高考 一轮复习数学文 指数与指数函数.docx

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高考一轮复习数学文指数与指数函数

第六节

指数与指数函数

1．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正分数指数幂：

a＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）．

②负分数指数幂：

a－＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）．

③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点（0,1）

当x＞0时，y＞1；

x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；

x＜0时，y＞1

在区间（－∞，＋∞）上是增函数

在区间（－∞，＋∞）上是减函数

[小题体验]

1．函数f（x）＝2ax＋1－1（a＞0，且a≠1）恒过定点________．

答案：

（－1,1）

2．已知0.2m＜0.2n，则m______n（填“＞”或“＜”）．

答案：

＞

3．计算：

（a2·）÷（·）＝________.

答案：

a

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a＞1或0＜a＜1.

[小题纠偏]

1．化简

（a＞0，b＞0）的结果为________．

答案：

2．若函数y＝（a－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．

答案：

（1,2）

[题组练透]

化简与求值：

（1）0＋2－2·

－（0.01）0.5；

（2）a

·b－2·

÷

；

（3）

.

解：

（1）原式＝1＋×

－

＝1＋×－

＝1＋－

＝.

（2）原式＝－a

b－3÷（4a

·b－3）

＝－a

b－3÷（a

b

）

＝－a

·b

＝－·＝－.

（3）原式＝

＝a

·b

＝.

[谨记通法]

指数幂运算的一般原则

（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[典例引领]

1．（2019·苏州调研）若a＞1，b＜－1，则函数f（x）＝ax＋b的图象经过第________象限．

解析：

∵a＞1，

∴y＝ax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0,1），

f（x）＝ax＋b的图象可看成把y＝ax的图象向下平移－b（－b＞1）个单位得到的，

故函数f（x）＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限．

答案：

一、三、四

2．已知f（x）＝|2x－1|.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）比较f（x＋1）与f（x）的大小．

解：

（1）由f（x）＝|2x－1|＝可作出函数f（x）的图象如图所示．因此函数f（x）的单调递减区间为（－∞，0），单调递增区间为（0，＋∞）．

（2）在同一坐标系中，分别作出函数f（x）、f（x＋1）的图象，如图所示．

由图象知，当2

－1＝1－2

，即x0＝log2时，两图象相交，

由图象可知，当x＜log2时，f（x）＞f（x＋1）；

当x＝log2时，f（x）＝f（x＋1）；

当x＞log2时，f（x）＜f（x＋1）．

[由题悟法]

指数函数图象的画法及应用

（1）画指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象，应抓住三个关键点：

（1，a），（0,1），.

（2）与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

（3）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[即时应用]

1．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：

作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，

由图象可得：

如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：

[－1,1]

2．已知函数y＝|x＋1|.

（1）作出该函数的图象；

（2）由图象指出函数的单调区间．

解：

（1）y＝|x＋1|＝

其图象由两部分组成：

一部分是：

y＝x（x≥0）y＝x＋1（x≥－1）；

另一部分是：

y＝3x（x＜0）y＝3x＋1（x＜－1），函数图象如图所示．

（2）由图象知函数的单调递增区间是（－∞，－1]，单调递减区间是（－1，＋∞）．

[锁定考向]

高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，常见的命题角度有：

（1）比较指数式的大小；

（2）简单的指数不等式；

（3）指数型函数的性质．　　　　

[题点全练]

角度一：

比较指数式的大小

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________（用“＞”表示）．

解析：

因为函数y＝0.6x是减函数，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5，

即b＜a＜1.因为函数y＝1.5x在（0，＋∞）上是增函数，

0．6＞0，

所以1.50.6＞1.50＝1，

即c＞1.综上，c＞a＞b.

答案：

c＞a＞b

角度二：

简单的指数不等式

2．设函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是________．

解析：

当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为a－7＜1，

即a＜8，即a＜－3，

因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为＜1，

所以0≤a＜1.故a的取值范围是（－3,1）．

答案：

（－3,1）

角度三：

指数型函数的性质

3．

（1）若函数f（x）＝2|x－a|（a∈R）满足f（1＋x）＝f（1－x），且f（x）在[m，＋∞）上单调递增，则实数m的最小值等于________．

（2）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1,1]上的最大值为14，则a的值为________．

解析：

（1）函数f（x）＝2|x－a|（a∈R）的图象关于直线x＝a对称，由f（1＋x）＝f（1－x）得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，则f（x）＝2|x－1|＝由复合函数的单调性得f（x）在[1，＋∞）上单调递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1.

（2）令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2.

当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈.

又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，

所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（负值舍去）．

当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈.

