21年考试《离散数学X》考核作业169.docx
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21年考试《离散数学X》考核作业169
东北大学继续教育学院
离散数学X试卷（作业考核线上2）A卷（共4页）
总分
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
得分
一、（13分）有两个小题
1．分别说明联结词、∧、∨、→和在自然语言中表示什么含义。
解：
“”表示“…不成立”，“不…”。
“∧”表示“并且”、“不但…而且...”、“既…又...”等。
“∨”表示“或者”，是可兼取的或。
“”表示如果…，则…；只要…，就…；只有…,才…；仅当…。
“”表示“当且仅当”、“充分且必要”。
2．分别列出PQ、PQ、PQ、PQ的真值表（填下表）。
P
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
二、（10分）写出命题公式（Q→P）→Q的主合取范式。
（要求有解题过程）
解：
等价变换
（QP）Q
（Q∨P）∨Q（去）
（Q∧P）∨Q（摩根定律）
Q（吸收律）
（P∧P）∨Q（互补、同一律）
（P∨Q）∧（P∨Q）（分配律）
三、（14分）用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
要求按照推理的格式书写推理过程。
xC（x）,x（A（x）B（x））,x（B（x）C（x））xA（x）
四．（12分）令集合A={1,{1}},B={1}，P（A）表示A的幂集。
分别计算：
（注意：
要求有计算过程，不能直接写出结果！
）
（1）A×P（B）
（2）A⊕B
（3）P（A）－P（B）
解：
A={1,{1}},B={1}，
⑴A×P（B）＝{1,{1}}×{Φ,{1}}
＝{<1,Φ>,<1,{1}>,<{1},Φ>,<{1},{1}>}
⑵A⊕B＝（AB）－（AB）
=（{1,{1}}{1}）－（{1,{1}}{1}）＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。
⑶P（A）－P（B）＝{Φ,{1},{{1}},{1,{1}}－{Φ,{1}}
＝{{{1}},{1,{1}}}
五.（25分）给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下：
R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}
S=A×A（完全关系（全域关系））
T={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}
M={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
1.写出关系R的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。
2.判断各个关系性质。
用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：
自反的
反自反的
对称的
反对称的
传递的
R
√
×
√
×
√
S
×
√
×
√
×
T
√
×
√
×
√
M
√
×
×
√
√
3.上述四个关系中，哪些是等价关系？
哪些是偏序关系？
对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。
解：
T和R是等价关系。
M是偏序关系。
A/T={{1,2},{3}}A/R={{1,2,3}}
4.求复合关系RoT
解：
SoT＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}
六.（12分）R是实数集合，给出R上的运算如下：
×、+、|x-y|、min、max,分别表示乘法、加法、x-y的绝对值、两个数中取最小的、两个数中取最大的运算。
1.判断各个运算性质。
用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，
填下表：
|x-y|
max
×
min
+
有交换性
√
√
√
√
√
有结合性
×
√
√
√
√
有幂等性
×
√
×
√
×
有幺元
×
×
√
×
√
有零元
×
×
√
×
×
2.指出R对上面哪些运算构成群？
.
七.（14分）有三个小题
1.指出下面各个图中哪些是彼此同构的.
2.上面图b与c显然是不同构的，请说明不同构的理由（说明一个即可。
）
3.请画出五个具有五个结点的无向图，使之分别满足：
（1）是欧拉图但不是汉密尔顿图。
（2）既是欧拉图也是汉密尔顿图。
（3）是完全图K5。
（4）是棵树。
（5）是汉密尔顿图但不是欧拉图。
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