甘肃省兰州市中考数学试题及答案.docx
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甘肃省兰州市中考数学试题及答案
2015年兰州市初中毕业生学业考试
数学（A）
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟．
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题：
本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是
A．
B．
C．
D．
2．由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是
A．左视图与俯视图相同B．左视图与主视图相同
C．主视图与俯视图相同D．三种视图都相同
3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为
的是
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC中，∠B=90º，BC=2AB，则cosA=
A．
B．
C．
D．
5．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将
线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为
A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）
6．一元二次方程
配方后可变形为
A．
B．
C．
D．
7．下列命题错误的是
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形
8．在同一直角坐标系中，一次函数
与反比例函数
的图象大致是
9．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=
A．80°B．90°C．100°D．无法确定
10．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是
A．
B．
C．
D．
11．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是
A．
B．
C．
D．
12．若点
，
在反比例函数
的图象上，且
，则
A．
B．
C．
D．
13．二次函数
的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则
A．ac+1=bB．ab+1=cC．bc+1=aD．以上都不是
14．二次函数
的图象与x轴有两个交点A
，B
，且
，点P
是图象上一点，那么下列判断正确的是
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
15．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．若一元二次方程
有一根为
，则
．
17．如果
，且
，那么k=．
18．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
根据列表，可以估计出n的值是．
19．如图，点P、Q是反比例函数
图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1S2．（填“>”或“<”或“=”）
20．已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．
三、解答题：
本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分，每题5分）
（1）计算：
tan
；
（2）解方程：
．
22．（本小题满分5分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
23．（本小题满分6分）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
24．（本小题满分8分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：
某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米．依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的．
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
25．（本小题满分9分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．
（1）求证：
AD=BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：
线段EF与线段GH互相垂直平分．
26．（本小题满分10分）如图，A
，
，B
，
是一次函数
与反比例函数
图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：
在第二象限内，当x取何值时，
?
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
27．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和
）
28．（本小题满分12分）已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y=ax2的解析式；
（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．
①当
时（图①），求证：
△AOB为直角三角形；
②试判断当
时（图②），△AOB的形状，并证明；
（3）根据第
（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）
2015年兰州市初中毕业生学业考试
数学（A）参考答案及评分参考
本答案仅供参考，阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准．
一、选择题：
本题15小题，每小题4分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
C
B
A
D
B
C
D
A
B
B
B
D
A
C
A
二、填空题：
本题5小题，每小题4分，共20分．
16．201517．318．1019．=20．30°或150°
三、解答题：
本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分，每题5分）
解：
（1）原式=
………………………………………………………4分
=－1．………………………………………………………………………5分
（2）∵
，
∴
，………………………………………………………6分
∴
，………………………………………………………8分
∴
．…………………………………………………………………10分
22．（本小题满分5分）
解：
作出角平分线；…………………1分
作出垂直平分线；…………………2分
作出⊙P；………………4分
∴⊙P就是所求作的圆．……………5分
23．（本小题满分6分）
解：
（1）根据题意画出树状图如下：
………………………4分
（2）由（l）可知：
三次传球有8种等可能结果，其中传回甲脚下的有2种．所以
P（传球三次回到甲脚下）=
．……………………………………………5分
（3）由（l）可知：
甲传球三次后球传回自己脚下的概率为
，传到乙脚下的概率为
，所以球传到乙脚下的概率大．…………………………………………………6分
24.（本小题满分8分）
解：
（l）平行………………………………………………………………………2分
（2）连接AE，延长AE交BF的延长线于点M，连结CG，延长CG交DH的延长线于
点N
∵AB∥EF∴
，即
………………………3分
∴
……………………………………………………………4分
∴
…………………………………………………5分
由平行投影的知识可以知道∠AMB＝∠CND
∴在Rt△NHG中，
∴
………6分
∵在Rt△CDN中，
∴
（米）………………8分
所以，电线杆长为7米
25.（本小题满分9分）
证明：
（1）做BM∥AC，BM交DC的延长线于点M，则∠ACD=∠BMD…………1分
∵AB∥CDBM∥AC
∴四边形ABMC为平行四边形…………………………………………………2分
∴AC=BM
∵BD=AC
∴BM=BD
∴∠BDM=∠BMD
∴∠BDC=∠ACD
在△BDC和△ACD中
∴△BDC≌△ACD………………………………………………………4分
∴BC=AD……………………………………………………………………………5分
（2）连接EG、GF、FH、HE…………………………………………………6分
∵E、H为AB、BD的中点∴
同理
，
，
∵BC=AD∴EG=FG=FH=EH…………………………………………………8分
∴四边形EGFH为菱形
∴EF与GH互相垂直平分………………………………………………………………9分
26.（本小题满分10分）
解：
（1）当
时，
；………………………………2分
（2）把A（－4，
），B（－1，2）代入y=kx+b得，
，解得
，
所以一次函数解析式为
；
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