又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，

所以ymax＝2－2＝14，解得a＝（负值舍去）．

综上，a＝3或a＝.

答案：

（1）1　

（2）3或

4．（2019·启东中学高三检测）已知函数f（x）＝9x－2a·3x＋3.

（1）若a＝1，x∈[0,1]，求f（x）的值域；

（2）当x∈[－1,1]时，求f（x）的最小值h（a）；

（3）是否存在实数m，n，同时满足下列条件：

①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）当a＝1时，f（x）＝9x－2·3x＋3，

则f（x）＝（3x－1）2＋2.

因为x∈[0,1]，所以3x∈[1,3]，f（x）∈[2,6]．

（2）令3x＝t，因为x∈[－1,1]，故t∈，函数f（x）可化为g（t）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2.

当a＜时，h（a）＝g＝－；

当≤a≤3时，h（a）＝g（a）＝3－a2；

当a＞3时，h（a）＝g（3）＝12－6a.

综上，h（a）＝

（3）因为n＞m＞3，h（a）＝12－6a为减函数，

所以h（a）在[m，n]上的值域为[h（n），h（m）]，

又h（a）在[m，n]上的值域为[m2，n2]，

所以即

两式相减，得6（m－n）＝m2－n2＝（m＋n）（m－n），

所以m＋n＝6.

而由n＞m＞3可得m＋n＞6，矛盾．

所以不存在满足条件的实数m，n.

[通法在握]

应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略

题型

求解策略

比较幂值的大小

（1）能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；

（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小

简单指数不等式

先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解

指数型函数的性质

与探究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致

[提醒]　在探究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

[演练冲关]

已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1,6），B（3,24）．

（1）试确定f（x）；

（2）若不等式x＋x－m≥0在x∈（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

解：

（1）因为f（x）＝b·ax的图象过点A（1,6），B（3,24），

所以

②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，所以a＝2，b＝3，

所以f（x）＝3·2x.

（2）由

（1）知x＋x－m≥0在（－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x在（－∞，1]上恒成立．

令g（x）＝x＋x，

则g（x）在（－∞，1]上单调递减，

所以m≤g（x）min＝g

（1）＝＋＝，

故所求实数m的取值范围是.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．（2019·连云港调研）已知a＝3π，b＝eπ，c＝e3，则a，b，c的大小关系为________．

解析：

由y＝ex是增函数，得b＝eπ＞c＝e3，由y＝xπ是增函数，得a＝3π＞b＝eπ，故c＜b＜a.

答案：

c＜b＜a

2．已知函数y＝ax－1＋3（a＞0且a≠1）图象经过点P，则点P的坐标为________．

解析：

当x＝1时，y＝a0＋3＝4，

∴函数y＝ax－1＋3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1,4）．

∴点P的坐标为（1,4）．

答案：

（1,4）

3．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝2x＋1与g（x）＝x－1的图象关于________对称．

解析：

因为g（x）＝21－x＝f（－x），所以f（x）与g（x）的图象关于y轴对称．

答案：

y轴

4．已知f（x）＝3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2,1），则f（x）的值域为________．

解析：

由f（x）过定点（2,1）可知b＝2，

因为f（x）＝3x－2在[2,4]上是增函数，

所以f（x）min＝f

（2）＝1，f（x）max＝f（4）＝9.

故f（x）的值域为[1,9]．

答案：

[1,9]

5．不等式2

＞x＋4的解集为________．

解析：

不等式2－x2＋2x＞x＋4可化为x2－2x＞x＋4，等价于x2－2x＜x＋4，即x2－3x－4＜0，

解得－1＜x＜4.

答案：

{x|－1＜x＜4}

6．（2019·徐州调研）若函数f（x）＝ax－1（a＞1）在区间[2,3]上的最大值比最小值大，则a＝________.

解析：

∵函数f（x）＝ax－1（a＞1）在区间[2,3]上为增函数，

∴f（x）max＝f（3）＝a2，f（x）min＝f

（2）＝a.

由题意可得a2－a＝，解得a＝.

答案：

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1．若函数f（x）＝a|x＋1|（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f

（1）的大小关系是________．

解析：

由题意知a＞1，f（－4）＝a3，f

（1）＝a2，由y＝at（a＞1）的单调性知a3＞a2，

所以f（－4）＞f

（1）．

答案：

f（－4）＞f

（1）

2．（2018·启东中学检测）满足x－3＞16的x的取值范围是________．

解析：

∵x－3＞16，∴x－3＞－2，

∵函数y＝x在定义域上是减函数，

∴x－3＜－2，故x＜1.

答案：

（－∞，1）

3．已知实数a，b满足等式2017a＝2018b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．

解析：

设2017a＝2018b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．

答案：

2

4．若函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：

依题意，a应满足解得＜a≤.

