某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园，已知角为，的长度均大于200米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.

（1）若围墙、总长度为200米，如何可使得三角形地块面积最大？

（2）已知竹篱笆长为米，段围墙高1米，段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若，求围墙总造价的取值范围.

【答案】

（1）（米），（米2）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）设，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号成立的条件和实际问题的定义域；

（2）利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得的范围即可求得造价的取值范围.

试题解析：

设（米），则,所以（米2）

当且仅当时，取等号。

即（米），（米2）

（2）由正弦定理，得

故围墙总造价

因为，所以，

所以围墙总造价的取值范围为（元）

5.如图，有一码头和三个岛屿，，，.

（1）求两个岛屿间的距离；

（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？

求出最短航程.

【答案】

（1）

（2）

（2）因为，所以，

在中，，由余弦定理得，

，

根据“两点之间线段最短”可知，

最短航线是“”或“”，

其航程为.

所以应按航线“”或“”航行，

其航程为.

6.如图，是一块半径为，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛，其中动点在扇形的弧上，记.

（1）写出矩形的面积与角之间的函数关系式；

（2）当角取何值时，矩形的面积最大？

并求出这个最大面积.

【答案】

（1）

（2）时，S取得最大值

【解析】试题分析：

（1）由

，；

（2）化简得

 .再由当时，矩形CDEF的面积S取得最大值.

试题解析：

（1）因为：

，

 所以，， 所以，.

（2） 

 =.

 因为，

所以，

所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值.

【点睛】本题的主要步骤有：

利用三角函数的定义求得,再由矩形的面积公式求得函数；

利用三角恒等变换化简函数的表达式；

利用正弦函数图像求得最值.

7.如下图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内．现测得长为100米，，，，．

（1）求△的面积；

（2）求船的长．

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

（2）由题意，，，

在△中，，即，

∴，

在△中，

，

在△中，．

故船长为米．

考点：

正、余弦定理的应用．

8.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．

（Ⅰ）求大学与站的距离；

（Ⅱ）求铁路段的长．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）在中，利用已知及余弦定理即可解得的值；（Ⅱ）由，且为锐角，可求，由正弦定理可得，结合，可求，，，结合，由正弦定理即可解得的值．

（II）∵，且为锐角，∴，

在中，由正弦定理得，，

即，∴，∴，

∴，∵，∴，，

∴，又，∴，

在中，，由正弦定理得，，

即，∴，即铁路段的长为．

考点：

1、正弦定理，余弦定理；2、同角三角函数关系式，诱导公式的应用．

9.如图所示，是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.

已知，.

（1）设，，用表示，并求的最小值；

（2）设（为锐角），当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.

【答案】

（1）;

（2）S=,8－.

试题解析：

（1）由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，

在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，

即y2＝x2＋＋16，

所以y＝

y＝≥＝4，

当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．

所以当x＝4时，y有最小值4．

（2）由

（1）可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，

在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，

在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，

所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．

因为θ为锐角，

所以当θ＝时，S有最小值8－4．

10.某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度）..

（1）求道路的长度；

（2）求生活区面积的最大值．

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】试题分析：

（1）连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求，，可得，利用勾股定理即可得解的值．

（2）设，由正弦定理，可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围3，利用正弦函数的性质可求面积的最大值，从而得解．

（2）设，∵，∴.

在中，由正弦定理，得，

∴.

∴

.

∵，∴.

∴当，即时，取得最大值为，

即生活区面积的最大值为.