答案：

5．（2019·苏州中学检测）函数f（x）＝x2＋1的值域为________．

解析：

令u＝x2＋1，可得f（u）＝u是减函数，

而u＝x2＋1的值域为[1，＋∞），

∴函数f（x）＝x2＋1的值域为.

答案：

6．（2019·无锡调研）函数f（x）＝x2－2x＋6的单调递增区间是________．

解析：

设u（x）＝x2－2x＋6＝（x－1）2＋5，对称轴为x＝1，

则u（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

又y＝x在R上单调递减，

所以f（x）＝x2－2x＋6在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．

答案：

（－∞，1）

7．已知函数f（x）＝a－x（a＞0，且a≠1），且f（－2）＞f（－3），则a的取值范围是________．

解析：

因为f（x）＝a－x＝x，且f（－2）＞f（－3），

所以函数f（x）在定义域上单调递增，

所以＞1，

解得0＜a＜1.

答案：

（0,1）

8．当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：

原不等式变形为m2－m＜x，

因为函数y＝x在（－∞，－1]上是减函数，

所以x≥－1＝2，

当x∈（－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.

答案：

（－1,2）

9．化简下列各式：

（1）0.5＋0.1－2＋

－3π0＋；

（2）

÷.

解：

（1）原式＝

＋＋

－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

（2）原式＝

÷

＝

÷

＝a

÷a

＝a

＝a

.

10．（2018·苏州调研）已知函数f（x）＝3x＋λ·3－x（λ∈R）．

（1）若f（x）为奇函数，求λ的值和此时不等式f（x）＞1的解集；

（2）若不等式f（x）≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．

解：

（1）函数f（x）＝3x＋λ·3－x的定义域为R.

因为f（x）为奇函数，

所以f（－x）＋f（x）＝0对∀x∈R恒成立，

即3－x＋λ·3x＋3x＋λ·3－x＝（λ＋1）（3x＋3－x）＝0对∀x∈R恒成立，

所以λ＝－1.

由f（x）＝3x－3－x＞1，得（3x）2－3x－1＞0，

解得3x＞或3x＜（舍去），

所以不等式f（x）＞1的解集为.

（2）由f（x）≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋≤6.

令t＝3x∈[1,9]，则问题等价于t＋≤6对t∈[1,9]恒成立，

即λ≤－t2＋6t对t∈[1,9]恒成立，

令g（t）＝－t2＋6t，t∈[1,9]，

因为g（t）在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，

所以当t＝9时，g（t）有最小值g（9）＝－27，

所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为（－∞，－27]．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．当x∈[1,2]时，函数y＝x2与y＝ax（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是________．

解析：

当a＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·22≥a2，即1＜a≤；

当0＜a＜1时，如图②所示，需满足·12≤a1，即≤a＜1.

综上可知，a∈.

答案：

2．（2018·南京调研）已知二次函数f（x）＝mx2－2x－3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为[－1，n]．

（1）当a≥0时，解关于x的不等式ax2＋n＋1＞（m＋1）x＋2ax；

（2）是否存在实数a∈（0,1），使得关于x的函数y＝f（ax）－3ax＋1在x∈[1,2]上的最小值为－？

若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由f（x）＝mx2－2x－3≤0的解集为[－1，n]知，关于x的方程mx2－2x－3＝0的两根为－1和n，且m＞0，

则所以

所以原不等式可化为（x－2）（ax－2）＞0.

①当a＝0时，原不等式化为（x－2）×（－2）＞0，解得x＜2；

②当0＜a＜1时，原不等式化为（x－2）·＞0，且2＜，解得x＞或x＜2；

③当a＝1时，原不等式化为（x－2）2＞0，解得x∈R且x≠2；

④当a＞1时，原不等式化为（x－2）·＞0，且2＞，解得x＜或x＞2.

综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；

当0＜a≤1时，原不等式的解集为；

当a＞1时，原不等式的解集为.

（2）假设存在满足条件的实数a，

由

（1）知f（x）＝x2－2x－3，

y＝f（ax）－3ax＋1＝a2x－（3a＋2）ax－3.

令ax＝t，a2≤t≤a，

则y＝t2－（3a＋2）t－3，

此函数图象的对称轴为t＝，

因为a∈（0,1），所以a2＜a＜1,1＜＜，

所以函数y＝t2－（3a＋2）t－3在[a2，a]上单调递减，

所以当t＝a时，y取得最小值，最小值为y＝－2a2－2a－3＝－，

解得a＝－（舍去）或a＝.

故存在满足条件的a，a的值为.